第5章 三角函数与解三角形公式

三角函数与解三角形公式总结

【预备知识点】

一、任意角与弧度制

（一）任意角

1.任意角的概念：规定一条射线绕其端点任意方向旋转所形成的角。

2.任意角的分类：

（1）正角：规定一条射线绕其端点逆时针方向旋转所形成的角。

（2）负角：规定一条射线绕其端点顺时针方向旋转所形成的角。

（3）零角：规定一条射线绕其端点无任意方向旋转所形成的角，始边与终边重合的角。

口诀：正逆负顺零重合

3.相等角、相反角与角的运算

（1）相等角：旋转方向相同且旋转量相等。

（2）相反角：旋转方向相反且旋转量相等。

（3）角的运算：线性加减运算与数乘运算。

4.常见误区：

（1）锐角是第一象限角，但是第一象限角不一定是锐角，因为有周期。例如420°。

（2）钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角，因为有周期。例如495°。

（3）直角不是任意象限角，属于y轴的特殊角。

（4）平角、周角属于轴线角，它不属于任何一个象限角。

（二）弧度制

1.弧长公式及其意义

（1）弧长公式：𝒍=𝒏𝝅𝒓𝟏𝟖𝟎⟺𝒍𝒓=𝒏∗𝝅𝟏𝟖𝟎=|𝜶|⟺𝒍=|𝜶|𝒓

（2）弧长公式的意义：

（i）圆心角𝜶所对的弧长与半径𝒓的比值，只与𝜶大小有关。

（ii）弧长长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用rad表示，读作弧度。其中rad可省略。

（3）一般地，正角的弧度数是正数，零角的弧度数是0，负角的弧度数是一个负数。

2.角度制与弧度制的互换依据：

𝟏𝟖𝟎°=𝝅 𝒓𝒂𝒅{𝟏°=𝝅𝟏𝟖𝟎 𝒓𝒂𝒅≈𝟎.𝟎𝟏𝟕𝟒𝟓 𝒓𝒂𝒅𝟏 𝒓𝒂𝒅=(𝟏𝟖𝟎𝝅)°≈𝟓𝟕.𝟑𝟎°=𝟓𝟕°𝟏𝟖′

（三）常见的角度制与弧度制互换表示

内容 角度制 弧度制

终边相同的角的集合 {𝛽|𝛽=𝛼+𝑘∗360°,𝑘∈𝑍} {𝛽|𝛽=𝛼+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}

第一象限角集合 (𝑘∗360°,90°+𝑘∗360°) (𝑘∈𝑍) (2𝑘𝜋,𝜋2+2𝑘𝜋) (𝑘∈𝑍)

第二象限角集合 (90°+𝑘∗360°,180°+𝑘∗360°) (𝑘∈𝑍) (𝜋2+2𝑘𝜋,𝜋+2𝑘𝜋) (𝑘∈𝑍)

第三象限角集合 (180°+𝑘∗360°,270°+𝑘∗360°) (𝑘∈𝑍) (𝜋+2𝑘𝜋,3𝜋2+2𝑘𝜋) (𝑘∈𝑍)

第四象限角集合 (270°+𝑘∗360°,360°+𝑘∗360°) (𝑘∈𝑍) (3𝜋2+2𝑘𝜋,2𝜋+2𝑘𝜋) (𝑘∈𝑍)

x轴终边的角的集合 {𝛽|𝛽=𝑘∗180°,𝑘∈𝑍} {𝛽|𝛽=𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}

y轴终边的角的集合 {𝛽|𝛽=90°+𝑘∗180°,𝑘∈𝑍} {𝛽|𝛽=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}

终边在𝐲=𝐱上角的集合 {𝛽|𝛽=45°+𝑘∗180°,𝑘∈𝑍} {𝛽|𝛽=𝜋4+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}

