数列问题中的数学思想方法

数列问题中的数学思想方法(总12页)

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湖南祁东育贤中学 周友良 421600

数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。

一、函数思想

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。

例1.已知数列的通项公式10102nnan，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大从第几项起各项的数值均为正数列中是否存在数值与首项相同的项

分析：根据条件，数列na的点都在函数10102xxy的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。

例2．已知数列na是等差数列，若10nS，502nS，求nS3。

解：)1(2)1(2111ndandnnnanSn，故nSn为等差数列，其通项为一次函数，设baxxf)(，则点),(nSnn，)2,2(2nSnn，在其图象上，nban10，nbna2502，nbnan5,15，

故nnnSnnanfn5315353)3(3，解之得：1203nS。 评注：nSn是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解nS3。

例3．设等差数列na的前n项和为nS，已知123a，012S，013S。

（1）求公差d的取值范围；（2）指出1S、2S、3S……12S中哪一个值最大，并说明理由。

分析：对于（1），可考虑由012S，013S建立关于d的不等式组，对于（2）由nS是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。

解：（1）由12213daa知da2121，

04214466)212(126612112ddddaS

05215678)212(137813113ddddaS

3724d。

（2）nddndnnnaSn)2512(21)1(2121

0d，nS是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为：dn1225，

3724d，5.612256d，故当整数6n时，nS最大，即6S最大。

评注：对于等差数列来说，nS是n的二次函数，且常数项为零，可写为bnanSn2的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于012S，013S，故图象与x轴的另一交点横坐标

0n，满足13120n，故对称轴为20nn，5.6260n，因此，判定6n时nS最大，以上思维过程更为简捷。

例4．等差数列na的首项是2，前10项之和是15，记248162nnAaaaaa求nA及nA的最大值．

分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“248162nnAaaaaa”这一表达式准确、全面的认识：248162,,,,naaaaa是数列na的子数列，其中2，4，8，……，2n组成等比数列，nA则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求nA最大值的不同解法．

解：设等差数列na的公差为d，由已知：

11210910152aad，解得112,9ad

24812123111372112222222912119229nnnnnnAaaaanadnadnnnn

求nA的最大值有以下三种解法．

解法一：

由112310,0,0kkadaaaaa则有

令12109kak，解得19k

又219nknN，解得4n

即在数列2na中：

12345222220aaaaa，

所以当时，nA的值最大，其最大值为：

41max1461942299nA

解法二：

数列2na的通项121211929nnnaad 令2119209nna，得219nnN，

由此可得12345222220aaaaa

故使20na，的最大值为4．

∴41max1461942299nA

解法三：

由1119229nnAn，若存在自然数，

使得1nnAA，且1nnAA，则nA的值最大．

12111192219122991119221912299nnnnnnnn

解得9.5219nnN，取时，nA有最大值：41max1461942299nA

反思回顾：上述三种求nA最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列na的单调性及na值的正负，求子数列2na的前n项和nA的最值．解法二是直接研究子数列2na．解法三是研究1119229nnAn的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数1192nfnn的单调性．

二、方程思想

数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量1na,n,d(q),a,ns，“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。

例5、设{}na是正数组成的数列，其前n项和为ns，并且对于所有的自然数n，na与2的等差中项等于ns与2的等比中项，求{}na的通项公式。 解：由题意可知222nnas整理得：21(2)8nnsa，当1n时21111(2)8saa解得12a。又11nnnass2111(2)8nnaa-21(2)8na，整理得：

11()(4)0nnnnaaaa，又0na，14nnaa，即{}na是首项为2，公差为4的等差数列，42nan。

点评：本例利用了方程的消元思想由11nnnass、21(2)8nnsa消去ns得到了

11()(4)0nnnnaaaa这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助11nnnass消去na利用1,nnss递推关系解题。

例6、已知等差数列{}na的公差是正数，并且374612,4aaaa，求前n项的和ns。

解：由等差数列{}na知：3746aaaa，从而373712,4aaaa，故37,aa是方程24120xx的两根，又0d，解之，得：376,2aa。再解方程组：，所以10(1)nsnnn。

点评：本题利用了3746aaaa这一性质构造了二次方程巧妙的解出了376,2aa，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与nmpqaaaa（或nmpqaaaa）找出解题的捷径。。

三、分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。

例7、已知等差数列{}na的前n项的和32nns，求na。 解：（1）当1n时，115as；

（2）当2n时，111222nnnnnnass；

综合（1）（2）可知15122nnnan。

点评：此例从分的体现了na与ns的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是1nnnass中脚码1n必须为正整数。

例8．已知{na}是公比为q的等比数列，且231,,aaa成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{nb}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设,2,21121213qaaqaaaa即

.012,021qqa

.211或q

（Ⅱ）若.2312)1(2,12nnnnnSqn则

当.02)2)(1(,21nnSbSnnnn时 故.nnbS

若.49)21(2)1(2,212nnnnnSqn则

当,4)10)(1(,21nnSbSnnnn时

故对于.,11;,10;,92,nnnnnnbSnbSnbSnNn时当时当时当

例9．（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3,23,1),3()21(211SSnn且求数列{an}的通项公式. 8 解：方法一：先考虑偶数项有：2121222113()3()22nnnnSS

23232224113()3()22nnnnSS

………

3342112()3().22SS

2123321233222111111113[()()()]3[()()()]2222222111()111122434[()]2()(1).1224214nnnnnnnnSSn

同理考虑奇数项有：222121113()3().22nnnnSS

22222123113()3()22nnnnSS

………

.)21(3)21(32213SS

222222112212212122212122211111113[()()()]2()(1).22221112()(2())43()(1).2221112()(2())43()(1).2221.nnnnnnnnnnnnnnnnSSnaSSnaSSnaS

综合可得.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数nnannn