立体几何讲义2

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

111222,,,,,axyzbxyz

121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则

二、共线向量定理

,0,=.abbabab充要对于使

三、共面向量定理

,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使

,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令

1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

1异面直线的夹角，

coscos,ABCDABCDABCD则

2,线与面的夹角

sincosanan则

空间向量与立体几何测试题(2)

一、选择题

1．空间的一个基底，，abc所确定平面的个数为（ ）

Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个以上

2．已知(121)A，，关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则BC（ ）

Ａ．(042)，， Ｂ．(042)，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)，，

3．已知向量111222()()xyzxyz，，，，，ab，若ab，设abR，则ab与x轴夹角的余弦值为（ ）

Ａ．12xxR Ｂ．21xxR Ｃ．12xxR Ｄ．12()xxR

4．若向量MAMBMC，，的起点与终点MABC，，，互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则能使MAMBMC，，成为空间一组基底的关系是（ ）

Ａ．111333OMOAOBOC

Ｂ．MAMBMC

Ｃ．1233OMOAOBOC

Ｄ．2MAMBMC

5．正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E是11AB的中点，则E是平面11ABCD的距离是（ ）

Ａ．32 Ｂ．22 Ｃ．12 Ｄ．33

6．一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（ ）

Ａ．2a Ｂ．3a Ｃ．22a Ｄ．23a

7．若向量a与b的夹角为60°，4b，(2)(3)72abab，则a（ ）

Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12

8．设P是60°的二面角l内一点，PA平面，PB平面，AB，为垂足，42PAPB，，则AB的长为（ ）

Ａ．42

Ｂ．23 Ｃ．25 Ｄ．27

9．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，2PDADPDAD，，二面角PADC为60°，则P到AB的距离为（ ）

期末复习讲义（一）———立体几何

一． 基础知识

1．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达;

2. 空间中两条直线的位置关系

位置关系 共面情况 公共点个数 图示

相交直线 在同一平面内

平行直线 在同一平面内

异面直线 不同在任何一个平面内

3.直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系 定义 图形语言 符号语言

直线在平面内 有无数个公共点

直线与平面相交 有且只有一个公共点

_________

直线与平面平行 没有公共点

_________

4.平面与平面的位置关系

位置关系 图示 表示法 公共点个数

两平面平行

α∥β ________

两平面相交 斜交

有一条公共直线

垂直

有一条公共直线

5.八个定理：

定理 图形语言 符号语言 文字语言（用自己的语言叙述该定理的用处及如何使用？）

直线与平面平行的判定定理

平面与平面平行的判定定理

直线与平面平行的性质定理

平面与平面平行的性质定理

直线与平面垂直的判定定理

两个平面互相垂直的判定定理

直线与平面垂直的性质定理

面面垂直的性质定理

7.空间中的角的求法

空间中

的角 范围 定义 图示 作法(需写出各种空间中的角的详细作法,并掌握求解的方法,其中二面角两种方法)

异面直线所成的角 步骤:

线面角 步骤:

二面角 图1:

图2: 法1:

法2:

8,请同学们自己梳理一下问题(还会吗?)(结合以前做过的题目)

(1)和几何体的展开图及展开图还原的相关问题;

(2)什么叫截面?如何找几何体的截面及和截面相关的问题;

(3)如何利用等积法求三棱锥的体积及点到平面的距离?

(4)探索性问题及折叠问题.

二． 综合例题讲解

（一） 类型一：平行垂直的证明

例1：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1＝PC1＝2.

立体几何中的最值问题（二）

海红楼

二、面积最值问题

例7. 如图1所示，边长AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正

西方向射出的太阳光线与地面成30°角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积

最大?

解析： 易知，ΔABC为直角三角形，由C点引AB的垂线，垂足为Q，则应有DQ为CQ在地面上的斜射影，且AB

垂直于平面CQD，如图2所示.

因太阳光与地面成30°角，所以∠CDQ＝30°，又知在ΔCQD中，CQ＝，由正弦定理，有 512＝ 即 QD＝sin∠QCD. 30sinCQ

QCDQD

sin56

为使面ABD的面积最大，需QD最大，这只有当∠QCD＝90°时才可达到，从而∠CQD＝ 60°.

故当遮阳棚ABC与地面成60°角时，才能保证所遮影面ABD面积最大.

例8. 在三棱锥A—BCD中，ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形，二面角A—BC—D＝φ，问φ为何值时，

三棱锥的全面积最大。

解析：SΔBAC＝SΔBCD

＝a2为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于SΔABD与SΔACD的大小，由于ΔABD≌Δ43ACD，所以只求SΔACD何时面积取最大值即可。∵SΔACD＝asin∠ACD，所以当∠ACD＝90°时面积最大，问题21

得解。

解 如图，取BC中点M，连AM、DM，∴ΔABC和ΔBCD都是正三角形，∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，∠

AMD＝φ，又∵ΔABD≌ΔACD，且当∠ACD＝90°时，ΔACD和ΔABD面积最大，此时AD＝a，在ΔAMD中，2由余弦定理cos∠AMD＝-， 31

∴当φ＝π-arccos时，三棱锥A-BCD的全面积最大。 31

点评 本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求ΔACD面积的最大值，间接求得φ角。

例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积