中考专题复习9 分式方程及应用

第1页 共11页 2020年中考数学第二轮复习 第九讲 分式方程

【强基知识】

一、分式方程的概念

分母中含有 的方程叫做分式方程

注意：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据

二、分式方程的解法：

1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即

整式方程转化去分母分式方程

2、解分式方程的一般步骤：

①、 ②、 ③、

3、增根：

在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。

注意：

1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略

2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原 方程去分母后的整式方程无解。如： 131xxax有增根，则a= ，若 该方程无解，则a= 。

三、分式方程的应用：

解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。

注意：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型

【中考真题考点例析】

考点一：分式方程的解

例1 （黑龙江）已知关于x的分式方程21ax=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ）

A．a≤-1 B．a≤-1且a≠-2 C．a≤1且a≠-2 D．a≤1．

对应练习1－1 （贵港）关于x的分式方程011xm的解是负数，则m的取值范围是（ ）

A．m＞-1 B．m＞-1且m≠0 C．m≥-1 D．m≥-1且m≠0

2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用（二）

1．在数学课上，老师出了这样一道题：甲、乙两地相距1200千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用8小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，求特快列车从甲地到乙地的时间．

2．今年6月25日是我国的传统节日端午节，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A，B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．求A，B两种粽子的单价各是多少？

3．某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工作量比原计划增加25%，结果提前10天完成了任务，实际每天铺设多长管道？

4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前了30天完成了这一任务．

（1）用含x的代数式填表（结果不需要化简）

工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米）

原计划 x

60

实际 60

（2）求（1）的表格中的x的值．

5．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．

（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？

（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？

6．为了防控新冠病毒肺炎，某校积极进行校园环境消毒，第一次购买甲、乙两种消毒液分别用了240元和540元，每瓶乙种消毒液的价格是每瓶甲种消毒液价格的倍，购买的乙种消毒液比甲种消毒液多20瓶．

第16讲 分式方程及其应用

考点·方法·破译

1．分式方程(组)的解法

解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.

2．分式方程增根

在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).

3．列分式方程解应用题

列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.

经典·考题·赏析

【例1】解下列方程:

⑴22xx－2164x＝1

⑵12x－2244xx－22x＝4

⑶45xx＋89xx＝78xx＋56xx

【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如45xx＝515xx＝1＋15x，按照上述变形，原方程可变为15x＋19x＝18x＋16x再移项后分组通分求解较简单.

解: ⑴22xx－1622xx＝1

(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)

x2－4x＋4－16＝x2－4

x＝－2

当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.

（分式方程及应用）

章节 第二章 课题 分式方程及应用

课型 复习课 教法

教学目标（知识、能力、教育） 1.使学生进一步掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练运用各种技巧解方程,会检验分式方程的根。

2.能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．

教学重点 解分式方程的基本思想和方法。

教学难点 解决分式方程有关的实际问题。

教学媒体 学案

教学过程

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；

3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若

的值为零或 的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有 和 。 （二）：【课前练习】