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高考数学总复习 指数对数、指数函数与对数函数

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1 / 3 高考数学总复习 指数对数、指数函数与对数函数

1、根式的定义：一般地，若一个数的n次方等于a(n＞1，且n∈N*)，则这个数叫做a的n次方根．即xn=a，则x叫a的n次方根，式子na叫做根式，n叫根指数，a叫被开方数．

注意：（1）负数没有偶次方根；零的任何次方根都是零。

（2）虽然aann)(，但为偶数）为奇数）（nananna(|,|,.

2、规定正数的正分数指数幂的意义是：)1,,,0(*nNnmaanmnma且；正数的负分数指数幂)1,,,0(11*nNnmaaannmmnma且；0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂没有意义。

3、有理数指数幂的运算性质

(1)ar·as=ar+s (a＞0，r,s∈Q )；(2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)；

(3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)； (4)（ab）r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)

4、对数的定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

即ab=Nb=logaN（利用它进行指数式与对数式的互化）

5、常用对数：log10N=lgN。自然对数：logeN=lnN.（其中无理数e=2.71828…）。

6、（1）loga1=0；（2）logaa=1；（3）对数恒等式：NNaalog.

7、对数的运算性质：若a>0,a≠1,M>0,N>0,则

①NMMNaaalogloglog)(；②NMNMaaalogloglog；③MaxaxMloglog

8、换底公式：①aNNbbalogloglog；②aNNalglglog；③abbalog1log；

④bamnbanmloglog；⑤naanlog；⑥15lg2lg。

9、指数函数的定义：一般地，函数y=a x (a＞0，且a≠1)叫做指数函数.

对数函数的定义：一般地，函数y=logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 word

2 / 3 对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图象与y=ax的图象

关于直线y=x对称.

10.指数函数的图象和性质(见下表)

a>1 0

图象 xyy=11o

ayx（a>1） xyy=11o

ayx(0

性质 (1) 定义域：R；

(2) （2）值域：),0(,即图象都在x轴上方；

(3) （3）恒过点(0,1)

(4)在R上是增函数 （4）在R上是减函数

函数值分布 (5)当x>0时y>1；当x<0时00时01

（6）ayx与ayx关于y轴对称；（7）x轴是渐近线，即图象向左、右无限延伸；

11.对数函数的图象和性质(见下表)

a>1 0

图象

xy(1,0)o oxy(1,0)

性质 (4) 定义域：),0(

(5) 值域：R

(6) 恒过点(1，0)

(4)在),0(上是增函数 （4）在),0(上是减函数

函数值分布 (5)当x>1时y>0；

当01时y<0；

当00 word

3 / 3

（6）xaylog与xaylog1关于x轴对称；（7）y轴是渐近线，即图象向上、下无限延伸

（8）xaylog与ayx互为反函数。

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指数函数与对数函数高考题及答案

指数函数与对数函数高考题及答案

指数函数与对数函数高考题及答案

1 / 7 指数函数与对数函数

1、（2009湖南文）2log2的值为（ ）

A．2 B．2 C．12 D． 12

【解析】由1222211log2log2log222,易知D正确.

2、（2012安徽文）23log9log4（ ）

A．14 B．12 C． D．

【解析】选D 23lg9lg42lg32lg2log9log44lg2lg3lg2lg3

3、（2009全国Ⅱ文）设2lg,(lg),lg,aebece则 ( )

A.abc B.acb C.cab D.cba

【解析】本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=21lge, 作商比较知c>b,选B。

4、（2009广东理）若函数()yfx是函数(0,1)xyaaa且的反函数，其图像经过点(,)aa，则()fx（ ）

A. 2logx

B. 12logx C. 12x D. 2x

【解析】xxfalog)(，代入(,)aa，解得21a，所以()fx12logx，选B.

5、（2009四川文）函数)(21Rxyx的反函数是（ ）

A. )0(log12xxy B. )1)(1(log2xxy

C. )0(log12xxy D. )1)(1(log2xxy

【解析】由yxyxyx221log1log12，又因原函数的值域是0y，

∴其反函数是)0(log12xxy

6、（2009全国Ⅱ理）设323log,log3,log2abc，则（ ）

指数函数与对数函数

指数函数与对数函数

培优

教育

尊重个性 因材施教 1 培优教育一对一辅导讲义

科目：＿数＿＿＿ 年级：＿＿高一＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 教师：＿＿＿＿ 时间：＿＿＿＿