二、三角函数常用特殊值【大重点，熟练背诵】

A 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 270° 360°

0 𝜋12 𝜋6 𝜋4 𝜋3 5𝜋12 𝜋2 7𝜋12 2𝜋3 3𝜋4 5𝜋6 11𝜋12 𝜋 3𝜋2 2𝜋

𝑠𝑖𝑛𝐴 0 √6−√24 12 √22 √32 √6+√24 1 √6+√24 √32 √22 12 √6−√24 0 −1 0

𝑐𝑜𝑠𝐴 1 √6+√24 √32 √22 12 √6−√24 0 −√6−√24 −12 −√22 −√32 −√6+√24 −1 0 1

𝑡𝑎𝑛𝐴 0 2−√3 √33 1 √3 2+√3 ∞ −2−√3 −√3 −1 −√33 −2+√3 0 ∞ 0

𝑐𝑜𝑡𝐴 ∞ 2+√3 √3 1 √33 2−√3 0 −2+√3 −√33 −1 −√3 −2−√3 ∞ 0 ∞

𝑠𝑒𝑐𝐴 1 √6−√2 2√33 √2 2 √6+√2 ∞ −√6−√2 −2 −√2 −2√33 √2−√6 −1 ∞ 1

𝑐𝑠𝑐𝐴 ∞ √6+√2 2 √2 2√33 √6−√2 1 √6−√2 2√33 √2 2 √6+√2 ∞ −1 ∞

【必考知识点】

一、三角函数概念

（1）定义式【熟记理解】

比较项 锐角三角函数 任意角三角函数

图形

直角三角形 任意三角函数

【以单位圆的圆心O为原点，𝜃为任意角】

正弦（𝑠𝑖𝑛） 𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎𝑐 𝑠𝑖𝑛𝜃=𝑦𝑟,𝑟=√𝑥2+𝑦2

余弦（𝑐𝑜𝑠） 𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑥𝑟,𝑟=√𝑥2+𝑦2

正切（𝑡𝑎𝑛或𝑡𝑔） 𝑡𝑎𝑛𝐴=𝑎𝑏 𝑡𝑎𝑛𝜃=𝑦𝑥,𝑟=√𝑥2+𝑦2

余切（𝑐𝑜𝑡或𝑐𝑡𝑔） 𝑐𝑜𝑡𝐴=𝑏𝑎 𝑐𝑜𝑡𝜃=𝑥𝑦,𝑟=√𝑥2+𝑦2

正割（𝑠𝑒𝑐） 𝑠𝑒𝑐𝐴=𝑐𝑏 𝑠𝑒𝑐𝜃=𝑟𝑥,𝑟=√𝑥2+𝑦2

余割（𝑐𝑠𝑐） 𝑐𝑠𝑐𝐴=𝑐𝑎 𝑐𝑠𝑐𝜃=𝑟𝑦,𝑟=√𝑥2+𝑦2

（2）同角三角函数的基本关系【大重点题型：化弦为切经常用到，结合诱导公式与恒等变换】

（i）平方关系【重点记第一个】

𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=1

1+𝑐𝑜𝑡2𝑥=𝑐𝑠𝑐2𝑥

1+𝑡𝑎𝑛2𝑥=𝑠𝑒𝑐2𝑥

（ii）商数关系【重点记第一个】

𝑡𝑎𝑛𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑡𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

（iii）倒数关系

𝑡𝑎𝑛𝑥∗𝑐𝑜𝑡𝑥=1

𝑠𝑖𝑛𝑥∗𝑐𝑠𝑐𝑥=1

𝑐𝑜𝑠𝑥∗𝑠𝑒𝑐𝑥=1

（3）三角函数在各象限的符号【大重点并背诵】

比较 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛼

图示

口诀 一全、二正、三切、四弦 二、诱导公式【大重点，以下表格全背】

组数 一 二 三 四 五 六

角

𝛼+2𝑘𝜋

(𝑘∈𝑍)

𝜋+𝛼 −𝛼 𝜋−𝛼 𝜋2−𝛼 𝜋2+𝛼

与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴

对称 关于y轴

对称 关于直线𝑦=𝑥对称 先关于直线𝑦=𝑥对称，得𝜋2−𝛼的终边，再关于y轴对称，得𝜋2+𝛼的终边

图示

正弦（𝑠𝑖𝑛） 𝑠𝑖𝑛 𝛼 −𝑠𝑖𝑛 𝛼 −𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼

余弦（𝑐𝑜𝑠） 𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼 −𝑠𝑖𝑛 𝛼

正切（𝑡𝑎𝑛） 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛼 −𝑡𝑎𝑛 𝛼 −𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛼 −𝑐𝑜𝑡 𝛼

