第一章复变函数习题及解答

第⼀章复变函数习题及解答

第⼀章 复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐⾓以及辐⾓的主值；并分别写成代数形式，三⾓形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)

（1）1-； （2）

ππ2(cos

isin )33-； （3）1cos isin αα-+；

（4）1ie +； （5）i sin R e θ

； （6）i +

答案 （1）实部－1；虚部 2；辐⾓为 4π2π,0,1,2,

3

k k +=±±；主辐⾓为4π

3；

原题即为代数形式；三⾓形式为4π4π2(cos

isin )33+；指数形式为4π

i 32e ．

（2）略为5π

i 35π5π

2[cos

sin ], 233i e +

（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα

（4）略为 i;(cos1isin1)ee e +

（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+

（6）该复数取两个值

略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+=+=+

1.2 计算下列复数 1）()

10

3

i 1+-；2）()3

1i 1+-；

答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k πi

6

3

2e

0,1,2k +=；

1.3计算下列复数

（1 （2

答案 （1

（2）(/62/3)i n e

ππ+

1.4 已知x

【解】 令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平⽅得到

22

12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以221,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+

即实部为 ,x ±

虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值．1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有|

|1

az b

bz a +=+

【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以1()

()1|||||

|||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++

1.6 如果复数b a i +是实系数⽅程

()011

10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -⼀定也是该⽅程的根．

证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()k

k

z z =，

故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()()

00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．

注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本⾝即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这⼀点在代数学中早已被⼤家认识．特别地，奇次实系数多项式⾄少有⼀个实零点．1.7 证明：

2222

121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其⼏何意义． 1.8 若 (1)(1)n n

i i +=-，试求n 的值.

【解】 因为 2222

44444444(1)2(cos sin )2(cos sin )

(1)2(cos sin )2(cos sin )n n n

n

n

n

n n n n n n i i i i i i ππππ

ππππ+=+=+-=-=-

所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以

4

,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±

1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ

答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ

θθθθθ-+-+

1.10 证明：如果 w 是1的n 次⽅根中的⼀个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有

2110n -++++=w w w

1.11 对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

2

2

2

2

1

1

1

1

||(||||)||

||n n n

n

k k k k k k

k k k k αβαβαβ

====≤≤∑∑∑∑ 成⽴。

【证明】 对任意n 个复数，由三⾓不等式知11

||||||

n n

k k k k k k αβαβ==≤∑∑

再由关于实数的柯西不等式得2

2

2

2

1

1

1

1

||(||||)||

||n n n

n

k k k k k k

k k k k αβαβαβ

====≤≤∑∑∑∑,证毕。

1.12证明

1sin()sin

22cos cos 2cos3cos ;2sin

2n n θθθθθθθ+-+++

+=

1cos

cos()22sin sin 2sin 3sin 2sin

2n n θ

θθθθθθ

-+++++=

成⽴．1.13 下列不等式在复数平⾯上表⽰怎样的点集？

1）()1Re 0<

5）2

1

1<+-z z

（答 1）平⾯上由0=x 与1=x 所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以0z 为⼼，内半径为2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为()01??-的⾓形区域；4）宽度为π

的说平带形域，边界为0=y ，π=y ；5）以035z =-

为⼼，34

=

R 为半径的圆之外

部区域）1.14 指出下列关系表⽰的点之轨迹或范围；并说明是何种点集？

1）

()πarg i 4z -=

2）522=++-z z

解 1）令y x z i +=，由()πarg i 4z -=

知()()>-=->=-01i Im 0i Re y z x z 且

1πarctan 4y x -=

即 ??>+=01

x x y

这样的点为z 平⾯上从点i 0=z 出发（但不含0z 点）与实轴倾⾓为π4的射线．此射线所

形成的点集既⾮开集，也⾮闭集． 2）设y x z i +=，则原条件即为()2102252522

2

2

+-++=+-=-z z z z

即21025222

2+=-+--z z z

由模的定义得()()2222100441002100258y x x z x +++=+=+

化简得123252

22

2

=??

+

y x

这是⼀椭圆，长半轴为25，短半轴为23

，中⼼在原点，它是有界闭集（全部为边界点）．1.15描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是⽆界，单连通还是多（或复）连通. （1）

2i 3z ≤-≤ （2）()2i Re ≥z

（3）123

>--z z （4）

()1arg 1πz -<<-+

（5）121+<-z z （6）521≤++-z z （7）122>+--z z （8）1i i ≤-+z z z z

解 （1）是以i 为圆⼼、在以2为半径的圆外，3为半径的圆内的圆环，是有界闭区域、多连通．（图形略）

（2）即2-≤y 是下半平⾯，⽆界单连通闭区域．

（3）z 到3的距离⽐z 到2的距离⼤，因此，它是左半平⾯212

点，是⽆界的多连通的区域.

（4）在直线kx y =的上⽅，其中1tan -=k ．⽆界单连通区域 （5）即()()()()11411++<--z z z z

03553>+++z z z z

或0135

222>+++x y x

916352

2

>

+??? ?

+y x 是⽆界多连通区域 （6）此不等是焦点在1=z 和2-=z 初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域）．

（7）这是半⽀双曲线：1174422>-

y x ，?

?

-<21x 部分是⽆界单连通区域． （8）不等式即1222≤-+y y x ，或()012

2

≤-+y x ，只有当0=x ，1=y 成⽴，因此，

只代表复平⾯上⼀个点i =z ．1.16已知映射

1

z =

w ，求

(1) 圆周的象；

（2）直线y x =的象； （3）区域1x >的象． 答案 (1) ||211|||||2z z ===w ，为圆周

（2）直线

111i 11,,,(1i)22u u z x x x x

-====∴=-+-w v =v

2

（3） 先看直线 x=1的象，22222

11i 1,,1i 111y y

u u u y y y y --=

=∴==∴+=++++w v v

⽽ z ＝0 的象=∞w 在圆的外部，因此1x >的象是圆的内部即为22u u +1.17讨论下列函数在指定点的极限存在性，若存在求出其值，并判断在该点的连续性．

1）()2

i 2y x z f +=，i 20=z 2)

()??

-=

z z z z z f i 21，00=z

解 1）()()()y x v y x u z f ,i ,+=，000i y x z +=

则()x y x u 2,=，()2,y y x v =，()()2,0,00=y x ，

()()