利用基本不等式求最值(解析版)-高中数学

第 1 页 共 4 页 高中数学：利用基本不等式求最值

角度1 利用配凑法求最值

(1)设0＜x＜32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为92 .

解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝34”时，等号成立．

∵34∈0，32，

∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.

(2)函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值为23＋2 .

解析：y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1

＝x－12＋2x－1＋3x－1

＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.

当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．

角度2 利用常数代换法求最值

(2019·烟台一模)已知函数y＝1＋logmx(m＞0且m≠1)的图象恒过点M，若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)经过点M，则a＋b的最小值为( C )

A．2 B．3 第 2 页 共 4 页 C．4 D．5

解析：由函数的解析式可得M(1,1)，

即1a＋1b＝1(a＞0，b＞0)，

则a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C．

【条件探究】 将本典例条件变为“已知a＞0，b＞0，a＋b＝1”，则1＋1a1＋1b的最小值为9.

解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．

角度3 利用消元法求最值

已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b( B )

A．有最大值145 B．有最小值145

利用基本不等式求最值

【学习目标】

知识与能力：学习应用基本不等式求最值;

过程与方法：通过对问题详细讲解，学习基本不等式求最值的两类问题。

情感态度与价值观：了解现实生活，会解决简单的不等式问题。

【学习重点】

学习应用基本不等式求最值.

【学习难点】

对实际问题进行详细分析。

【问题探究】

探究一:

问题1： 0x,当x取什么值时，1yxx的值最小？最小值是多少？

问题2: 0x,当x取什么值时，1yxx的值最大？最大值是多少？

问题3: 1x,当x取什么值时，4(1)1yxx的值最小？最小值是？

探究二:

问题4: 当01x时,(1)yxx的最大值为 .

【知识网构】

(0,0)2abababab当且仅当时，等号成立； abababab积为定值时，和取得最小值;和为定值时，积取得最大值；

【达标反馈】

(1)下列函数中最小值为2的是( )

A、 1yxx B、 1,0yxxx

C、 1sinsinyxx D、2sin,(0,]sin2yxxx

(2)(2009,湖南)若0x,则2yxx的最小值为 .

(3)已知3,x求43yxx的最小值.

(4)已知103x,求(13)yxx的最大值.

【课后作业】

思考：已知,xy为正数,21xy,求11xy的最小值;

习题3.4 A组 2,3;

主备人（签字）：

备课组长（签字）：

重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型

基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。

在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。

利用基本不等式求最值的方法

1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系

2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况

类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；

类型2：分母为多项式时

方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；

方法2：待定系数法，适用于所有的形式，

如分母为34ab与3ab，分子为2ab，

设2343343abababab

∴31432，解得：1525 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

【题型1 直接法求最值】

【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0xy，且12xy，则xy的最大值为（ ）

A．16 B．25 C．36 D．49

【答案】C

【解析】因为0,0xy，122xyxy，即36xy，当且仅当6xy时取到等号，

专题2.2基本不等式

知识点一基本不等式

1．基本不等式：如果0,0,

2ab

abab

，当且仅当ab时，等号成立．其中

2ab

叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤

2ab



2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2ab，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

知识点二用基本不等式求最值用基本不等式

2xy≥xy求最值应注意：

(1)x，y是正数．

(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；

②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值1

4S2.

(3)讨论等号成立的条件是否满足．

知识点三基本不等式的两个变形1.222

22abab

ab



(,abR，当且仅当ab时取等号)；2.222

1122abab

ab

ab



(0,0ab，当且仅当ab时取等号).

利用基本不等式求最值

(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，

然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，

尤其是要注意验证等号成立的条件．

(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式

子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求

最值的表达式相乘求积或相除求商．

【例1】4

(1)yxx

x󰆆的最小值为()

A．2B．3C．4D．5【解答】解：由已知函数4

yx

x，

1x󰆆，4

0

x，

44

24xx

xx󰆆，当且仅当4

x

x，即2x时等号成立，

当2x时，函数4

yx

x有最小值是4，

故选：C．

【变式训练1】函数20

()5(0)fxxx

x的最小值为()

A．10B．15C．20D．25

【解答】解：由题意2020

()52520fxxx

xx󰆆，当且仅当20

5x

x，即2x时取等号，此时取得最小值为20，