拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用

林天军 5140309331 F1403014

摘要：在含有两个独立动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方

程, 这样的电路称二阶电路。用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、

难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等[1]普拉斯变换, 将时域函数转化为复频域函数（s数）, 待确定响应后再用拉氏反变换得到时域响应即最后的解。这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数,

求解较为简单。

关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。

一、前言

拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。他能将时域中的微分运算以及积分运算分别变换为复频域（s域）中的乘法及除法，从而将时域中的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分析计算变的简单有效。

1.拉氏变换

设时域函数ft在区间[0，）内的定积分为0stftedt而式中，其复

频率为sj。若该积分在s某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为0()()stFsftedt则复频域函数()Fs定义为时域函数()ft的拉普拉斯变换—（简称拉氏变换），简记为()[()]Fsft，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-，可以计及t=0时的()ft中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便[2]。

2.拉普拉斯变换的基本性质

（1）线性性质

若11[()]()ftFs，22[()]()ftFs，则对任意常数1a及2a（实数或虚数）有112211221122[()()][()][()]()()aftaftaftaftaFsaFs

（2）微分性质

若[()]()ftFs，则[()]()(0)dftsFsfdt

（3）积分性质

若[()]()ftFs，则01[()]()tfdFss

２０１４年３月　。　教育教学论坛　Ｍａｒ．２０１４　笪　塑　．　垒工　垒　鱼　：　【教学设计】　

“用拉普拉斯变换法分析电路、ｓ域元件模型　’的课堂教学设计　

曷歉　

（天津职业技术师范大学电子工程学院，天津３００２２２）　

摘要：信号与系统是电气类专业的一门专业基础课程，拉普拉斯变换是求解连续时间系统响应的重要方法之一，在　

变换域分析中有非常重要的作用。本文从教材分析、教学方法、教学过程和教学反思四个方面讨论了该堂课的教学设计　过程，实践证明得到了很好的教学效果。　关键词：拉普拉斯变换；教材分析；教学设计；教学反思　中图分类号：Ｇ６４２．３　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—９３２４（２０１４）ｔ０—０２３４—０２　

