第1讲集合的概念和运算

1 第1讲 集合的概念和运算

必记考点

1．集合的基本概念

(1)集合元素的三个特征： 、 、 ．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．

(4)常用数集： N ； N*(或N＋) ； Z ；Q ； R .

(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 .

2．集合间的基本关系

(1)子集： ，则A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集： 则A B(或B A)．

若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．

(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．

(4)集合相等：若 ，则A＝B.

3．集合的基本运算及其性质

(1)并集：A∪B＝ ．

(2)交集：A∩B＝ ．

(3)补集：∁UA＝ ，U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．

(4)集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；

②A∩A＝A，A∩∅＝∅；

③A∪A＝A，A∪∅＝A；

④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.

考向一 集合的基本概念

【例1】►已知a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2 014＋b2 014＝________.

【训练1】集合x∈N* 12x∈Z中含有的元素个数为( )．

考向二 集合间的基本关系

【例2】已知集合A＝{x|0

【训练2】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

考向三 集合的基本运算

【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )．

A．(1,2) B．[1,2]

C．[1,2) D．(1,2]

(2)(2012·山东)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )．

A．{1,2,4} B．{2,3,4}

C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}

(3)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．

A．{5} B．{4} 2 C．{1,2} D．{3,5}

基础演练

1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1

A．AB B．BA

C．A＝B D．A∩B＝∅

2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁UQ)＝( )．

A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}

C．{1,2,5} D．{1,2}

3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁UM＝( )．

A．{1,4} B．{1,5}

C．{2,3} D．{3,4}

4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁RA)∩B＝( )．

A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1} D．∅

5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．

7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.

第2讲 函数及其表示

必记考点

1．函数的概念

一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作 .

2．函数的三要素

函数由 、 、 三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中

(1)定义域： ．

(2)值域： ．

(3)两个函数就相同: .

3．函数的表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

4．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

考向一 函数的定义

【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是( )．

2．下列各组函数表示相同函数的是( )．

A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2

B．f(x)＝1，g(x)＝x2

C．f(x)＝ x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|

D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1 3

考向二 求函数的定义域、值域

【例2】►(1) 函数y＝x＋1x的定义域为________．

(2)函数y＝x－3x＋1的值域为________．

(3) 设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，实数a＝________.

考向三 分段函数及其应用

【例3】(1) 设函数f(x)＝ x2＋1，x≤1，2x，x>1，则f(f(3))＝( )．

A.15 B．3

C.23 D.139

(2)设f(x)＝ 1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝ 1，x为有理数，0，x为无理数，则f(g(π))的值为( )．

A．1 B．0

C．－1 D．π

(3)已知函数f(x)＝ 2x＋1，x＜1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )．

A.12 B.45

C．2 D．9

基础演练

1．函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是( )．

A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )．

A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2

B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2

C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|

D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x

3．设函数f(x)＝ x，x≥0，－x，x<0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )．

A．－3 B．±3

C．－1

D．±1

4．函数f(x)＝lg1－x2的定义域为________．

5．(2013·皖南八校联考)已知f(x)＝ 2－x，x≤0，log2x，x>0，则ff－12＝________.

6.已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.求函数f(x)的解析式.

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第3讲 函数的性质

必记考点

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若 ，则f(x)在区间D上是增函数；②若 ，则f(x)在区间D上是减函数．

(2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是 或 ，则区间D叫做f(x)的单调区间．

(3)用定义判断函数单调性的步骤: .

2. 函数的奇偶性

(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数．

(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．

考向一 确定函数的单调性或单调区间

【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．

A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1

C．y＝12x D．y＝x＋1x

(2)函数y＝－x2＋2x－3(x<0)的单调增区间是( )．

A．(0，＋∞) B．(－∞，1]

C．(－∞，0) D．(－∞，－1]

考向二 函数单调性的应用

【例2】(1)若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝________.

(2) 函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是 .

考向三 求函数的最值

【例3】函数f(x)＝2xx＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．

考向四 判断函数的奇偶性

【例4】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3－2x；

(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；

(3)f(x)＝(x－1)－ 1＋x1－x.

考向五 函数奇偶性的应用

【例5】(1)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

(2) 设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.

(3) 设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝ ．

基础演练

1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa－fba－b>0，则必有( )．

A．函数f(x)先增后减 B．f(x)是R上的增函数