高中数学新人教A版必修5教案3.4基本不等式3

一、内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.4节 《基本不等式》的第一课时，主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用.

本节内容具有变通性、应用性的特点，它与线性规划呈并列结构，可用来求某些函数的值域和最值，也可解决实际生活中的最优化配置问题.本节内容由两部分构成，其一是利用“一正、二定、三相等”的七字条件求函数最值并用来解决实际问题，其二是对基本（重要）不等式的探究过程，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法.作为本节内容的第一课时，重点在后者.特别是，本节课内容是体现新课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材.

本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在两个不等式的发现和对基本不等式的几何解释的学习过程中突出体现了数形结合思想，在基本不等式与重要不等式的关系及其应用中都突显换元的方法.

在对教材深入挖掘的基础上，本节内容中含有多个德育教育点.教材引入赵爽的弦图，是体现数学文化价值、对学生进行以爱国主义为核心的民族精神教育的好机会.在探究不等式的过程中，不等式中等号成立的条件是体会量变与质变的辩证关系的较好素材.利用对教材例1的反思，可使学生树立科学的节能减排意识、环保意识.通过教师创设的问题情境，还可使学生树立现代社会的诚信观.

本节课教学重点： 1.学生在经历基本（重要）不等式的生成及证明过程中初步学会“实验（几何）——猜想(代数)——证明——结论（定理、概念）——应用”的探索数学问题的方法.

2.会运用基本（重要）不等式解决简单的比较大小和求某些函数最值的简单问题.

二、目标和目标解析

（一）教学目标

（1）通过拼图、折纸的几何实验，经历基本（重要）不等式的发现过程，初步学会在类似的问题情境下，尝试运用 “实验——猜想——证明——结论（定理、概念）——应用”的方法探究数学问题.

（2）了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件.

（3）会运用基本（重要）不等式比较大小.

（4）知道基本不等式成立的条件，并会求0,0baxbaxy类型的函数在0x时的最小值，初步认识 “=”成立的作用.

（5）通过对基本不等式的探究及几何解释的理解，体会数形结合思想的作用.

（6）在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感. 在探究不等式的过程中，体会量变与质变的辩证关系.通过教师对基本不等式例题的设置，帮助学生树立现代社会诚信意识及科学的节能减排理念.

（二）教学目标解析

（1）新课标中对经历知识的发生过程提出了较高的要求，强调使用 “经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，学生要体验数学的发现与创造的过程.本节课是学生经历“学数学、做数学、用数学”的一次机会，因此将经历基本（重要）不等式的发现过程作为重要的教学目标之一，在此过程中学会数学地思考问题的方法，培养学生良好的学习态度和习惯.

（2）教学中设置两条主线，一是知识与技能的主线，采用层层递进的呈现方式，使学生学会初步运用基本（重要）不等式解决简单问题的方法.二是感受过程与方法的主线，即学生经历“了解研究方法——感受研究方法——自主研究”的过程.

（3）基本（重要）不等式的证明过程有很多种方法，如比较法、综合法、分析法等，在此处证明过程只要求学生能用已有知识证出即可，不作过多的说明和证明方法罗列.以往经验告诉我们，学生在解题中易忽视基本不等式成立的条件，因此设计了在证明的过程中学生自己发现成立条件的教学目标.

(4)基本（重要）不等式的主要应用是求函数的最值或值域，由于本课时是本节的第一课时，主要还是以学生掌握不等式内容和探究过程为主，只要会比较大小和会求0,0baxbaxy型的函数在0x时的最小值即可,为第二课时求最值的“一正二定三相等”的一般方法作准备.

(5)通过对基本不等式的几何解释的理解，养成用数形相结合思想分析数学问题的习惯，提高学生提出、分析和解决问题的能力.

（6）教材用赵爽的弦图作为本节课的导入，借此可增强学生的民族自豪感，通过了解中国数学文化，培养学生爱祖国、爱科学的精神.通过图形探究重要不等式时，必然要经历不等到相等的过渡，而此过程正能体现马克思主义哲学原理中量变与质变的辩证关系.基本不等式在实际生活中应用较广泛，通过设置学生感兴趣的动画情境，对学生进行明理诚信教育，通过设置生活化的问题情境，使学生树立科学生态价值观.

（三）学习结果分析

通过本节课的学习，学生认知系统中增加两个恒成立的不等式，并将其作为求某些特定函数最值的重要方法.学生在通过基本不等式的探究和几何解释过程中，体会到数形结合的作用.学生初步学会动手做些简单的数学实验并尝总结、应用结论.在学习的过程中，学生受到了民族精神的熏陶和明理诚信的道德教育，并树立了科学的节能减排的意识.

三、教学问题诊断分析

（一）问题诊断分析

（1）个别同学在动手实验时会存在不知所措或不会从几何图形中提炼出代数形式的不等关系，其原因是学生重解题轻过程的现状使此方面能力较弱，教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.

（2）在基本不等式几何解释的教学环节中，学生可能会把几何解释作为一种“负担”被动地接受，因为用几何变化的现象解释变量变化的结果学生是非常陌生的，所以教学中通过帮助学生构造直角三角形并引导学生在其中寻找“平均数”的几何表示，为学生“排忧解难”，培养学生数与形相结合思考问题的习惯.

