第三章 多维随机变量及其概率分布
1． 二维随机变量),(YX
),(YX的分布函数),(),(yYxXPyxF
X的分布函数),(),(lim)(1xFyxFxFy
Y的分布函数),(),(lim)(2yFyxFyFx
),(lim0),(limyxFyxFyx
2． 离散型),(YX的分布律ijP
ijijiiijPyYxXPP10),( （与KKKPP10比较）
jijiiPxXPP)(
iijijPyYPP)(
例１ 设),(YX的分布律为
求（1）?a
（2）)0(XP
（3）)2(YP
（4）)2,1(YXP
（5）)(YXP
解：（1）由1ijijP知1031131211030201)(ijijPPPPPPP125.025.03.01.01.0a
解得0a （2）300102031(0)0.10.10.30.5jjPXPPPP
（3）10210121)2()1()2(iiiiPPPPYPYPYP45.0)01.0()25.01.0(
（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201PPYXPYXPYXPYXP
（5）25.0)(11PYXP
3． 连续型),(YX的分布密度
设D为平面上的区域，),(yxf为),(YX的分布密度，则其满足：1),(0),(dxdyyxfyxf
dxdyyxfDYXPD),()),((
特别，xydudvvufyYxXPyxF),(),(),(
),(),(2yxfyxyxF
若X，Y相互独立，则有)()(),(21yFxFyxF，)()(),(21yfxfyxf，其中)(),(11xfxF分别为X的边缘分布函数和分布密度，)(),(22yfyF分别为Y的边缘分布函数和分布密度。
1． 甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2． 袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3． 设
，
且P{ }=1，求（ ， ）的联合分布律，并指出 ， 是否独立。
4． 设随机变量X的分布律为Y= ，求（X,Y）联合分布律。
5． 设（X,Y）的概率分布为
且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P（0
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan
) (C+arctan
)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度 ，
X Y 0 1
0 1/3 B
1 a 1/4 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
8.设f(x,y)=
其它为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：
（1）C的值 （2） ， (3)P{X+Y 1}并判别X与Y是否独立。
9．设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求：
(3)P{X>1/2|Y>0}
10. 设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求
11. 设f(x,y)=
其它 为（X,Y）的密度函数，求 （ ）的联合分布函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数 。
.
. 概率论与数理统计
第一部份 习题
第一章 概率论基本概念
一、填空题
1、设A，B，C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(BAPAP，且A与B互不相容，则)(BP 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率
为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A，B为两事件，3.0)(,7.0)(BAPAP，则)(BAP 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A，B为两事件，2.0)(,5.0)(BAPAP，则)(ABP 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率
为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，10YXA
YXB，则)|(ABP 。
11、设BA,是两事件，则BA,的差事件为 。
12、设CBA,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(BPAP则)(CP ，)(ABP 。
13、设A与B为互不相容的两事件，,0)(BP则)|(BAP 。
14、设A与B为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(BPAP，则)(ABP 。
1 概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第三章 多维随机变量及其分布（一）
一、填空题：
1、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为2,01,01(,)0,Axyxyfxy其他，则常数A
6 。
2、设二维随机变量(,)XY的联合分布函数为arctanarctan,0,0(,)0,AxyxyFxy其他，则常数A24。
二、计算题：
1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：
（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：
01X若第一次出的是正品若第一次出的是次品 ， 01Y若第二次出的是正品若第二次出的是次品
试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
（1）放回抽样
（2）不放回抽样
Y 0 1
X
0 25/36 5/36
1 5/36 1/36
Y 0 1
X
0 15/22 5/33
1 5/33 1/66
2 2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求
（1）13{,04}22PXY， （2）{12,34}PXY
123411/4001/1621/161/401/4301/161/160
（1）1/4
（2）5/16
3．设随机变量(,)XY的联合分布律如表：
求：（1）a值； （2）(,)XY的联合分布函数(,)Fxy
（3）(,)XY关于X，Y的边缘分布函数()XFx和()YFy
（1）a=1/3
（2）0x<1y<-1112,1045(,)2,10121120212,0xyFxyxyxyxy或，
