2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)

2020中考数学 压轴专题 圆的综合（含答案）

1. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.

(1)求证：直线PA为⊙O的切线；

(2)求证：EF2＝4OD·OP；

(3)若BC＝6，tanF＝12，求AC的长.

第1题图

（1）证明：如解图，连接OB，

第1题解图

⊙PB是⊙O的切线，

⊙⊙PBO＝90°，

⊙OA＝OB，BA⊙PO于点D，

⊙AD＝BD，

⊙点D为AB的中点，即OP垂直平分AB，

⊙⊙APO＝⊙BPO，

⊙⊙ADP＝⊙BDP＝90°， ⊙⊙APD⊙⊙BPD，

⊙AP＝BP，

在⊙PAO和⊙PBO中，

PA＝PB⊙APO＝⊙BPOOP＝OP，

⊙⊙PAO⊙⊙PBO（SAS），

⊙⊙PAO＝⊙PBO＝90°，

⊙OA为⊙O的半径，

⊙直线PA为⊙O的切线；

(2)证明：⊙⊙PAO＝⊙PDA＝90°，

⊙⊙OAD＋⊙AOD＝90°，⊙OPA＋⊙AOP＝90°，

⊙⊙OAD＝⊙OPA，

⊙⊙OAD⊙⊙OPA，

⊙OAOP＝ODOA，即OA2＝OD·OP，

又⊙EF＝2OA，

⊙EF 2＝4OD·OP；

(3)解：⊙OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，

⊙OD＝12BC＝3，

设AD＝x，

⊙tanF＝ADDF＝xDF＝12，

⊙DF＝2x，⊙OA＝OF＝2x－3，

在Rt⊙AOD中，由勾股定理得 (2x－3)2＝x2＋32，解得x1＝4或x2＝0(不合题意，舍去)，

⊙OA＝2x－3＝5，

⊙AC为⊙O的直径，

⊙AC＝2OA＝10.

2. 如图，在⊙ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊙AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若AE＝4，cosA＝25，求DF的长．

第2题图

（1）证明：如解图，连接OD，

第2题解图 G ⊙OB＝OD，

⊙⊙ODB＝⊙B，

又⊙AB＝AC，

⊙⊙C＝⊙B，

⊙⊙ODB＝⊙C，

⊙OD⊙AC，

⊙DF⊙AC，

⊙⊙DFC＝90°，

⊙⊙ODF＝⊙DFC＝90°，

⊙OD是⊙O的半径，

⊙DF是⊙O的切线；

(2)解：如解图，过点O作OG⊙AC，垂足为G，

⊙AG＝12AE＝2.

⊙cosA＝AGOA＝2OA＝25，

⊙OA＝5，

⊙OG＝OA2－AG2＝21，

⊙⊙ODF＝⊙DFG＝⊙OGF＝90°，

⊙四边形OGFD为矩形，

⊙DF＝OG＝21.

3. 如图，在⊙O中，直径CD⊙弦AB于点E，AM⊙BC于点M，交CD于点N，连接AD.

(1)求证：AD＝AN；

(2)若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．

第3题图

(1)证明：⊙⊙BAD与⊙BCD是同弧所对的圆周角，

⊙⊙BAD＝⊙BCD，

⊙AE⊙CD，AM⊙BC，

⊙⊙AEN＝⊙AMC＝90°，

⊙⊙ANE＝⊙CNM，

⊙⊙BAM＝⊙BCD，

⊙⊙BAM＝⊙BAD，

在⊙ANE与⊙ADE中，

⊙BAM＝⊙BADAE＝AE⊙AEN＝⊙AED，

⊙⊙ANE⊙⊙ADE(ASA)，

⊙AN＝AD；

(2)解：⊙AB＝42，AE⊙CD,

⊙AE＝12AB＝22， 又⊙ON＝1，

⊙设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，

如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，

第3题解图

⊙⊙AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，

⊙(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，

解得x1＝2，x2＝－43(舍)，

⊙AO＝2x－1＝3，

即⊙O的半径为3.

4. 如图，在⊙ABC中，⊙C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

(1)求证：⊙1＝⊙F；

(2)若sinB＝55，EF＝25，求CD的长．

第4题图

（1）证明：如解图，连接DE.

第4题解图

⊙BD是⊙O的直径，

⊙⊙DEB＝90°.