用拉普拉斯变换法分析电路、Ｓ域元件模型是高等教育　

出版社《信号与系统》第四章第五节的内容，是第四章拉普拉　

斯变换、连续时间系统的Ｓ域分析中的重要内容。它解决了通　过变换域方法求解连续时间系统响应的问题，是求解微分方　

程的重要方法之一。这一节与前面两节拉普拉斯变换的性质　

和拉普拉斯逆变换紧密相连，由这一节的讨论又引出了下　

一节系统函数的问题，在本章中占有非常重要的地位。　

一、教材分析　

本次教学内容是用拉普拉斯变换的方法求解连续时间　

系统响应，主要应用了两种方法得到系统的Ｓ域数学模型，　

一是对微分方程进行拉普拉斯变换，另外一种是采用Ｓ域元　

件模型分析电路直接得到ｓ域的代数方程。教学目标是让学　

生掌握连续时间系统的复频域分析法，能通过元件的ｓ域模　型得到系统的Ｓ域代数方程。教学重点是对微分方程进行拉　

普拉斯变换和用Ｓ域元件模型简化微分方程。教学难点是拉　

普拉斯变换微分性质的应用。对于教材中本节的例题，选择　

其中的例４—１３和例４—１５来进行讲解。例４一ｌ３采用拉氏变换　

的方法分析电路，例４—１５采用的是Ｓ域元件模型的分析方　

法，是比较有代表性的两个例题，涵盖了本节的重要知识　

点。另外把第二章的课后作业２—６作为一个补充例题，因为　教材中的例题只解决了求解系统完全响应的问题，而没有　

河南科技JournalofHenanScienceandTechnology总568期第7期2015年7月Vol.568，No.7Jul，2015

1拉普拉斯变换的数学思想及其应用拉普拉斯变换法是一种间接求解的数学思想，在数学中利用这种数学思想解决实际问题的实例有很多［1］。掌握这种数学思想有利于灵活的解决工程中复杂问题。1.1解方程：x1.85=3分析：由于方程中的幂指数不是整数，直接计算比较麻烦。可以通过某种变换将其简化，对方程两边取对数得：1.85lgx=lg3lgx=lg31.85=0.2579x=lg-1（0.2579）=1.81091.2求xdx11+分析：由于出现x，不容易对其进行积分，可以通过一种变换把x换掉进行求解。令t=x，则x=t2（t≥0），dt=2tdt通过以上分析可以看出拉普拉斯变换法通过一定的变换方式将原来比较复杂的问题简化为容易解决的问题，这种变换思想在电路分析中也多有体现，因此，熟练掌握拉普拉斯变换法对于分析复杂的动态网络具有重要意义。2拉普拉斯变换定义1：设函数f（t）是定义在［0，+∞）上的实值或复值函数，而且积分（S是一复变量）在S的某一区域内收敛，则由该区域积分所确定的函数可以写成：则称F（s）为F（t）的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记作F（s）=L［f（t）］并称F（s）为f（t）的相函数［1］。收稿日期：2015-6-12作者简介：吴世林（1992.03-），男，本科，研究方向：电气工程及其自动化专业。拉普拉斯变换及其数学思想在电路分析中的应用吴世林王运达（郑州大学电气工程学院，河南郑州450001）摘要：拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术中有着广泛的应用，尤其在研究电路中是一个常用的工具。本文主要探讨拉普拉斯的数学思想到拉普拉斯变换在电路分析中的实际应用，阐述了拉普拉斯变换在电路分析中的重要意义。关键词：拉普拉斯变换；数学思想；电路分析中图分类号：TB115；TM133文献标识码：A文章编号：1003-5168（2015）07-0095-2LaplasseTransformandtheApplicationofItsMathematicalThoughtintheCircuitAnalysisWuShilinWangYunda(SchoolofElectricalEngineering，ZhengzhouUniversity，ZhengzhouHenan450001)Abstract：Laplassetransformiswidelyusedinmathematics，physicsandengineeringtechnology，especiallyinthestudyofthecircuit，itisacommonlyusedtool.thisarticlemainlydiscussesthepracticalapplicationofLaplasse􀆳smathematicalthoughttoLaplassetransforminthecircuitanalysis，andexpoundstheimportantsignifi⁃canceofLaplassetransforminthecircuitanalysis.Keywords:Laplassetransform;mathematicalthought;circuitanalysis

第７卷第６期　２　００　８年６月　南阳师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．７　Ｎｏ．６　Ｊｕｎ．２００８　

拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用　

宋玉玲，鲁道邦，海　涛，崔本亮，高振海，王　种　

（南阳师范学院物理与电子工程学院，河南南阳４７３０６１）　

摘要：拉普拉斯变换是分析复杂线性动态电路系统的有力工具，但对含互感电路进行复频域分析的文献不多。研究　拉普拉斯变换方法在互感电路中的应用，简化了电路的求解过程。　关键词：拉普拉斯变换；互感；ｓ域元件模型　中图分类号：ＴＭ　１３１．４１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６１３２（２００８）０６—００３０—０２　

互感在工程中应用极其广泛，因此对互感电路进行分　析非常必要．常见的基本分析方法有时域分析法、频域分　析法、复频域分析法．由于互感电路本身的复杂性，采用时　域或频域进行分析都很繁琐．本文从复频域角度，首先对　互感元件进行ｓ域变换，然后对互感电路进行复频域分析．　２．１　ｓ域元件模型。。。　Ｒ、Ｌ、Ｃ元件的ｓ域关系为　（ｓ）＝Ｒ　（ｓ），　（ｓ）＝ｓＬｉ　（ｓ）一Ｌｉ　（ｏ），　ｖｃ（ｓ）＝１ｓｃ１ｃ（ｓ）＋１ｓ　ｃ（Ｏ）．一　（２）　

１　拉普拉斯变换　其中正，　１，因具有阻抗的量纲，称为电感和电容的等效阻　

对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解微分　方程的方法比较困难．例如对于一个ｎ阶方程，直接求解时　需要知道变量及其各阶导数在ｔ＝０　时刻的值，而电路中　给定的初始状态是各电感电流和电容电压在ｔ＝０＋时刻的　值，从这些值求初始条件的工作量很大．拉普拉斯变换和　傅立叶变换都是积分变换，但它比傅立叶变换有更广泛的　适应性，是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之　一　Ｉ４　．在傅立叶变换中，引入衰减因子ｅ～‘（　为实常　数），根据不同信号的特征，适当选取　的值，使乘积信号　ｔ）ｅ～‘当￡一±＊时信号幅度趋近于０，从而使　ｔ）ｅ～‘的　定义式积分收敛．