（3）在两个不等式的证明过程中学生会出现困难，因为在3.1节不等式性质只是要求学生了解比较法证明简单不等式，学生也没有接触综合法、分析法证明，虽然教材运用了分析法，教学中没有必要刻意追求此方法，而是要根椐学生实际，采用学生想到的证明方法，让学生知道证明的必要性和可行性，在探究的基础上体会证明的思路即可.

（4）基本不等式的应用向来是难点，首先解题中的换元法给学生带来了一定的障碍，其次使用条件易忽视.为此教学中采用小步子的引导渗透的方法，简化题目难度，为后面学习作为铺垫.

教学难点：

1.运用 “实验（几何）——猜想（代数）——证明——结论（定理、概念）——应用”解决数学问题的方法的形成过程.

2. 基本（重要）不等式证明过程及应用.

（二）学习新知所需条件分析

（1）学生具有动手操作数学的意识和基本的观察能力和提取数据的能力.

（2）学生具有初步用数形结合思想独立分析问题的能力.

（3）学生具有利用比较法证明不等式和函数最小值概念的知识基础.

四、教法分析及教学支持条件

本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.

五、教学过程

（一）感知问题，指明研究方法

a

1.观察直角三角形，提出问题1.

问题1：在直角三角形的边的关系中有哪些不等关系，你能提炼出怎样的不等式？

师生活动：学生利用直角三角形的性质总结不等式：aba22、22baba等，并感受取值范围的重要性、ba.学生体验由几何图形中的不等关系容易得出一些恒成立的不等式，并感受数形结合的作用及事物间普遍联系的观点.

2.点明本节课要通过几何图形中的不等关系探索出一些重要的、有用的恒成立的不等式.

【设计意图】（1）根椐本节课教材内容的特点及教学目标的确定，首先让学生开门见山地体会数形结合的作用.

（2）学生在明确研究目标和方法后，便知道本节课的“目的地”和“基本路线”，从而产生急于完成此段“旅行”的心理，调动了学生学习的积极性.

【课件开发】利用PPT逐个显示，从而引出课题.

ABCbaaba2222baba0,0ba基本不等式

（二）探究问题，感受研究方法 b 1．重要不等式探究过程

问题2：由一个直角三角形过渡到四个全等的直角三角形，你能拼成以斜边为边长、外轮廓为正方形的图形吗？

师生活动：以小组活动形式动手实验，尝试摆出图形，从而介绍赵爽的弦图和第24届北京国际数学家大会的会标，学生将数学文化融入内心世界，内化成学习动力.

【设计意图】作为本节课第一个实验，其目的在于使学生经历数学实验的过程，增强学好数学的信心.同时通过了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，增强学生对国家发展的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统.

【课件开发】利用PPT逐个出示图片，学生通过图片直观感受,增强以爱国主义为核心的民族精神.

赵爽弦图

问题3：如果我们仍利用赵爽的弦图，你能发现其中的不等关系吗？从几何图形中的不等关系可提炼出怎样的代数形式的不等式呢？在同学们摆出的图形中有没有二者相等的情况？什么样的三角形会使不等关系变为相等？

师生活动：学生通过观察图形,容易找到不等式，也容易得出二者相等的条图1 件.教师借助几何画板进行动态演示，验证不等关系.通过由不等向相等过渡，使学生感受由量变到质变的变化过程.从而指明“=”成立的条件，解释“当且仅当”的含义，并总结出一般情况.

【设计意图】学生体会如何从实验中发现问题，如何从特殊到一般地猜想问题.感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程，感受由量变到质变的数学问题中的辩证关系.

【课件开发】根椐学生的回答，配合幻灯片展示（如图2）.拖动利用几何画板中的控制点(如图3)，使b、a的长度不断变化，通过观察b、a的值和图形中的不等关系，以及不等到相等的过渡，体会当且仅当的含义，感受当量变积累到一定程度必然会质变的道理.

ba正方形ABCD的面积> 4个直角三角形面积之和22ab2aba=bADCBc22ab问题：观察赵爽的弦图，你能得出怎样的不等的关系？实验：

图2

bab = 3.55a = 1.89

问题4：由图形验证的结论只是猜想，并不能代表一般的情况，你能证明你的猜想吗？在证明的过程中你能发现不等式成立的条件吗？

师生活动：教师适时点拨，证明不等式可以用比较法、或以某个不等式为依据的方法推出结论.证明后点明此不等式为重要不等式.

预设方案一：比较法（作差）

预设方案二：综合法 由02ba推出结论

【设计意图】虽然证明过程很简单，但对学生来说证明会稍有困难，所以必要时要对学生进行适当的点拨.同时通过证明过程发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解.

【课件开发】展示研究重要不等式的过程，强调结论的重要性.

猜想：证明：a结论：22, 2ababab一般地,对于任意实数,我们有当且仅当时，等号成立。ab实验：应用：abb222当且仅当时，等号成立。ba

问题5：应用重要不等式解决简单的比较大小的问题.

师生活动：各式与重要不等式的内容进行对比，分析上述代数式的结构特征，，准确找到变量ba、分别由哪些量代替，学会以重要不等式为依据、利用换15142;14152222111aa22baab;2;2图3