用初等变换求矩阵的逆矩阵原理

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。

用矩阵的初等变换求逆矩阵

一、问题提出

在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢 （饿了再吃）

二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）

我们已学习了矩阵初等变换的性质，如

1.定理 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。

3.定理的推论 A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即 1*1AAA

4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。

（1）

由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E)，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么

（2）

由（1）式 代入（2）式左边，

上式说明分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的1A,即

三，讲解例题

1. 求逆矩阵方法的应用之一

例

解：

- 1 - 用初等变换法求逆矩阵的技巧

初等变换法是求解矩阵运算中常用的方法之一，它可以用来求解矩阵的逆矩阵。在实际问题中，逆矩阵是非常重要的，因为它可以用来解决线性方程组和矩阵方程等问题。

求解矩阵的逆矩阵，可以通过初等变换法将原矩阵变为单位矩阵，然后将单位矩阵进行相同的变换，最终得到逆矩阵。

初等变换法包括三种变换：交换两行或两列、将某一行或某一列乘以一个非零常数、将某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍。

在进行初等变换时，需要注意以下几点技巧：

1.交换两行或两列时，需要注意交换的行数或列数不能相同。

2.将某一行或某一列乘以一个非零常数时，需要确保乘数不为零。

3.将某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍时，需要注意相加的行数或列数不能相同。

4.在进行变换时，一定要记住每次变换的步骤和结果，以便能够正确地进行下一步的变换。

在实际使用中，可以通过编写程序或使用计算机软件来进行逆矩阵的求解。但是需要注意，初等变换法虽然简单易行，但是在处理大规模的矩阵时，计算量会非常庞大，可能会导致计算机运算速度较慢，因此需要采用更加高效的方法。

说明书

矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。并且矩阵作为数学工具之一有其重要的使用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握。在矩阵的运算和应用中，仅逆矩阵的求解方法及算法问题就值得我们去好好研究，尤其是对大型矩阵的逆矩阵的研究。近年来，随着互联网的高速发展，计算机内部的运算量也急剧增加，如何把浩瀚的数据准确地计算出结果，并且加快它的计算速度，己成为一个备受关注的研究课题。随着计算机应用领域的发展，逆矩阵运算的需求越来越大。现阶段大型逆矩阵运算都是由软件实现，如Matlab等数学软件。逆矩阵运算软件的普及，将使计算机的逆矩阵运算性能得到几何级数的提高。伴随矩阵作、初等变换等算法作为逆矩阵运算的一个重要组成部分，对其研究的意义也就很大。

我们所做的研究方向，仅是利用Matlab数学软件和我们所学到的求逆矩阵的知识编写几种求逆矩阵的算法。为了使内容更完整充实，文中列举了几种基本的求逆矩阵的方法以及整理了一些特殊矩阵求逆的一些简便方法等。最后简要说明了一般矩阵的广义逆矩阵。由于考虑自身学识的不足，我们并未对广义逆矩阵做详细的展开。希望有兴趣的读者能自己探索。

大

型

矩

阵

快

速

求

逆

算

法

的

研

究

信息09本

耀魂雨

大型矩阵快速求逆算法的研究

本文首先介绍了逆矩阵的定义以及逆矩阵的相关性质。其次，根据逆矩阵的相关理论主要介绍了矩阵求逆的几种常用方法。 如定义法、伴随矩阵法、初等变换法、三角分解法、分块矩阵法等,并运用软件matlab7.0对一些方法实现了程序化。且通过多次检验证明了所编程序的正确性。文章最后简要阐述了对一些特殊矩阵的求逆算法（如对称正定矩阵、有理矩阵），还有针对一般矩阵的广义逆矩阵的作了浅层次的探究。

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欢迎下载 考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

来源：文都教育

在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。

一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

1、用初等行变换求逆矩阵1A：对(,)AE作初等行变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时单位矩阵E就变为1A，即1(,)(,)rAEEA，由此即求得1A；

2、用初等列变换求逆矩阵1A：求1A也可用初等列变换，对AE作初等列变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时单位矩阵E就变为1A，即1cAEEA，由此即求得1A；

3、用初等行变换求1AB：对(,)AB作初等行变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时矩阵B就变为1AB，即1(,)(,)rABEAB，由此即求得1AB；

4、用初等列变换求1BA：对AB作初等列变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时矩阵B就变为1BA，，即1cAEBBA，由此1BA此即求得1BA.可编辑

欢迎下载 上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取BE即得1）和2）。

下面只要证明3）和4）即可。

证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A作一系列的初等行变换得到单位矩阵E相当于A左乘一个可逆阵P，使PAE，这时1PA，1(,)(,)(,)(,B)PABPAPBEPBEA，即1(,)(,)rABEAB；

4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A作一系列的初等列变换得到单位矩阵E相当于A右乘一个可逆阵P，使APE，这时1PA，1AAPEPBBPBA，即1cAEBBA.