5-3定积分的换元法与分部法

编辑版word 定积分换元法

1、先做这个题

这个题用一般的方法是无法解出来的，因为不知道到底哪个函数求导后是。

我们可以设x=a*sin t，要x从0取到a，只要t从0取到π/2就行。现在就用a*sin t代替x。那么，就有

求导数等于cos（2t）的函数是很容易求出来的。结果为

总结：所谓的换元思想，就是替换。x既可以理解成一个自变量，也可以理解成一个函数。这个例题中把它当成自变量不好解，就尝试把它看成是一个函数。这个函数是你自己可以编的。你可以用x=a*cos t（-π/2

将一个自变量自己编为一个合适的函数，这就是第一类换元法

2、再看一个题目

这个题目， Sin xdx=-dcos x的。于是有 编辑版word

这里把cos x看成了一个整体，相当于，把整个函数看成了一个自变量。即t=cos x ，根据x从0取π时，t从1取到0。

将整体看成一个自变量，这就是第二类换元法。

再看一下标准的定理：

正向是第一类，逆向是第二类。

应该能理解了。就是把单独的变量看成一个整体和把整体看成一个变量的事。注意好积分号的上下限。

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第五章 定积分

一、教材分析

定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。

定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。

二、教学要求

1、理解定积分的概念及性质

2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。

3、理解积分上限函数及其求导定理。熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4、了解反常积分的概念

5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）

三、教学重点与难点

重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法

难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。

四、教学内容及课时划分

§5—1 定积分的概念与性质 3课时

§5—2 微积分基本公式 2课时

§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时

§5—4 反常积分 2课时

习题课 2课时

合计 12课时

五、本章知识结构图

1 习题5-1 定积分的概念

1、利用定积分的几何意义，求下列积分：

(1)dxx21 （2）dxx3329

解

2、估计下列各积分的值：

(1)4542sin1dxx （2）022dxexx

3、根据定积分的性质及教材中习题5-1第12题的结论，说明下列各对积分哪一个的值较大：

(1)21lnxdx还是212lndxx？

解（1）在区间{1，2}上,由于0ln1x,得2lnlnxx,因此21lnxdx比221lnxdx大.

(2)10dxex还是101dxx？

解 由于当0x时ln1xx，故此时有1xxe，因此10xedx比101+xdx大。

习题5-2 微积分基本公式 2 1、求由参数表达式tudux0sin，tuduy0cos所确定的函数对x的导数dxdy.

2、求由ytdte00cos0xtdt所确定的隐函数对x的导数dxdy.

3、计算下列各导数:

(1) 2021xdttdxd ; (2) xxdttdxdcossin2cos.

解 （1）原式=421xx；

（2）原式=cossin222200coscossincoscoscoscossinxxdtdttdtxxxxdx

222sincossincoscossinsincoscossinxxxxxxx

4、 计算下列定积分:

(1) 1024xdx; (2)012241133dxxxx;

定积分的换元积分法与分部积分法

教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法

难 点：定积分换元条件的掌握

重 点：换元积分法与分部积分法

由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．

1．定积分换元法

定理 假设

(1) 函数)(xf在区间],[ba上连续；

(2) 函数)(tx在区间],[上有连续且不变号的导数；

(3) 当t在],[变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且ba)(,)(，

则有

dtttfdxxfba)()()(． (1)

本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(tx应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．

例1 计算211dxxx．

解 令tx1，则tdtdxtx2,12．当1x时，0t；当2x时，1t．于是

102102211112211dtttdtttdxxx

412)arctan(210tt．

例2 计算adxxa022)0(a． a

a O x y

图5－8 解 令taxsin，则tdtadxcos．当0x时，0t；当ax时，2t．故

adxxa022dttata20coscos

dtta)2cos1(2202

2022sin212tta

42a．

显然，这个定积分的值就是圆222ayx在第一象限那部分的面积(图5－8)．