三角函数与解三角形

三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形

1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。根据正弦定理，$\frac{a}{\sin

A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。根据余切的定义，$\cot

A=\frac{b}{a}$。根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：

1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

三角函数和解三角形典型题及常见题汇总

三角函数是数学中重要的分支之一，它与解三角形问题密切相关。本文将对三角函数的基本概念进行介绍，并通过解典型题和常见题的方式，帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、三角函数的基本概念

1. 正弦函数（sine function）：对于一个角α，它的正弦值（sinα）等于其对边与斜边的比值，可以表示为sinα = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cosine function）：对于一个角α，它的余弦值（cosα）等于其邻边与斜边的比值，可以表示为cosα = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tangent function）：对于一个角α，它的正切值（tanα）等于其对边与邻边的比值，可以表示为tanα = 对边/邻边。

二、解三角形典型题

1. 已知两边及夹角（SSA）：当已知一个三角形的两边和夹角时，可以利用正弦定理求解第三边的长度。具体步骤是：

a) 使用正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别表示三个角的度数，a、b、c分别表示这些角所对应的边长。

b) 带入已知数据，求解未知边的长度。

2. 已知两个边及对应角（SSS）：当已知一个三角形的两个边及其夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。具体步骤是： a) 使用余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应的角度。

b) 带入已知数据，求解未知边的长度。

三、常见题汇总

1. 解三角形：已知三个角或两个角及一边的情况下，求解三角形的边长和角度。

2. 三角函数的图像与性质：通过画图并观察三角函数的周期、对称轴、最大最小值等性质。

3. 三角方程的求解：根据给定的三角方程，使用三角函数的性质和恒等式进行推导和求解。

4. 三角函数的应用：在物理、工程等领域中，通过三角函数可以描述和求解各种周期性现象，如电流的变化、振动的周期等。

1 三角函数与解三角形

一、单选题

1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点D处，塔顶C的仰角为30°，且B点在北偏东60°．AB相距80（单位：m），在B点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD约为（ ）m

A．69 B．40 C．35 D．23

【答案】B

【分析】

根据题意构造四面体C-ABD,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可.

【详解】

如图，根据题意，图中CD平面ABD,30CAD,30,60,80BADABDAB

ABD中，30,60BADABD， 90ADB 2 cos80?cos30403ADABBAD

又CD平面ABD，ACD是直角三角形

RtACD中，30,90,403CADADCAD

3·tan30403403CDAD，选项B正确，选项ACD错误

故选：B.

2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142cabSca， 现在有周长为1027的ABC满足sin:sin:sin2:3:7ABC，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（ ）

三角函数与解三角形 任意角和弧度制及任意角的三角函数

三角函数的图象与性质

三角恒等变换

解三角形 任意角分类：正角、负角、零角终边相同的角：与终边相同的角可表示为半径为圆心角为的扇形弧度制：弧长公式面积公式 同角三角函数基本关系 诱导公式 奇变偶不变，符号看象限定义域；值域最小正周期奇函数 单调增区间；单调减区间 当时；当时 对称中心为；对称轴为直线定义域；值域最小正周期单调增区间；单调减区间当时；当时对称中心为；对称轴为直线定义域；值域最小正周期在上单调递增对称中心为偶函数

奇函数

和（差）角公式 二倍角公式 半角公式 辅助角公式其中 正弦定理 余弦定理 面积公式画出的图象向左右平移个单位长度得到的图象横坐标变为原来的倍得到的图象纵坐标变为原来的倍得到的图象

为外接圆半径的面积