解析几何第五章习题及解答

第五章 正交变换和仿射变换

习题5.1

1. 证明变换的乘法适合结合律，即 123123()().

证明：设:,1,2,3.iSSi，显然都是S的变换，对任给aS，有

123123123[()]()[()()][(())],aaa

123123123[()]()()[()][(())],aaa

因此 123123[()]()[()](),aa

从而 123123()().

2. 求出平面上对直线yx的反射公式。

解：在直角坐标系中，设点(,)Pxy关于直线yx的对称点是(,)Pxy，则,PP的中点在直线yx上，且PP与直线垂直，因此有：

,22()()0,xxyyxxyy

得到

,,xyyx即平面上对直线yx的反射公式：01.10xxyy

3. 设平面上直线l的方程0AxByC，求平面对于直线l的反射的公式。

解：在直角坐标系中，设点(,)Pxy关于直线0AxByC的对称点是(,)Pxy，则,PP的中点在直线0AxByC上，且PP与直线垂直，因此有：

0,22()()0,xxyyABCxxByyA

解此方程得到平面对于直线l的反射的公式：

222222221[()22],1[2()2].xBAxAByACAByABxAByBCAB

4. 设12,ll是平面上两条平行直线，而12,分别是平面对于直线12,ll的反射，证明12是一个平移。

证明：以1l为x轴，建立直角坐标系，设2l的方程是：0yb，则平面对于直线1l的反射1是,,xxyy面对于直线2l的反射2是,2.xxyby设点(,)Pxy，计算12，2()P的坐标是(,2)Pxby，121[]()()PP的坐标是(,2)Pxyb，于是12的公式是,2,xxyyb，故12是以向量(0,2)vb的平移。

5. 设是平面的点变换，的公式为

211,113xxyy

问点(1,0),(1,1)分别变成什么点，直线20xy变成什么图形？

解：将点(1,0),(1,1)分别代入的公式中得到(1,4),(2,1)。

从变换公式中求出,xy的表达式：

1(2),31(27)3xxyyxy将它代入直线20xy中得到

210.xy因此直线20xy变成直线210.xy

6. 求平面的点变换

237359xxyy

的逆变换。

解：矩阵2335A的逆矩阵是15332A，用1A左乘点变换的两边得到：

53537,32329xxyy

53537538,32329323xxxyyy

将记号,xy与,xy互换得到逆变换

538.323xxyy

或将矩阵表示形式写成方程组的形式，解出,xy用,xy表示也可同样得到结论。

7. 在直角坐标系中，求出平面绕点000(,)Mxy旋转角的变换公式。

解：设(,)Pxy绕点000(,)Mxy旋转角后的点是(,)Pxy，则000000(,),(,),MPxxyyMPxxyy因此

0000cossin,sincosxxxxyyyy

于是平面绕点000(,)Mxy旋转角的变换公式是：

00cossin1cossin.sincossin1cosxxxyyy

8. 证明：平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。

证明：记平面绕原点旋转的集合为G。恒等变换I是绕原点旋转

角度上0的旋转，所以恒等变换IG。

设12,分别是绕原点转角是12,的旋转，则

11111cossin:,sincosxxyy

22222cossin:,sincosxxyy

设(,)Pxy，12()()P是(,)Pxy，则

11221122cossincossinsincossincosxxyy

12121212cos()sin()sin()cos()xy

所以12绕原点转角是12的旋转，即12.G

设分别是绕原点转角是的旋转，则转角为（或2）的旋转就是的逆变换，因此1G。

故平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。

9. 证明：平面上运动的集合是平面的一个变换群。

证明：由于运动是旋转与平移的乘积，所以恒等变换I也是运动。

运动在直角坐标系下的表示公式是

cossin.sincosxxayyb

设12是两个运动，则

1111111cossin:,sincosaxxbyy

2222222cossin:,sincosaxxbyy

于是12的表示公式是

11222112112221cossincossin:(),sincossincosaaxxbbyy

1212222112122221cos()sin()cossin,sin()cos()sincosaaxbby

因此乘积12也是运动。

设运动的表示公式是

cossin,sincosxxayyb

则解出,xy的表达式有：

cossincossin,sincossincosxxayyb

cos()sin()cossin,sin()cos()sincosxayb

因此有逆变换

cos()sin()cossin.sin()cos()sincosxxayyb

故平面上运动的集合是平面的一个变换群。

习题5.2

1.平面绕原点旋转32，再平移(2,1)v，写出变换公式，并求出点(0,1)。

解：平面绕原点旋转32的变换1：

33cossin0122,3310sincos22xxxyyy

平移(2,1)v的变换2：

102,011xxyy

先绕原点旋转32，再平移(2,1)v，即为21：

10012012,01101101xxxyyy

于是点(0,1)经此变换后的对应点的坐标是(3,1)。

2.求把点(3,1)变成点(1,3)的绕原点的旋转，并求出曲线28180yxy经此旋转的对应曲线。

解：设平面绕原点旋转的变换：

cossin,sincosxxyy由于将点(3,1)变成点(1,3)，所以

1cossin3,3sincos1解此方程得到sin1,cos0，故变换是：

01,10xxyy即,xyyx。曲线28180yxy经此旋转的对应曲线方程是28180xyx，即28180xyx。

3.设正交变换在直角坐标系Ⅰ中的公式为

22322.22222xxyy

若作直角坐标变换

13222,13122xxyy

求在新坐标系中的公式。

解：点(,)Pxy，(,)Pxy在新坐标系中的坐标分别记为(,)Pxy，(,)Pxy，于是有以下关系：

13222,13122xxyy13222,13122xxyy

将它们代入变换公式中得到：

132213223222222(),112312231222222xxyy两边左乘矩阵13223122的逆13223122，整理得到

22632236122,42263223622xxyy

这就是变换在新坐标系中的公式。

4.平面上的点变换把直角坐标系Ⅰ变到直角坐标系Ⅱ，并且使每一点P在Ⅰ下的坐标与它的像P在Ⅱ下的坐标相同，则是正交变换。

证明：设直角坐标系Ⅰ为12{;,}Oee，直角坐标系Ⅱ为12{;,}Oee，并且