第一章第1讲 集合及其运算
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1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．因为集合A和集合B有共同元素2，4，所以A∩B＝{2，4}，所以A∩B中元素的个数为2.
2．(2017·高考北京卷)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选C．根据补集的定义可知，∁UA＝{x|－2≤x≤2}＝[－2，2]，故选C．
3．(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B．因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B．
4．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B．A＝{x|2x2－5x－3≤0}＝{x|－12≤x≤3}，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B＝{0，1，2}，故选B．
5．(2018·福州综合质量检测)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B＝( )
A．∅ B．(1，2]
C．{2} D．{1，2}
解析：选C．法一：因为A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}＝{1，2}，所以A∩B＝{2}，故选C． 法二：因为1∉A，所以1∉A∩B，故排除D；因为1.1∉B，所以1.1∉A∩B，故排除B；因为2∈A，2∈B，所以2∈A∩B，故排除A．故选C．
6．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝1－x，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁ZB)＝( )
A．{－2} B．{－1}
C．[－2，0] D．{－2，－1，0}
解析：选D.由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁ZB)＝{－2，－1，0}，故选D.
7．(2018·陕西质量检测(一))已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则A∩B＝( )
A．∅ B．{x|2＜x＜3}
C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}
解析：选C．化简集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝{x|2≤x＜3}，选C．
8．(2018·洛阳第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(
)
A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.依题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
9．设集合A＝5，ba，a－b，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( )
A．{2，3} B．{－1，2，5}
C．{2，3，5} D．{－1，2，3，5}
解析：选D.由A∩B＝{2，－1}，可得ba＝2，a－b＝－1或ba＝－1，a－b＝2.当ba＝2，a－b＝－1时，a＝1，b＝2.此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当ba＝－1，a－b＝2时，a＝1，b＝－1，此时不符合题意，舍去．
10．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B．当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2.选B．
11．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C．由题意，得B＝{0，1，2，3，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C．
12．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
解析：选B．因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤－1.
13．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：因为B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，所以a＝1或a2＋3＝1，
因为a∈R，所以a＝1.经检验，满足题意．
答案：1
14．设集合I＝{x|－3
解析：因为集合I＝{x|－3
答案：{1}
15．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁UB)＝{2，4}，则B＝________． 解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
由∁U(A∪B)＝{1，3}，
得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，
由A∩(∁UB)＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁UB．
所以B＝{5，6，7，8，9}．
答案：{5，6，7，8，9}
16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B．集合A表示单位圆上的所有的点，集合B表示直线y＝x上的所有的点．A∩B表示直线与圆的公共点，显然，直线y＝x经过圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)，故共有两个公共点，即A∩B中元素的个数为2.
2．已知集合A＝{x|x2－11x－12＜0}，B＝{x|x＝2(3n＋1)，n∈Z}，则A∩B等于( )
A．{2} B．{2，8}
C．{4，10} D．{2，4，8，10}
解析：选B．因为集合A＝{x|x2－11x－12＜0}＝{x|－1＜x＜12}，集合B为被6整除余数为2的数．又集合A中的整数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A∩B＝{2，8}，故选B．
3．(2018·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( )
A．15 B．16
C．20 D．21
解析：选D.由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1，2，3，4，5，6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.
4．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝x|18<2x<8，则A∩B＝________．
解析：不等式18<2x<8的解为－3
所以B＝(－3，3)．
若x∈A∩B，则x2－2[x]＝3－3
所以[x]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.
若[x]≤－2，则x2＝3＋2[x]<0，没有实数解；若[x]＝－1，则x2＝1，得x＝－1；
若[x]＝0，则x2＝3，没有符合条件的解；
若[x]＝1，则x2＝5，没有符合条件的解；
若[x]＝2，则x2＝7，有一个符合条件的解，x＝7.
因此，A∩B＝{}－1，7.
答案：{}－1，7
5．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1，2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
解：①若A＝∅，
则Δ＝a2－4<0，解得－2
②若1∈A，则a＝－2，
此时A＝{1}，符合题意；
③若2∈A，则a＝－52，
此时A＝2，12，不合题意；
④若A＝B＝{1，2}，此时不存在满足题意的a的值． 综上所述，实数a的取值范围为[－2，2)．
6．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(∁RM)∩N；
(2)记集合A＝(∁RM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)因为M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，所以∁RM＝{x|x∈R且x≠－3}，所以(∁RM)∩N＝{2}．
(2)由(1)知A＝(∁RM)∩N＝{2}，所以B＝∅或B＝{2}，当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；当B＝{2}时，a－1＝2，5－a＝2，解得a＝3.综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
