高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5

高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5

3 ．4 根本不等式

第一课时

课前预习学案

一、预习目标

不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并掌握定理。

二、预习内容

一般地，对于任意实数 a 、 b ，我们有 a 2 b 2 2ab ，当 ，等号成立。

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示： 。

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容

课内探究学案

教学目标 a2 b 2 2ab ，不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推

导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

a b ab 的证明过程；

2 【教学难点】

根本不等式 a b ab 等号成立条件

2

合作探究 1 证 ; a2 b 2 2ab

强调： 当且仅当 a b 时, a2 b 2 2ab

特别地 , 如果 a 0,b 0, 用 a和 b 分别代替 a、 b ,可得 a b 2 ab , 也可写成

ab a b (a 0,b 0) , 引导学生利用不等式的性质推导

2 证明 :

结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ab

a b

2

探究 2：课本中的“探究〞 高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5

在右图中， AB是圆的直径，点 C 是 AB上的一点， AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB的弦 DE，

连接 AD、BD。你能利用这个图形得出根本不等式

几何解释

a b ab的 2

练习

1 假设 0 a b 且 a b 1，那么以下四个数中最大的是 〔 〕

Ａ． 1 Ｂ． a2 b2 Ｃ． 2 ab Ｄ． a

2

2 a , b 是正数，那么

a b , ab, 2ab 三个数的大小顺序是 〔 〕

2 a b

Ａ． a b ab 2ab Ｂ． ab a b 2ab

2 a b 2 a b

Ｃ． 2ab ab a b Ｄ． ab 2ab a b

a b 2 a b 2 答案 B C

例题分析：

x、 y 都是正数，求证：

(1) y x ≥2；

x y

( 2 〕 Ｘ＞ 0，当Ｘ取何值时Ｘ + 1 有最小值，最小值是多少

x

分析： a 2 b 2 2ab ，注意条件 a、 b 均为正数，结合不等式的性质 ( 把握好每条性

质成立的条件 ) ，进行变形 . 1 正 2 定 3 相等

5 1

变式训练： 1 x＜ 4，那么函数 f 〔 x〕＝ 4x＋ 4x－ 5的最大值是多少？

2 证明：〔 x＋ y〕〔 x2＋ y2〕〔 x3＋y3〕≥８ x3y3.

分析：注意凑位法的使用。 高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5

注意根本不等式的用法。

当堂检测：

1. 以下表达中正确的选项是〔 〕 .

（ A〕两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数

（ B〕两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数

（ C〕假设两个数的和为常数，那么它们的积有最大值

（ D〕假设两个数的积为常数，那么它们的和有最小值

2 下面给出的解答中，正确的选项是〔 〕 .

1 1

〔 A〕 y＝ x＋ x≥2 x· x＝ 2，∴ y 有最小值 2

4 4

〔 B〕 y＝ |sin x| ＋ |sin x| ≥ 2 |sin x| ·|sin x| ＝ 4，∴ y 有最小值 4

x－ 2x＋ 3 2 －x＋ 3 2 〔 C〕y＝x〔－ 2x＋ 3〕≤〔 〕 ＝〔 〕 ，又由 x＝－ 2x＋ 3 得 x＝ 1，∴

2 2

2

当 x＝ 1 时， y 有最大值〔 － 1＋3〕 ＝1

2

〔 D〕 y＝ 3－ x－ 9 x· 9 ≤ 3－ 2 ＝－ 3， y 有最大值－ 3

x x

4

3. x＞ 0，那么 x＋ x＋ 3 的最小值为〔 〕.

〔 A〕 4 〔 B〕 7 〔 C〕 8 〔 D〕11

1

4. 设函数 f 〔 x〕＝ 2x＋ x－ 1〔 x＜0〕，那么 f 〔 x〕〔 〕 .

〔 A〕有最大值 〔 B〕有最小值 〔 C〕是增函数 〔 D〕是减函数

答案 1 B

课后练习与提高

1 x 、 y都是正数，求证：

① 如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 p 1

② 如果和 x y 是定值 S，那么当 x=y时，积 xy有最大值 S 2

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2. 设 a, b, c (0, ), 且 a+b+c=1，求证： ( 1 1)( 1 1)(1 1) 8.

a b c

答案： 1 略 2 提示可用 a+b+c 换里面的 1 ，然后化简利用根本不等式。

第二课时根本不等式的应用

课前预习学案

一、预习目标

会应用根本不等式求某些函数的最值 , 能够解决一些简单的实际问题二、预习内容

1 如果 xy是定值 p ，那么当 x y 时，和 x y 有最

2 如果和 x y 是定值 s ，那么当 x y 时，积有最

3 假设 x 1 ，那么 x =_____时 ,

x 1

有最小值，最小值为 _____.

x 1

4. 假设实数 a、 b 满足 a+b＝ 2, 那么 3a+3b 的最小值是 _____.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容 高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5

课内探究学案

一、学习目标

1 用根本不等式求某些函数的最值 , 能够解决一些简单的实际问题 .

2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心 .

教学重点： 正确运用根本不等式解决一些简单的实际问题

教学难点： 注意运用不等式求最大〔小〕值的条件

二、学习过程

例题分析：

例 1、〔 1〕用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（ 2〕一段长为 36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析： 〔 1〕当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（ 2〕当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：

变式训练： 1 用长为 4a 的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？

2 一份印刷品的排版面积〔矩形〕为 A 它的两边都留有宽为 a 的空白，顶部和底部都留有宽为 b 的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？

变式训练 答案 1 x a 时面积最大。 2 此时纸张长和宽分别是 Aa 2a 和 b

Ab

a

2b ．

例 2：〕某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3, 深为 3m，如果池底每

2 2

最低总 1m 的造价为 150 元，池壁每 1m 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，

造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化， 即建立函数关系式， 然后求函数 高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5

的最值，其中用到了均值不等式定理。

答案：底面一边长为 40 时，总造价最低 2976000。

3

2m的长方形无盖水池， 如果池底和池壁每 2

的造价 变式训练： 建造一个容积为 18m, 深为 m

为 200 元和 150 元，那么池的最低造价为 元 .

答案： 3600

当堂检测： 1 假设 x, y 是正数，且 1 4 1 ，那么 xy

有 〔 3 〕

x y

Ａ．最大值 16Ｂ．最小值 1 Ｃ．最小值 16Ｄ．最大值 1

16 16

2 x 0, y 0 且满足 2 8 1, 求 x y 的最小值 .4

x y

Ａ． 16 Ｂ 20． Ｃ． 14 Ｄ． 18

3 某食品厂定期购置面粉，该厂每天需要面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1800

元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900 元．求该厂多

少天购置一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

答案 :1 C 2 D 3 x 10 时， y 有最小值 10989，

课后复习学案

1 x>0， y>0，且 3x+4y=12 ，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值．

2 广东省潮州金中 08-09 学年高三上学期期中考试〕某种汽车的购车费用是 10 万元，

每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费用第一年是 0.2 万元，以

后逐年递增 0.2 万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多