课题 指数函数与对数函数

授课时间： 备课时间：

教学目标

重点、难点

考点及考试要求

教学内容

一、指数的性质

（一）整数指数幂

1．整数指数幂概念： annaaaa个 )(Nn 010aa

10,nnaanNa

2．整数指数幂的运算性质：（1）,mnmnaaamnZ （2）,nmmnaamnZ

（3）nnnababnZ

其中mnmnmnaaaaa， 1nnnnnnaaababbb．

3．a的n次方根的概念

一般地，如果一个数的n次方等于aNnn,1，那么这个数叫做a的n次方根，

即： 若axn，则x叫做a的n次方根， Nnn,1

例如：27的3次方根3273， 27的3次方根3273，

32的5次方根2325， 32的5次方根2325．

说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若0a则0na，若oa则0na；

②若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8的平方根228 16的4次方根2164）

③若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；

④Nnnn,100 ∴00n；

⑤式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 ∴nnaa． 培优

教育

尊重个性 因材施教 2 ．

4．a的n次方根的性质

一般地，若n是奇数，则aann；

若n是偶数，则00aaaaaann．

版高考数学一轮总复习指数与对数函数的应用题

版高考数学一轮总复习指数与对数函数的应用题

版高考数学一轮总复习指数与对数函数的应用题

指数与对数函数是数学中重要的概念之一，作为高中数学的一部分，它们在高考中的应用也是不可忽视的。本文将通过一些具体的应用题，来介绍指数与对数函数的用法。

1. 应用题1：人口增长问题

某城市的人口按照指数增长，已知2010年底的人口为100万，而到2020年底的人口为180万。问：

（1）如果继续以相同的速率增长，预计到2030年底的人口将达到多少？

（2）从2010年到2020年的增长速率是多少？

解答：

（1）假设人口增长率为r，那么根据指数增长的公式，我们有:

180 = 100 * (1 + r)^(2020-2010)

解得 r ≈ 0.0631

代入式子，我们可以计算出2030年底的人口：

人口 = 100 * (1 + 0.0631)^(2030-2010) ≈ 236.01万人

（2）增长速率可以用对数函数来表示，即：

log(180/100) / (2020-2010) ≈ 0.00601 所以从2010年到2020年的增长速率约为0.006。

2. 应用题2：科学实验中的放射性衰变

假设某种物质的放射性元素以指数衰减的方式进行，已知其衰变常数为 k，问题如下：

（1）如果初始时刻物质的质量为M₀，经过t个时间单位后，物质的质量为多少？

（2）经过多久，物质的质量会减少到初始质量的一半？

解答：

（1）物质的质量可以用指数函数来表示，即：

M(t) = M₀ * exp(-kt)

其中，exp(-kt) 表示 e 的 -kt 次方。

（2）当物质的质量减少到初始质量的一半时，我们有：

M(t) = M₀ / 2

代入指数函数的表达式，解方程得：

exp(-kt) = 1/2

化简得 -kt = ln(1/2)，再解得：

t = - ln(1/2) / k

所以物质的质量减少到初始质量的一半所需要的时间为 t = ln(2) / k。 通过以上两个应用题的讲解，我们可以看到指数与对数函数在实际问题中的应用非常广泛。无论是人口增长、放射性衰变还是其他许多领域，它们都发挥着重要的作用。熟练掌握指数与对数函数的概念与用法，不仅可以帮助我们解决具体问题，还可以拓宽我们对数学的认识和理解。

对数函数与指数函数

对数函数与指数函数

对数函数与指数函数

【知识要点】

指数函数与对数函数的图像及性质

【基础自测】

3．已知函数1()lg1xfxx，若()fa＝b，则()fa等于：

A．b B．－b C．1b D．－1b

【典例探究】

【课堂练习】

1.函数 f(x)=ax+loga(x+1) 在[0, 1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( )

A. 14 B. 12 C. 2 D. 4

2.方程 lg(4x+2)=lg2x+lg3 的解是 .

4．是否存在实数 a,使得 f(x)=loga(ax-x)在区间 [2, 4] 上是增函数?若存在, 求出 a

的取值范围.

【方法总结】

4 、底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。

5、指数函数的图像与直线x=1的交点（1,a)a越大点越在上。

6、对数函数的图像与直线y=1的交点（a,1)a越大点越在右。

7、比较两个指数幂的大小，尽量化为同底或同指，当底数同时，构造同一指数函数，用单调性比较大小，当指数相同底数不同时，构造两指数函数，利用图像比较大小，当底数和指数都不同时，可找中间量比较。

8、解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数与1的的大小关系不确定时，要注意分类讨论。

9、解对数方程基本思路是化为代数方程（注意要验根）。常见类型有三种：

（1）形如 化成 求解

如：解方程

（2）形如 的方程，用换元法解。

如：解方程

( 3 )形如 的方程,化成指数式 求解。

如：解方程

【课后作业】

《名师一号》指数函数对数函数全能练习题。