-广义积分

第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。

在数学分析中，广义积分是一个重要的概念，是对一些函数在区间上的积分的推广。

它的应用广泛，涉及到很多领域的计算和解决问题。

本文将介绍广义积分的定义、性质以及一些应用。

首先，我们来看广义积分的定义。

在实数轴上，如果一个函数f(x)在区间[a,b)上是可积的，且对于任意的a≤c<b，都存在lim(x->c)∫[a,x] f(t)dt存在，则称该广义积分为收敛的，记作∫[a,b) f(x)dx。

如果lim(x->c)∫[a,x]f(t)dt不存在，则称该广义积分是发散的。

广义积分的性质与普通积分类似，我们可以用线性性、单调性、积分中值定理等方法来进行计算和证明。

此外，广义积分也满足Cauchy准则，即对于任意的ε>0，存在一个常数M>0，使得当a≤c≤d<b且|∫[c,d] f(x)dx|≥M时，有|∫[c,d] f(x)dx|<ε。

这个准则的意义在于可以通过对广义积分加上一个足够小的区间上的柯西收敛项来确定收敛性。

广义积分的应用领域非常广泛。

首先是在物理学中的力学、电磁学等方面的应用。

例如，在力学中，我们常常需要计算粒子在各种运动状态下的能量，这就需要对速度函数或者加速度函数进行广义积分。

在电磁学中，我们需要计算电场、磁场引起的能量分布，同样需要对电场强度或磁感应强度进行广义积分。

另外，在概率统计学中，广义积分也有着重要的应用。

概率密度函数可以看作是一种特殊的函数，它的积分对应于其概率的累积分布函数。

通过对概率密度函数进行广义积分，可以计算某个随机变量落在某个区间内的概率。

此外，在经济学中，广义积分也有一些应用。

经济学中的利润函数、边际效益函数等都可以看作是对某种经济现象的描述，而对这些函数进行广义积分可以得到更加具体的结果，帮助我们理解和解决实际经济问题。

最后，广义积分在工程学、生物学、医学等领域也有着广泛的应用。

例如，在工程学中，我们常常需要计算某个工程问题的能量消耗或者材料消耗，这就需要对相应的能量函数或者材料函数进行广义积分。

广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。

它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。

广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。

在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。

定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。

如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。

当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。

但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。

有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。

为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。

广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。

广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。

对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。

如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。

对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。

如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。

广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。

函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。

如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。

广义积分在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。

在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。

在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。

广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。

7.7 反常积分——广义积分黎曼定积分的局限性，积分区间是一个有限区间而且被积函数必定是有界的，对许多问题这不够用。

一、 积分区间无界的广义积分——无穷积分1、 定义 （1）设函数f 在),[+∞a 是有定义，对任何a b >，函数f 在[]b a ,上均可积。

这时，⎰badx x f )(存在，⎰b adx x f )(是b 的函数，如果极限⎰∞→bab dx x f )(lim 存在且有限，那么就把这个极限值记作⎰∞adx x f )(并称上述积分收敛。

⎰⎰∞→∞=bab adx x f dx x f )()(lim 。

如果极限⎰∞→bab dx x f )(lim 不存在，同样也使用符号⎰∞adx x f )(，这时称⎰∞adx x f )(发散。

（2）f 在],(a -∞上有界定义，对任何a A <，f 在[]a A ,上可积，⎰aAdx x f )(存在，如果⎰-∞→aA A dx x f )(lim 存在且有限，记I dx x f a=⎰∞-)(称⎰∞-adx x f )(收敛如果⎰-∞→aAA dx x f )(lim 不存在，称⎰∞-a dx x f )(发散。

（3）f 在),(∞-∞上有定义，对任何实数B A B A <>,0,，f 在[]B A <上可积，任取R a ∈，如果⎰∞-adx x f )(，⎰+∞adx x f )(都收敛，那么说无穷积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛，并且，规定⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=aa dx x f dx x f dx x f )()()(，也称f 在),(∞-∞上可积。

如果⎰∞-adx x f )(，⎰+∞a dx x f )(中至少有一个发散，这时就称⎰+∞∞-dx x f )(发散。

⎰+∞∞-dx x f )(收敛⇔⎰∞-adx x f )(，⎰+∞adx x f )(均收敛⇔⎰⎰+∞→-+∞→B aB aAA dxx f dx x f )(,)(lim lim 均存在且有限。

