(完整版)初中数学一元二次方程复习专题

1 一元二次方程专题复习

韦达定理:如一元二次方程20(0)axbxca的两根为12,xx，则12bxxa，12cxxa

适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:(12,xx是方程两根)；

（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt的两直角边求斜边等情况.

注意：（1）222121212()2xxxxxx

（2）22121212()()4xxxxxx； 2121212()4xxxxxx

（3）①方程有两正根，则1212000xxxx；

②方程有两负根，则1212000xxxx ； ③方程有一正一负两根，则1200xx；

④方程一根大于1，另一根小于1，则120(1)(1)0xx

（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,xx为根的一元二次方程为21212()0xxxxxx;求字母系数的值时，需使二次项系数0a，同时满足≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12xx，•两根之积12xx的代数式的形式，整体代入。

4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：

例：用配方法解24610xx

第一步，将二次项系数化为1：231024xx，（两边同除以4）

第二步，移项： 23124xx

第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444xx

第四步，完全平方：235()416x

第五步，直接开平方：3544x，即:15344x,25344x

2 一元二次方程的定义与解法

➢ 【要点、考点聚焦】

1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式20(0)axbxca；

2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要）

➢ 【课前热身】

1. 当a____________时，方程2310axx是一元二次方程.

2. 已知1x是方程220xax的一个根，则方程的另一根为__________.

3.一元二次方程(1)xxx的解是_____________.

4. 若关于x的一元二次方程20(0)axbxca，且0abc，则方程必有一根为____________.

5. 用配方法解方程2420xx,则下列配方正确的是( )

A.2(2)2x B.2(2)2x C.2(2)2x D.2(2)6x

➢ 【典型例题解析】

1、关于x的一元二次方程2(1)(2)26axaxxx中，求a的取值范围.

2、已知：关于x的方程226350xxmm的一个根是1，求方程的另一个根及m的值。

3、用配方法解方程:2210xx

【考点训练】

1、关于x的一元二次方程22(1)10axxa的一个根是0，则a的值为（ ）A. 1 B.1 C.1或1 D.12

2、解方程23(121)4(121)xx的最适当的方法（ ）

A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法

3、若0abc，则一元二次方程20axbxc有一根是（ ）

A. 2 B. 1 C.

0 D. －1

4、当k__________时，22(9)(5)30kxkx不是关于x的一元二次方程.

5、已知方程23214xx，则代数式21283xx_____________.

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一元二次方程根的判别式

➢ 【要点、考点聚焦】

1.一元二次方程20(0)axbxca根的情况与的关系；

2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．

➢ 【课前热身】

1.若关于x的一元二次方程2210xx有实数根，则m的取值范围是( )

A.1m B. 1m且0m C.m≤1 D. m≤1且0m

2. 一元二次方程2210xx的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根

3.已知关于x的一元二次方程2410xxm.请你为m选取一个合适的整数，当m____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；

4.若关于x的方程227(21)04xkxk有两个相等的实数根，求k的取值范围 ➢ 【典型考题】

1.已知关于x的方程2(2)2(1)10mxmxm，当m为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

2.已知,,abc是三角形的三条边，求证：关于x的方程222222()0bxbcaxc没有实数根.

【课时训练】

1、一元二次方程的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根

2、已知关于x的一元二次方程22xmx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）

A.1m B. 2m C.

m≥0 D.0m

3、一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________.

4、求证：关于x的方程2(21)10xkxk有两个不相等的实数根。

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课后练习

一、填空题

1、关于x的方程2(3)320mxx是一元二次方程，则m的取值范围是

____ .

2、若(0)bb是关于x的方程220xcxb的根，则2bc的值为 ____ .

3、方程2310xx的根的情况是____________________.

4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.

5、在实数范围内定义一种运算“”，其规则为)(baaba,根据这个规则，方程(2)50x的解为_________________.

6、如果关于x的一元二次方程2210kxx有两个实数根，则k的取值范围是_____________。

7、设12,xx是一元二次方程20axbxc的两个根，则代数式3322121212()()()0axxbxxcxx的值为___________.

8、 a是整数，已知关于x的一元二次方程01)12(2axaax只有整数根，则a=__________.

二、选择题

1、关于x的方程220xkxk的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定

2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A、 B、 C、 D、

3、方程23270x的解是（ ）

A. B.

C. D. 无实数根

4、若关于x的一元二次方程22(4)60xkxx没有实数根，那么k的最小整数值是（ ）

A. 1 B.

2 C. 3 D.

5、如果a是一元二次方程230xxm的一个根，a是一元二次方程230xxm的一个根，那么a的值是（ ）

A、1或2 B、0或3 C、1或2 D、0或3

6、设m是方程250xx的较大的一根，n是方程2320xx的较小的一根，则mn（ ）

5 A. B. C.

1 D. 2

三、解答题

1、用配方法解下列方程：

2()0(0)axbca

2、已知方程222(9)(34)0xkxkk有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根。

3、已知,,abc是ABC的三条边长，且方程222()210abxcx有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。

4、 已知关于x的一元二次方程2223840xmxmm.

（1）求证：原方程恒有两个实数根;

（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围.

5、方程2(2008)2007200910xx的较大根为a，方程0200920082xx的较小根为b，求2009)(ba的值.