定积分的换元法和分部积分法

山西财经大学

教 案

课程名称 微积分（二）

课程代码

适用专业 经济、管理各专业；

开课时间

2015年3月* 日第1周至第 16 周

授课班级 微积分公选班

主讲教师

职称

使用教材 微积分（经管类）；隋如彬主编

二○一四年六月

教 案（扉页）

课程名称 微积分（二） 总计：64学时

课程性质 公共通识课

学分 4 讲课：64学时

实验：0 学时

教学目的 培养学生量化分析问题的思想、经济数学建模的意识和逻辑思维能力；掌握

基本的数学知识，为后续经济与数学课程提供必备知识；

教学要求 比较系统地理解微积分基本概念和基本理论，掌握微积分的基本方法；并在

教学过程中，培养学生的“五种能力”：抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想

象能力、基本运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

教学方法 课堂讲授，启发式教学，课堂讨论，研究性教学，提问式教学，师生互动相

结合

教学手段 多媒体教学 与 传统讲授 相结合

考核方式 闭卷考试

教学参考

资 料

1、微积分教学大纲、教学进度、规范教案、教学日历等要件；

2、微积分教材《微积分》，隋如彬，科学出版社2012年第二版；

3、参考书：

微积分原理及实验，王拉娣、刘振洁等编著，中国科学技术出版社；

微积分，朱来义，高等教育出版社；

高等数学，同济大学，第五版；

数学分析，华东师范大学，高等教育出版社；

Calculus,Eight edition by Dale Varberg,EdwinPurcell etc.

4、微积分学习指导（经典丛书）

注：1.课程性质：思想政治理论课、公共通识课、学科共同课、专业必修课、专业选修课、公

共选修课、跨专业选修课、实验课等。

2.教学方法：课堂讲授，启发式教学，课堂讨论，案例教学，研究性教学，当堂测试，提

问式教学，课程论文，课程设计，学生讲授，师生互动等。

3.教学手段：多媒体教学，传统讲授，网络教学，远程教学，VCD，录相等。

定积分的换元积分法与分部积分法

教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法

难 点：定积分换元条件的掌握

重 点：换元积分法与分部积分法

由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．

1．定积分换元法

定理 假设

(1) 函数)(xf在区间],[ba上连续；

(2) 函数)(tx在区间],[上有连续且不变号的导数；

(3) 当t在],[变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且ba)(,)(，

则有

dtttfdxxfba)()()(． (1)

本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(tx应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．

例1 计算211dxxx．

解 令tx1，则tdtdxtx2,12．当1x时，0t；当2x时，1t．于是

102102211112211dtttdtttdxxx

412)arctan(210tt．

例2 计算adxxa022)0(a． a

a O x y

图5－8 解 令taxsin，则tdtadxcos．当0x时，0t；当ax时，2t．故

adxxa022dttata20coscos

dtta)2cos1(2202

2022sin212tta

42a．

显然，这个定积分的值就是圆222ayx在第一象限那部分的面积(图5－8)．

定积分换元法与分部积分法

在微积分中，求解定积分是一个常见的问题。为了解决这一问题，数学家们发展出了一系列的积分技巧和方法。其中，定积分换元法和分部积分法是两种常用的方法。

1. 定积分换元法

定积分换元法，也经常被称为反链式法或者u-置换法，是一种通过变量替换的方法来求解定积分的方法。其基本思想是：将被积函数中的一个变量替换为一个新的变量，使得原来的被积函数在新的变量下形式简化。

换元法的一般步骤如下：

1. 选择一个合适的变量替换，通常使用一个新的变量来替换被积函数中的一个变量。

2. 计算新的变量对应的微元变量，并求得其微分。

3. 将原来的被积函数表示为新的变量的函数，并对其进行简化。

4. 计算新的定积分，并将结果转换回原来的变量。

通过这种换元法，我们可以简化复杂的被积函数，从而更容易求解定积分。下面通过一个实例来进一步说明定积分换元法的具体步骤。

示例：求解定积分 $I = \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x^2} dx$

步骤1：选择合适的变量替换。我们选取新变量 𝑢=𝑥2，则 𝑑𝑢=2𝑥𝑑𝑥

步骤2：计算新变量对应的微元变量。由 𝑑𝑢=2𝑥𝑑𝑥，可以得到 $dx =

\\frac{du}{2x}$

步骤3：将原被积函数表示为新的变量的函数，并进行简化。将 𝑥 表示为 𝑢 的函数，则 $x = \\sqrt{u}$。将被积函数 $\\frac{1}{x^2}$ 替换为 $\\frac{1}{u}

\\cdot \\frac{1}{2\\sqrt{u}} = \\frac{1}{2u\\sqrt{u}}$

步骤4：计算新的定积分，并转换回原变量。将积分的上下限也用新的变量表示，则新的定积分为 $I = \\int_{1}^{4} \\frac{1}{2u\\sqrt{u}} \\cdot

\\frac{du}{2x}$。对新的定积分进行计算，得到 $I = \\frac{1}{4}

第5章 定积分及其应用 5.3 定积分的换元法和分部积分法 习题解

1 1．计算下列定积分：

⑴3sin()3xdx；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

3sin()3xdx3sin()()33xdx3cos()3x

[cos()cos()]333[cos(cos)]033。

【解法二】应用定积分换元法

令3xu，则dxdu，当x从3单调变化到时，u从23单调变化到43，于是有

3sin()3xdx4323sinudu4323cosu42[coscos]33

[cos(cos)]033。

⑵132(115)dxx；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

132(115)dxx1321(115)(115)5xdx21211(115)52x

22111[]10(1151)(1152)211(1)101651512。

【解法二】应用定积分换元法

令115xu，则15dxdu，当x从2单调变化到1时，u从1单调变化到16，于是有

132(115)dxx163115udu21611152u211(1)101651512。

⑶320sincosd；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

320sincosd320coscosd4201cos4441[coscos0]42 第5章 定积分及其应用 5.3 定积分的换元法和分部积分法 习题解

2 1[01]414。

【解法二】应用定积分换元法

令cosu，则sinddu，当从0单调变化到2时，u从1单调变化到0，于是有

320sincosd031udu130udu41014u14。