线段之和最短问题
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. 线段之和最短问题
一． 常见数学模型：
1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3. 如图，直线 和 的异侧两点A、B，分别在直线 、 上求作一点P、Q两点，
使AP+PQ+QB最小。
4. 如图，直线 的同侧两点A、B，分别在直线 上求作一点P、Q两点，且PQ=a，
使AP+PQ+QB最小。
lABl2l1ABlABal1BA.
. 5.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B使△PAB的周长最小。
6.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的
周长最小。
为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型” NM0PNM0A0MNPQNM0A.
. 练习题
1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．
2．如图，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD’，EE’，设护城河是东西——南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？
3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
BAOPyxBA1234–1–2–3–4–1–2–3–41234OBA.
. EDCBA4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值
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. 6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
7．著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路x同侧，50kmABA，、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
A'ABBAyxBAO.
. 8．如图，在锐角△ABC中，AB = 42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
9．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值
10．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3 + 1 时，求正方形的边长.
30°2ABCMND CBAENBCADM.
. 参考答案
1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．
点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则
-2=-k+b 2=4k+b
解得：k = (4/5) b = - (6/5)
所以：y = (4/5)x-(6/5)
当x = 1时，y = -(2/5)
故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小
2．如图，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD’，EE’，设护城河是东西——南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？
如图，作BB’⊥a，AA’ ⊥b，且BB’ = 4，AA’ = 4，连接A’B’，交河岸于点E’，D’，分别过点E’、D’架设桥梁DD’，EE’，则ADD’E’EB是最短路线。
因为四边形ADD’A’、四边形BEE’B’都是平行四边形，所以BE = B’E’，AD = A’D’，因为A’，B’之间线段最短，所以ADD’E’EB是最短路线，又BF = 64，AF = 84，所以B’F = 60，A’F = 80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’ = 100，最短路线为108米
3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，
交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2， xy1234–1–2–3–41234–1–2–3–4A'BAObaDEE'D'ABbaFDEE'D'B'A'BARQP2P1AOBP.
. 则OP = OP1 = OP2 = 10 且∠P1OP2 = 90°
由勾股定理得P1P2 = 102
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小
作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。
在直角△DBC'中
DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=5
5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值
(1)AC = (8-x)2 + 25 ，CE = x2 + 1 则AC+CE = (8-x)2 + 25 + x2 + 1
(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小
连接AE，交BD于点C，则AE就是AC+CE的最小值
最小值是10
(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值
在直角△AEF中,AF = 5 EF = 12
根据勾股定理 AE = 13
32x12-xCFBDAE51x8-xFE'BDAECＣ'DＡＣＢE