⊙E是AB的中点，

⊙DA＝DB，

⊙⊙1＝⊙B. ⊙⊙B＝⊙F，

⊙⊙1＝⊙F；

(2)解：⊙⊙1＝⊙F，

⊙AE＝EF＝25，

⊙AB＝2AE＝45.

在Rt⊙ABC中，AC＝AB·sinB＝4，

⊙BC＝AB2－AC2＝8.

设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.

在Rt⊙ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，

即42＋x2＝(8－x)2，

解得x＝3，

⊙CD＝3.

5. 如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作YABCD，连接BE，DO，CO.

(1)求证：DA=DC；

(2)求⊙P及⊙AEB的度数.

第5题图

（1）证明：⊙四边形ABCD是平行四边形， ∴AD⊙BC，

⊙CB⊙AE，

⊙AD⊙AE，

⊙⊙DAO＝90°，

又⊙直线DP和⊙O相切于点C，

⊙DC⊙OC，

⊙⊙DCO＝90°，

⊙在Rt⊙DAO和Rt⊙DCO中，

DO＝DOAO＝CO，

⊙Rt⊙DAO⊙Rt⊙DCO(HL)，

⊙DA＝DC；

(2)解：⊙CB⊙AE，AE是⊙O的直径，

⊙CF＝FB＝12BC，

又⊙四边形ABCD是平行四边形，

⊙AD＝BC，

⊙CF＝12AD，

又⊙CF⊙DA，

⊙⊙PCF⊙⊙PDA，

⊙PCPD＝CFAD＝12，即PC＝12PD，DC＝12PD.

由(1)知DA＝DC，

⊙DA＝12PD，

⊙在Rt⊙DAP中，⊙P＝30°. ⊙DP⊙AB，

⊙⊙FAB＝⊙P＝30°，

又⊙⊙ABE＝90°，

⊙⊙AEB＝90°－30°＝60°.

6. 如图，在⊙ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.

(1)求证：⊙ABD＝⊙ADE；

(2)若⊙O的半径为256，AD＝203，求CE的长．

第6题图

（1）证明：如解图，连接OD.

第6题解图

⊙DE为⊙O的切线，

⊙OD⊙DE，

⊙⊙ADO＋⊙ADE＝90°.

⊙AB为⊙O的直径，

⊙⊙ADB＝90°，

⊙⊙ADO＋⊙ODB＝90°.

⊙⊙ADE＝⊙ODB，

⊙OB＝OD，

⊙⊙OBD＝⊙ODB，

⊙⊙ABD ＝⊙ADE;

(2)解：⊙AB＝AC＝2×256＝253，⊙ADB＝⊙ADC＝90°，

⊙⊙ABC＝⊙C，BD＝CD.

⊙O为AB的中点，

⊙OD为⊙ABC的中位线， ⊙OD⊙AC，

⊙OD⊙DE，

⊙AC⊙DE，

在Rt⊙ACD中，

CD＝AC2－AD2＝（253）2－（203）2＝5，

⊙⊙C＝⊙C，⊙DEC＝⊙ADC＝90°，

⊙⊙DEC⊙⊙ADC，

⊙CEDC＝DCAC，即CE5＝5253，

⊙CE＝3.

7. 如图，在⊙ABC中，⊙ACB＝90°，D是边AB上的一点，且⊙A＝2⊙DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．

第7题图

(1)证明：如解图⊙，连接OD，

第7题解图⊙

则⊙DOB＝2⊙DCB，

又⊙⊙A＝2⊙DCB，

⊙⊙A＝⊙DOB，

又⊙⊙A＋⊙B＝90°，

⊙⊙DOB＋⊙B＝90°，

⊙⊙BDO＝90°，

即OD⊙AB，

又⊙OD是⊙O的半径，

⊙AB是⊙O的切线．

（2）解：如解图⊙，过点O作OM⊙CD于点M，连接DE，

第7题解图⊙

⊙OD＝OE＝BE＝12BO，⊙BDO＝90°，

⊙⊙B＝30°，

⊙⊙DOB＝60°，

⊙⊙DCB＝30°，

⊙OC＝2OM＝2，

⊙OD＝2，

⊙BD＝ODtan60°＝23.

8. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

(1)求证：PA是⊙O的切线；

(2)若cos⊙CAO＝45，且OC＝6，求PB的长．

第8题图

（1）证明：如解图，连接OB，

第8题解图

⊙OA＝OB，

⊙⊙OAB＝⊙OBA，

⊙OP⊙AB，

⊙AC＝BC，

⊙OP是AB的垂直平分线，