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元二次不等式及其解法练习题

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一元二次不等式及其解法

一、选择题

1．设集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝ ( )

A．{x|1≤x<3} B．{x|1≤x≤3}

C．{x|3

2．不等式x－2x＋1≤0的解集是 ( )

A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．(－1,2]

C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．[－1,2]

3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为

( )

A．(－43，1) B．(－∞，1)∪(43，＋∞)

C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

4．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是 ( )

A．(－12，32) B．(－32，12)

C．(－1,1) D．(0,2)

5．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1) x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )

A．[1,19] B．(1,19)

C．[1,19) D．(1,19]

6．设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为 ( )

A．(－3,1) B．[－3,1]

C．[－3，－1] D．(－3，－1]

二、填空题

7．已知函数y＝(m－1)x2－mx－m的图象如图，则m的取值范围是________．

8．已知f(x)＝ x2，x≥0－x2＋3x，x<0，则不等式f(x)

9．如果不等式2x2＋2mx＋m4x2＋6x＋3＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________． 三、解答题

10．解下列不等式：

(1)－x2＋2x－23＞0；

(2)8x－1≤16x2.

11．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0对x∈[－1,1]恒成立，求b的取值范围．

12．某商品在最近30天内的销售价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0

详解答案

一、选择题

1．解析：由x2－2x－3<0，得(x－3)(x＋1)<0，

即－1

∴A＝{x|－1

又∵B＝{x|1≤x≤4}，

∴A∩B＝{x|1≤x<3}．

答案：A

2．解析：∵x－2x＋1≤0等价于(x－2)(x＋1)≤0，(x≠－1)

∴－1

答案：B

3．解析：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)知a<0，－4和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴－4＋1＝－ba，－4×1＝ca，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，即3x2＋x－4<0，解得－43

答案：A

4．解析：由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋

x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立，故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，

∴4y2－4y－3<0，解得－12

答案：A

5．解析：函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．

(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．

(2)当a2＋4a－5≠0时，应有

 a2＋4a－5>016a－12－12a2＋4a－5<0，解得1

答案：C 6．解析：∵ f(－2)＝f(0)，∴x＝－b2＝－2＋02＝－1，

而b＝2.

∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，

∴－3≤x≤1.

答案：B 二、填空题

7．解析：由图可知 m－1<0Δ<0－－m2m－1<0，所以0

答案：0，45

8．解析：f(4)＝2，即不等式为f(x)<2.

当x≥0时，由x2<2，得0≤x<4；

当x<0时，由－x2＋3x<2，

得x<1或x>2，因此x<0.

综上，有0≤x<4或x<0，即x<4，

故f(x)

答案：{x|x<4}

9．解析：由于4x2＋6x＋3＞0，所以不等式可化为2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0.依题意有(6－2m)2－8(3－m)＜0，解得1＜m＜3.

答案：(1,3)

三、解答题

10．解：(1)两边都乘－3，得3x2－6x＋2＜0，

∵3x2－6x＋2＝0的解是

x1＝1－33，x2＝1＋33，

∴原不等式的解集为{x|1－33＜x＜1＋33}．

(2)法一：∵原不等式即为16x2－8x＋1≥0，其相应方程为16x2－8x＋1＝0，Δ＝(－8)2－4×16＝0.

∴上述方程有两相等实根x＝14.

结合二次函数y＝16x2－8x＋1的图象知， 原不等式的解集为R.

法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0⇔(4x－1)2≥0，

∴x∈R，

∴原不等式的解集为R.

11．解：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝a2＝1，故a＝2.

又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，

f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，

f(x)>0对x∈[－1,1]恒成立，即f(x)min＝b2－b－2>0恒成立，

解得b<－1或b>2.

12．解：由题意知

Φ(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)

＝－t2＋25t＋350(0

由Φ(t)≥450得－t2＋25t＋350≥450⇔t2－25t＋100≤0⇔5≤t≤20.

所以若使该种商品日销售金额不少于450元，则时间t满足t∈[5,20](t∈N)．

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一元二次不等式解法练习题及答案

一元二次不等式解法练习题及答案

高一数学一元二次不等式例题

例1 解下列不等式

(1)(x－1)(3－x)＜5－2x (2)x(x＋11)≥3(x＋1)2 (3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)

(4)3x231325113122xxxxxx＞＞()()

答 (1){x|x＜2或x＞4} (2){x|1x}≤≤32 (3) (4)R (5)R

【介绍定义域】

例有意义，则的取值范围是．2 xx2x6

解 x≥3或x≤－2．

练习：

例3 若01a，则不等式10axxa的解是（ ）

[

]

AaxBxa．＜＜．＜＜11aa CxaDxxa．＞或＜．＜或＞xaa11

分析比较与的大小后写出答案． a1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a1aaxA11aa

【求a、b的值】

例4 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知

baa()()1211122×得 ab1212，．

练习：

1、21680kxx的解集是425xxx或，则k_________．

2、已知不等式20xpxq的解集是32xx，则pq________．

3、不等式20axbxc的解集为23xx，则不等式20axbxc的解集是________________________．

例不等式＋＞的解集为5 1x11x

[ ]

A．{x|x＞0} B．{x|x≥1}

C．{x|x＞1} D．{x|x＞1或x＝0}

【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)

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3.2一元二次不等式及其解法

知识要点梳理

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：250xx.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：20axbxc(0)a或20axbxc(0)a.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法

一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集可以联系二次函数2yaxbxc(0)a的图象，图象在x轴上方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集，图象在x轴下方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集.

设一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，acb42，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

24bac 0 0 0

二次函数

cbxaxy2（0a）的图象

20(0)axbxca的根 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R

的解集)0(02acbxax 21xxxx  

注意：

（1）一元二次方程20(0)axbxca的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线ycbxax2与x轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0三种情况，得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc的解集。

高考数学 一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)

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一元二次不等式及其解法

1．一元二次不等式(20(0)axbxca)与相应的二次函数（2(0)yaxbxca）及一元二次方程（20(0)axbxca）的关系(简称三个二次之间的关系)

学校向

判别式

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根

有两相异实根1212,()xxxx

有两相等实根

122bxxa

没有实数根

ax2＋bx＋c>0

(a>0)的解集

R

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集

注：（1）若0a时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。

2．简单的分式不等式

(1)()0()fxgx______________； （2）()0()fxgx____________

(3)()0()fxgx ___________ （4）()0()fxgx_____________

3.二次不等式恒成立的条件

（1）ax2＋bx＋c>0 (a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条件是___________

（2）ax2＋bx＋c<0 (a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条件是___________

1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )

A．(－12，1)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)

2．不等式x－12x＋1≤0的解集为( )

A．(－12，1] B．{x|x≥1或x＜－12}

C．[－12，1] D．{x|x≥1或x≤－12}

3．(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

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1 一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.

当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 .

2.一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.

(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.

(3)一元二次不等式的解：

函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根 有两相异实根

x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根

x1＝x2＝－b2a 无实根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集 ① ② R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ③

3.分式不等式解法

(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f〔x〕g〔x〕的形式.

(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： 2 f〔x〕g〔x〕＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0； f〔x〕g〔x〕＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；

f〔x〕g〔x〕≥0 ⇔

f〔x〕g〔x〕≥0，g〔x〕≠0； f〔x〕g〔x〕≤0 ⇔

f〔x〕g〔x〕≤0，g〔x〕≠0.

(2021·课标Ⅰ)集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，那么A∩B＝( )

A.[－2，－1] B.[－1，2)

C.[－1，1] D.[1，2)

解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].应选A.