江苏省南通、扬州、泰州七市2024届高三第三次调研测试数学试题
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试卷第1页,共4页
江苏省南通、扬州、泰州七市2024届高三第三次调研测试数学
试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1
.已知集合1
,,1,
22k
MxxkkNxxk
ZZ
,则(
)
A
.MN
B
.NM C
.
MN= D
.MN
2
.已知三个单位向量,,abcrrr
满足
rrr
abc,则向量,bcrr
的夹角为(
)
A.
6
B.
3
C.2
3
D.5
6
3
.某同学测得连续7
天的最低气温分别为1,2,2,,6,2,8m
(单位:℃),若这组数据的平均数
是中位数的2
倍,则m
(
)
A
.2 B
.3 C
.6 D
.7
4
.已知z
为复数,则“
zz”
是“2
2
zz”
的(
)
A
.充分非必要条件 B
.必要非充分条件 C
.充要条件 D
.非充
分非必要条件
5.已知ππ
cos3cos
44
,则sin2
(
)
A.3
5 B.4
5 C.3
5-
D.4
5
6
.设数列
na
的前n
项和为
nS
,若2
nnSna
,则
7a
(
)
A
.65 B
.127 C
.129 D
.255
7
.已知函数
fx
的定义域为
R,且
1fx
为偶函数,
21fx
为奇函数.若
10f
,
则26
1()
kfk
(
)
A
.23 B
.24 C
.25 D
.26
8
.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2
,8
,侧棱长为
35,则该正四棱台内半径
最大的球的表面积为(
)
A
.12π B
.27π C.64π
9 D.64π
3 试卷第2页,共4页
二、多选题
9
.已知π
2sin2
4fxx
,则(
)
A
.
πfxfx
B.3π
8fxfx
C.π
0,,1
4xfx
D.π
0,,0
4xfx
10
.在正方体
1111ABCDABCD
中,
P为
1DD
的中点,M是底面ABCD
上一点,则(
)
A
.M为AC
中点时,
1PMAC
B
.M为AD中点时,//PM
平面
11ABC
C
.满足
123PMDD
的点M在圆上
D
.满足直线PM与直线AD成30角的点M在双曲线上
11.已知
12
21
2log,log
2b
a
ab
,则(
)
A
.
22ab
ab
B
.
22ba
ab
C.1
21eb
a D.1
1
2ea
b
三、填空题
12
.设a为实数,若函数321
()1
3fxxax在4x
处取得极大值,则a
的值为
.
13
.已知随机变量
2
4,4XN
.若(3)0.3PX
,则(35)PX
,若21YX,
则Y的方差为
.
14
.已知
12,FF是椭圆2
2
2:1x
Cy
a的左、右焦点,
P是C
上一点.过点
1F
作直线
1PF
的垂
线
1l
,过点
2F
作直线
2PF
的垂线
2l
.若
12,ll
的交点Q
在C
上(,PQ
均在x
轴上方),且
85
5PQ,则C
的离心率为
.
四、解答题
15
.在ABCV
中,角,,ABC
的对边分别为
,,,2coscosabcbcAaC
. 试卷第3页,共4页 (1)
求
A;
(2)
若ABCV
的面积为3,BC边上的高为1
,求ABCV
的周长.
16
.如图,在直三棱柱
111ABCABC-
中,
12,,23ABBCABBCCC,
1(01)BEBB
uuuruuur
.
(1)当1
3
时,求证:CE
平面
1ABC
;
(2)
设二面角BAEC的大小为
,求sin
的取值范围.
17
.已知函数
(1)1(1)k
fxxkxk
.
(1)
若1x
,求
fx
的最小值;
(2)
设数列
na
前n
项和
nS,若1
1
2n
n
na
,求证:2
2
2n
nn
Sn
.
18
.已知抛物线2
:2(0)Cxpyp的焦点为F,直线l
过点F交C
于,AB
两点,C
在,AB
两
点的切线相交于点,PAB
的中点为Q
,且PQ
交C
于点E.当l
的斜率为1
时,8AB
.
(1)
求C
的方程;
(2)
若点
P的横坐标为2
,求QE
;
(3)
设C
在点E处的切线与,PAPB
分别交于点,MN
,求四边形ABNM
面积的最小值.
19
.“
熵”
常用来判断系统中信息含量的多少,也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大
小,一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显.定义:随机变量X对应取值
ix
的概率为
iipPXx
,其单位为bit
的熵为
2
1()logn
ii
iHXpp
,且
11n
i
ip
.(当0
ip
,规定
2log0
iipp
.)
(1)
若抛掷一枚硬币1
次,正面向上的概率为(01)mm
,正面向上的次数为X,分别比较试卷第4页,共4页
1
2m与1
4m
时对应
HX
的大小,并根据你的理解说明结论的实际含义;
(2)
若拋郑一枚质地均匀
....的硬币n
次,设
X表示正面向上的总次数,
Y表示第n
次反面向上的
次数(0
或1
).
11,pxy
表示正面向上
1x
次且第n
次反面向上
1y
次的概率,如3n
时,
1
0,1
8p
.对于两个离散的随机变量,XY
,其单位为bit
的联合熵记为
22
11(,),0log,0,1log,1nn
iiii
iiHXYpxpxpxpx
,且
11,0,11nn
ii
iipxpx
.
(ⅰ
)当3n
时,求
,HXY
的值;
(ⅱ
)求证:
11
,3
2nHXYnn
.