解析几何第一章习题及解答
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第一章 向量代数
习题1.1
1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,abc成立
()().abcabc
证明：作向量,,ABaBCbCDc（如下图），
则 ()(),abcABBCCDACCDAD
()(),abcABBCCDABBDAD
故()().abcabc
2. 设,,abc两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.abc
证明：必要性，设,,abc的终点与始点相连而成一个三角形ABC，
则0.abcABBCCAACCAAA
充分性，作向量,,ABaBCbCDc，由于
0,abcABBCCDACCDAD所以点A与D重合，即三向量,,abc的终点与始点相连构成一个三角形。 AB C
a b c AB C D
a b c
ab bc 3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC三边,,ABBCCA的中点分别是,,DEF（如下图），并且记
,,aABbBCcCA，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CDcbAEacBFba
所以，111()()()0,222CDAEBFcbacba故由上题结论得三角形的三中线,,CDAEBF可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD两腰,BCAD中点分别为,EF，记向量,ABaFAb，
则,DFb而向量DC与AB共线且同向，所以存在实数0,使得.DCAB现在,FBba,FCba由于E是BC的中点，所以
1111()()(1)(1).2222FEFBFCbaabaAB且
111(1)()().222FEABABABABDC
故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
5. 试证命题1.1.2。 AB a b E F AB a b c E F
D CD C 证明：必要性，设,,abc共面，如果其中有两个是共线的，比如是,ab，则,ab线性相关，从而,,abc线性相关。现在设,,abc两两不共线，则向量c可以在两个向量,ab上的进行分解，即作以c为对角线，邻边平行于,ab的平行四边形，则存在实数,使得cab，因而,,abc线性相关。
充分性，设,,abc线性相关，则存在不全为零的数123,,kkk，使得1230kakbkc。不妨设30k，则向量c可以表示为向量,ab的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c平行于由向量,ab决定的平面，故,,abc共面。
6. 设,,ABC是不共线的三点，它们决定一平面，则点P在上的充要条件是存在唯一的数组(,,)使得
,(*)1,OPOAOBOC
其中，O是任意一点。P在ABC内的充要条件是(*)与0,0,0同时成立。
证明：必要性，作如下示意图，连接AP并延长交直线BC于R。
则由三点,,BRC共线，存在唯一的数组12,kk使得12ORkOBkOC，并且121kk。由三点,,APR共线，存在唯一的数组12,ll使得12OPlOAlOR，并且121ll。于是1212122OPlOAlORlOAlkOBlkOC，设12122,,,llklk由12,kk，12,ll的唯一性知道(,,)的唯一性，则,OPOAOBOC且121221llklk。
充分性，由已知条件有(1)OPOAOBOCOAOBOC AB C
O R P ()()OAOCOBOCOCCACBOC,得到CPCACB，因而向量,,CPCACB共面，即P在,,ABC决定的平面上。
如果P在ABC内，则P在线段AR内，R在线段BC内，于是12120,,,1kkll，则0,,1。
如果（*）成立且0,,1，则有CPCACB，这说明点P在角ACB内。同样可得到APABAC，这说明点P在角BAC内。故P在ABC内。
7. 在ABC中，点,DE分别在边BC与CA上，且11,,33BDBCCECAAD与BE交于R，试证
14,.77RDADREBE
证明：作如下示意图，
由三点,,BRE共线，存在k使得(1)CRkCBkCE，由三点,,ARD共线，存在l使得(1)CRlCAlCD，由于11,,33BDBCCECA有21,,33CDCBCECA因而1(1)3CRkCBkCA2(1)3lCAlCB。由于向量,CACB不共线，所以21(1),(1)33kllk，解此方程组得41,77kl。由此得4377CRCBCE，
4344()7777ERCRCECBCECECBCEEB。 AB C
RDE 同理得到17DRDA。故得14,.77RDADREBE