广义积分中定理证明公式广义积分是数学分析中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

在这篇文章中，咱们就来好好聊聊广义积分中的定理证明公式。

咱先来说说广义积分到底是啥。

广义积分其实就是把普通的定积分的概念进行了扩展。

比如说，有些函数在某个区间上的积分，按照常规的定积分没法直接算，但通过广义积分的方法就能处理。

比如说，咱们来看一个简单的例子。

假设咱们有个函数 f(x) = 1/x，要在区间[1, +∞) 上积分。

按照常规的定积分，这没法直接算，因为积分上限是无穷大。

但通过广义积分，咱们就能想办法处理它。

在广义积分中，有几个重要的定理和证明公式，咱们一个一个来看。

先来说说比较判别法。

这个判别法就像是一个筛选器，能帮咱们判断一个广义积分到底是收敛还是发散。

比如说，如果咱们有两个函数f(x) 和 g(x)，在某个区间上满足一定的条件，然后通过比较它们，就能知道对应的广义积分的情况。

我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。

我就给他举了个特别形象的例子。

我说，想象你在跑步，f(x) 就像是你的速度，g(x) 就像是你旁边那个人的速度。

如果你的速度一直比他快，而且他最后能跑到终点，那你肯定也能跑到终点；反过来，如果他一直跑不到终点，那你也没戏。

这一下子，那学生就恍然大悟了。

再来说说绝对收敛和条件收敛。

这俩概念有时候也能把人绕晕。

简单来说，如果一个广义积分的绝对值的积分是收敛的，那这个广义积分就是绝对收敛；如果广义积分本身收敛，但绝对值的积分不收敛，那就是条件收敛。

就像有一次，我在课堂上让学生们自己思考一个例子，然后有个学生就想出了一个特别巧妙的函数，通过这个例子，大家对这两个概念的理解一下子就深刻了好多。

还有柯西判别法，这个方法也特别有用。

通过函数在无穷远处的行为，就能大致判断出积分的情况。

在学习广义积分的定理证明公式的过程中，大家可别被那些复杂的符号和式子给吓住了。

多做几道题，多想想例子，慢慢地就能掌握其中的精髓啦。

广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。

广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。

下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。

我们来看广义积分的定义。

对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。

此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。

这两个条件保证了广义积分的存在性。

接下来，我们来讨论广义积分的性质。

首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。

最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。

比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。

322第九章 广义积分引言在Riemann 积分（常义积分）中，有两个先决条件：1、被积函数有界；2、积分限有限。

上述两个条件，极大限制了常义定积分所能揭示的含义，限制了积分所能表达的自然现象，也就限制了定积分的应用范围，这就要求人们从更广的角度考虑积分理论。

事实上，从理论层面上看，当建立一套基本理论之后，人们会不断去掉各种条件的限制，尽可能扩大理论的外延，以便涵盖更多的东西，丰富其内涵。

因此，从理论上，提出Riemann 常义积分后，不可避免地考虑这样的问题：能否去掉上述两个限制条件？去掉上述两个条件后，会发生什么现象？从应用角度看：定积分的产生源于实践，用于解决人类改造自然过程中出现的实际问题，如计算面积、做功等。

但实践中，确实又涌现出更多的实际问题，要解决这些问题，必须突破上述两个限制条件。

如计算由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低速度—第二宇宙速度（0v =11.2Km/s ）时，需要计算克服地球引力F(r) 所做的功()RW F r dr +∞=-⎰，其中，F （r ）为物体在r 处所受的地球引力，R 为地球半径。

再如，封闭曲线所围的平面图形的面积能够用定积分计算，那么，诸如曲线y =、1y x =以x 轴为渐近线，因此，它们与x轴及直线x =0和x=1所围图形几乎是封闭的图形，这样的图形面积存在吗？如何计算？如果延用定积分理论，曲线y =与x 轴及直线x =0和x=1所围图形的面积应为1S =⎰。

显然，上面涉及到的两个积分都涉及到突破定积分两个条件的限制的问题，不再是常义（Riemann ）定积分。

因此，不论从实践上，还是从理论上，都要求我们突破Riemann 积分两个先决条件的约束，将Riemann 积分推广到一个新的高度。

这就是广义积分（反常积分）。

323§1 无穷限广义积分本节，我们突破常义积分的积分限有界的限制条件，引入无穷限广义积分的概念。

一、定义从定积分的几何意义――平面区域面积的计算谈起。