余切（𝑐𝑜𝑡） 𝑐𝑜𝑡 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛼 −𝑐𝑜𝑡 𝛼 −𝑐𝑜𝑡 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛼 −𝑡𝑎𝑛 𝛼

正割（𝑠𝑒𝑐） 𝑠𝑒𝑐 𝛼 −𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑠𝑒𝑐 𝛼 −𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑐𝑠𝑐 𝛼 −𝑐𝑠𝑐 𝛼

余割（𝑐𝑠𝑐） 𝑐𝑠𝑐 𝛼 −𝑐𝑠𝑐 𝛼 −𝑐𝑠𝑐 𝛼 𝑐𝑠𝑐 𝛼 𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑠𝑒𝑐 𝛼

口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限

诱导公式的基本思路【以第1组~第4组为例】：

（1）首先，任意负角的三角函数转化成任意正角的三角函数【用公式3或1】

（2）其次，任意正角的三角函数转化成𝟎∼𝟐𝝅的三角函数【用公式1】

（3）最后，𝟎∼𝟐𝝅的三角函数转化成锐角三角函数【用公式2或4】

三、三角恒等变换【大重点，所有公式都要背】

1.两角和与差的正弦、余弦、正切

𝐶𝛼−𝛽:𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝛽)=𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽

𝐶𝛼+𝛽:𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)=𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑆𝛼−𝛽:𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑆𝛼+𝛽:𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑇𝛼−𝛽:𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽1+𝑡𝑎𝑛𝛼∗𝑡𝑎𝑛𝛽

𝑇𝛼+𝛽:𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝛼∗𝑡𝑎𝑛𝛽

扩展：三角和公式

𝐶𝛼+𝛽+𝛾:𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽+𝛾)=𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽∗𝑐𝑜𝑠𝛾−𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽∗𝑠𝑖𝑛𝛾−𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽∗𝑠𝑖𝑛𝛾−𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽∗𝑐𝑜𝑠𝛾

𝑆𝛼+𝛽+𝛾:𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽+𝛾)=𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽∗𝑐𝑜𝑠𝛾+𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽∗𝑐𝑜𝑠𝛾+𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛽∗𝑠𝑖𝑛𝛾−𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑠𝑖𝑛𝛽∗𝑠𝑖𝑛𝛾

𝑇𝛼+𝛽+𝛾:𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽+𝛾)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑡𝑎𝑛𝛾−𝑡𝑎𝑛𝛼∗𝑡𝑎𝑛𝛽∗𝑡𝑎𝑛𝛾1−𝑡𝑎𝑛𝛼∗𝑡𝑎𝑛𝛽−𝑡𝑎𝑛𝛼∗𝑡𝑎𝑛𝛾−𝑡𝑎𝑛𝛽∗𝑡𝑎𝑛𝛾

2.二倍角的正弦、余弦、正切

𝐶2𝛼: 𝑐𝑜𝑠2𝛼=𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1; 𝑐𝑜𝑠2𝛼=1+𝑐𝑜𝑠2𝛼2,𝑠𝑖𝑛2𝛼=1−𝑐𝑜𝑠2𝛼2

𝑆2𝛼: 𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑇2𝛼: 𝑡𝑎𝑛2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛2𝛼

扩展1：半角公式

𝐶𝛼2: 𝑐𝑜𝑠𝛼2=±√1+𝑐𝑜𝑠𝛼2

𝑆𝛼2: 𝑠𝑖𝑛𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼2

𝑇𝛼2: 𝑡𝑎𝑛𝛼2=𝑠𝑖𝑛𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼=1−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼

注意：正负由𝜶𝟐所在的象限决定！其中

𝐶𝛼: 𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑐𝑜𝑠2𝛼2−𝑠𝑖𝑛2𝛼2=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼2=2𝑐𝑜𝑠2𝛼2−1=1−𝑡𝑎𝑛2𝛼21+𝑡𝑎𝑛2𝛼2