学苏锡常镇四市高三二模数学试卷
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学苏锡常镇四市高三二模数学试卷
Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学Ⅰ试题
命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5
参考公式：
圆锥的体积公式：V圆锥=13Sh，其中S是圆锥的底面积，h是高．
圆锥的侧面积公式：S圆锥=rl，其中r是圆柱底面的半径， l为母线长．
样本数据1x，2x，… ，nx的方差2211()niisxxn，其中x=11niixn．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．
1．已知全集12345U，，，，，12A，，234B，，，那么UAB ▲ ．
2．已知2(i)2ia，其中i是虚数单位，那么实数a
▲ ． 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，
159，160，159，则该组数据的方差2s ▲ ．
4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面
向上的概率为 ▲ ．
5．若双曲线221xmy过点22，，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．
6．函数2ln2()1xxfxx的定义域为 ▲ ．
7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x，则实数a等
于 ▲ ．
8．若1tan2，1tan()3，则tan(2) ▲ ．
9．若直线340xym与圆222440xyxy始终有公共点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为1V，1S，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为2V，2S，若123=VV，则12SS的值为 ▲ ．
11．已知函数3()2fxxx，若1(1)(log3)0aff（0a且1a），则实数a的取值范围是 ▲ ． 12．设公差为d（d为奇数，且1d）的等差数列{}na的前n项和为nS，若19mS，0mS，其中3m，且*mN，则na ▲ ．
13．已知函数2()fxxxa，若存在1,2x，使得()2fx，则实数a的取值范围是
▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，设点(1 0)A，，(0 1)B，，( )Cab，，( )Dcd，，若不等式2(2)()()CDmOCODmOCOBODOA≥对任意实数abcd，，，都成立，则实数m的最大值是
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角ABC，，的对边分别是abc，，，已知向量(coscos)BC，m，(4)abc，n，且∥mn．
（1）求cosC的值；
（2）若3c，△ABC的面积15=4S，求ab，的值．
16．（本小题满分14分）
（第16题） C1B1A1PDCBA 在直三棱柱111ABCABC中，CACB，12AAAB，
D是AB的中点．
（1）求证：1BC∥平面1ACD；
（2）若点P在线段1BB上，且114BPBB，
求证：AP平面1ACD． 17．（本小题满分14分）
某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，0x）时，销售量()qx（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则1260()1qxx；若x大于或等于180，则销售量为零；当20180x≤≤时，()qxabx（a，b为实常数）．
（1）求函数()qx的表达式；
（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(0)xyabab的左，右焦点分别是1F，2F，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒
（1）若椭圆C的离心率等于63，求椭圆C的方程；
（2）若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点1F的位置关系，并说明理由﹒ 19．（本小题满分16分）
已知数列{}na的前n项和为nS，13a，且对任意的正整数n，都有113nnnSS，其中常数0．设3nnnab ()nN﹒
（1）若3，求数列{}nb的通项公式；
（2）若1且3，设233nnnca()nN，证明数列{}nc是等比数列；
（3）若对任意的正整数n，都有3nb≤，求实数的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数2()exfxaxbx（abR，，e2.71828是自然对数的底数），其导函数为()yfx．
（1）设1a，若函数()yfx在R上是单调减函数，求b的取值范围；
（2）设0b，若函数()yfx在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；
（3）设2b，且0a，点()mn，（m，nR）是曲线()yfx上的一个定点，是否存在实数
0x（0xm），使得000()()()2xmfxfxmn成立？证明你的结论．
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学Ⅱ（附加题） 命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5
21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两．．．．．题．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4 —1：几何证明选讲
已知△ABC内接于O，BE是O的直径，AD是BC边上的高．
求证：BAACBEAD．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知变换T把平面上的点(34)，，(5 0)，分别变换成(21)，，(1 2)，，试求变换T对应的矩阵M． 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A，B，C，D
4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. DEOBCA（第21-A题） C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(12)M，，倾斜角为3﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cosC﹒若直线l与圆C相交于AB，两点，求MAMB的值．
D．选修4—5：不等式选讲
设x为实数，求证：2242131xxxx≤﹒
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．
（1）求恰好摸4次停止的概率；
（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．
23．（本小题满分10分）
设实数12naaa，，，满足120naaa，且12||||||1naaa≤(*nN且2)n≥，令(*)nnabnnN．求证：1211||22nbbbn≤(*)nN．
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．{125}，， 2．1 3．65 4．12 5．4 6．0,11,2 7．1 8．17
9． [010]， 10．32 11．0,13, 12．312n 13．(1,5)
14． 51
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解：（1）∵∥mn，∴cos(4)coscBabC， …………2分
由正弦定理，得sincos(4sinsin)cosCBABC，
化简，得sin()4sincosBCAC﹒ …………4分
∵ABC，∴sinsin()ABC﹒
又∵0,A，∵sin0A，∴1cos4C． …………6分
（2）∵0,C， 1cos4C，∴2115sin1cos1164CC． ∵115sin24SabC，∴2ab﹒① …………9分
∵3c，由余弦定理得22132abab，
∴224ab，② …………12分
由①②，得42440aa，从而22a，2a（舍负），所以2b，
∴2ab． …………14分
16．证明：（1）连结1AC，设交1AC于点O，连结OD．
∵四边形11AACC是矩形，∴O是1AC的中点． …………2分
在△1ABC中， O，D分别是1AC，AB的中点，
∴1ODBC∥． …………4分
又∵OD平面1ACD，1BC平面1ACD，
∴1BC∥平面1ACD． …………6分 （2）∵CACB，D是AB的中点，∴CDAB﹒
又∵在直三棱柱111ABCABC中，底面ABC⊥侧面11AABB，交线为AB，
CD平面ABC，∴CD平面11AABB﹒ …………8分
∵AP平面11ABBA，∴CDAP． …………9分