8. 用向量法证明ABC的三条中线交于一点P，并且对任意一点O有
1().3OPOAOBOC
证明：设,,DEF分别是边,,ABBCCA的中点，则,AEBF交于一点P，连接
,CPCD。由,,APE三点共线，存在k使1(1)(1)2CPkCFkCBkCAkCB，由,,BPF三点共线，存在l使1(1)(1)2CPlCElCAlCBlCA，于是得111,122kllk，解得23kl。从而有1133CPCBCA，然而1122CDCBCA，故23CPCD，即,,CPD三点共线，ABC的三条中线交于一点P。
任取一点O，由1133CPCBCA，得到11()()33OPOCOBOCOAOC，于是1().3OPOAOBOC
9. 用向量法证明四面体ABCD的对棱中点连线交于一点P，且对任意一点O有
1().4OPOAOBOCOD
证明：设四面体ABCD的棱,,ABACAD的中点分别是,,BCD，棱,,BCCDDB的中点分别是,,EFG，如下图。则对棱中点连线为,,BFCGDE。 AB C
DEF
P
则容易知道12CEABDG，12CDCDEG，因此四边形CDGE是平行四边形，,CGDE相交且交点是各线段的中点。同理,BFCG也相交于各线段的中点，故,,BFCGDE交于一点P。
由以上结论知道，对任意一点O，由P是DE的中点，有
111111()()222222OPODOEOAODOCOB，
即1().4OPOAOBOCOD
10. 设(1,2,,)iAin是正n边形的顶点，O是它的中心，试证10.niiOA
证明：设1niiaOA，将正n边形绕着中心旋转2n。一方面向量a绕点O旋转了角度2n而得到一个新的向量a；另一方面，正n边形绕着中心旋转2n后与原正n边形重合，因而向量a没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故10.niiOA
证法2：由于(1,2,,)iAin是正n边形的顶点，O是它的中心，所以21(1,2,,)iiiOAOAkOAin，其中1122,nnAAAA。由三角不等式得到21212(1,2,,)iiiiiiOAOAkOAOAOAOAin，故有2k。所以2111()2nnniiiiiiiOAOAOAkOA，由于2k，所以10.niiOA
11. 试证：三点,,ABC共线的充要条件是存在不全为零的实数,,使得 AB C
GEF
D B C
D 0OAOBOC且0
其中，O是任意取定的一点。
证明：必要性，如果三点,,ABC中至少有两点重合，比如,AB重合，则0OAOB，所以结论成立。如果,,ABC互不重合，由例1.1.1知道三点,,ABC共线的充要条件是存在数k使得(1)0kOAkOBOC，令,1,1kk，则,,不全为零，有0OAOBOC， (1)10kk。
充分性，设0OAOBOC且0，则
()0OAOBOC，()()0OAOCOBOCCACB，由于,,不全为零，以及点O的任意性，可知,不全为零，否则也为零。所以不妨设0，则1CACB，因而三点,,ABC共线。
习题1.2
1. 给定直角坐标系，设(,,)Pxyz，求P分别关于xOy平面，x轴与原点的对称点的坐标。
解：在直角坐标系下，点(,,)Pxyz关于xOy平面，x轴与原点的对称点的坐标分别是(,,)xyz，(,,)xyz，(,,)xyz。
2. 设平行四边形ABCD的对角线交于点P，设11,.56DMDBCNCA在仿射标架;,AABAD下，求点,,PMN的坐标以及向量MN的坐标。
解：作如下示意图，
因为P是DB中点，所以11.22APABAD A B C D
P M N 15AMDMADDBAD=114().555ABADADABAD
55().66ANACABAD故在仿射标架;,AABAD下，点,,PMN的坐标分别为111455(,),(,),(,).225566
1156MNMDDCCNBDABAC
11191()(),563030ADABABABADABAD
所以向量MN在仿射标架;,AABAD下的坐标为191(,).3030
3. 设(1,5,2),(0,3,4),(2,3,1),abc，求下列向量的坐标：
（1）2abc；（2）324abc。
解：（1）22(1,5,2)(0,3,4)(2,3,1)(0,16,1).abc
（2）3243(1,5,2)2(0,3,4)4(2,3,1)(11,9,2).abc
4. 判断下列各组的三个向量,,abc是否共面？能否将c表示成,ab的线性组合？若能表示，则写出表示式。
（1）(5,2,1),(1,4,2),(1,1,5);abc
（2）(6,4,2),(9,6,3),(3,6,3);abc
（3）(1,2,3),(2,4,6),(1,0,5).abc
解：（1）设1230,kakbkc即123(5,2,1)(1,4,2)(1,1,5)0,kkk则有12312312350,240,250.kkkkkkkkk该方程组只有零解1230,kkk所以三向量不共面。
