江苏省南通、泰州、扬州等七市2019届高三第三次调研考试数学试题及答案

南通市2019届高三第三次调研测试

1． 已知集合{1023}U，，，，{03}A，，则UAð ▲ ．

2． 已知复数i13iaz（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．

3． 右图是一个算法流程图．若输出y的值为4，则输入x的值为 ▲ ．

4． 已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且90xy，则该组数据的方差为 ▲ ．

5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ．

6． 已知函数2220()20xxxfxxxx，≥，，， 则不等式()()fxfx的解集为 ▲ ．

7． 已知na是等比数列，前n项和为nS．若324aa，416a，则3S的值为 ▲ ．

8． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221yxab（00ab，）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为4ab，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

9． 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm3．

10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线sin2yx与1tan8yx在2，上交点的横坐标为，则sin2的值为 ▲ ．

11．如图，正六边形ABCDEF中，若ADACAE（，R），则的值为 ▲ ．

12．如图，有一壁画，最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3.5 m．若从离地高2 m的C处观赏它，则离墙 ▲ m时，视角最大．

13．已知函数2()23fxxxa，2()1gxx．若对任意103x，，总存在223x，，使得12()()fxgx≤成立，则实数a的值为 ▲ ． 结束 Y

输出y N

（第3题） 开始

输入x

y←3 x x≤1

y←3+x

A B C D E

F

（第11题） A

B

C 6

2 3.5

（第12题） 

14．在平面四边形ABCD中，90BAD， 2AB，1AD．若43ABACBABCCACB， 则12CBCD的最小值为 ▲ ．

15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，(sinsin)()(sinsin)aABcbBC．

（1）求角C的值；（2）若4ab，求sinB的值．

16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，

BPBC，E，F分别是PC，AD的中点．

求证：（1）BE⊥CD； （2）EF∥平面PAB．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221yxCab：（0ab）的上顶点为03A，，圆2224aOxy：经过点01M，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M作直线1l交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线1l的垂线2l交圆O于另一点N．若△PQN的面积为3，求直线1l的斜率．

18．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪

风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到

AEF处，点A落在牛皮纸上，沿AE，AF裁剪并展开，得到风筝面AEAF，如图1．

（1）若点E恰好与点B重合，且点A在BD上，如图2，求风筝面ABAF的面积；

（2）当风筝面AEAF的面积为23m时，求点A到AB距离的最大值．

A B C D P

E

F

（第16题）

x O A

（第17题） y

M

N

P Q

（图1） A B C D F

E A

（图2） A B（E） C D

F A

19．已知数列na满足11(2)(21)nnnnnaaaa（2n≥），1nnbna（nN）．

（1）若1=3a，证明：nb是等比数列；

（2）若存在kN，使得1ka，11ka，21ka成等差数列．

① 求数列na的通项公式；

② 证明：111lnln(1)22nnnana．

20．已知函数2()1lnaxfxx（0a），e是自然对数的底数．

（1）当0a时，求()fx的单调增区间；

（2）若对任意的12x≥，1()2ebfx≥（bR），求ba的最大值；

（3）若()fx的极大值为2，求不等式()e0xfx的解集．

21．A．[选修4-2：矩阵与变换]

已知abcd，，，R，矩阵20abA的逆矩阵111cdA．若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线21yx，求曲线C的方程．

B．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B

的极坐标分别为π42，，5π224，，曲线C的方程为r（0r）．

（1）求直线AB的直角坐标方程；

（2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．

C．[选修4-5：不等式选讲]

已知aR，若关于x的方程2410xxaa有实根，求a的取值范围．

22．现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．

已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟

积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频

学习积分的概率分布表如表2所示．

（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；

（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及

数学期望．

23．设202(1)inniinPC，212(1)jnnjjnjQC．

（1）求222PQ的值；（2）化简nnnPQ．

文章学习积分 1 2 3 4 5

概率 19 19 19 16 12

视频学习积分 2 4 6

概率 16 13 12

表1 表2

南通市2019届高三第三次调研测参考答案

1、 {12}， 2、3 3、1 4、145 5、12 6、(20)(2)，，

7、14 8、2 9、73 10、158 11、43 12、6 13、13 14、262

15、（1）π3C．（2）39sin26B．

16、略

17、（1）椭圆C的方程为22143yx． （2）若1l的斜率为0，则463PQ，2MN， 所以△PQN的面积为463，不合题意，所以直线1l的斜率不为0． 设直线1l的方程为1ykx， 由221431yxykx，消y，得22(34)880kxkx， 设11Pxy，，22Qxy，， 则2124262134kkxk，2224262134kkxk， 所以221212()()PQxxyy22212246121134kkkxxk．

直线2l的方程为11yxk，即0xkyk，所以． 22222111kMNkk 所以△PQN的面积12SPQMN2222461211232341kkkk，解得12k，即直线1l的斜率为12．

18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABAF的面积为24m3．

方法二：设ABF，则2ABA．在直角△ABD中，3tan24ADAB， 所以22tan341tan，

解得1tan3或tan3（舍去）．所以2tan3AFAB． 所以△ABF的面积为21222m233，所以四边形ABAF的面积为24m3．

（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AEa，AFb，00Axy，，则直线EF的方程为0bxayab，因为点A，A关于直线EF对称，所以0000022yaxbbxayab，，解得20222abyab． 因为四边形AEAF的面积为3，所以3ab， 所以3043232333ayaaa． 因为02a≤，302b≤，以2323a≤≤． 设33()faaa，2323a≤≤． 244(3)(3)(3)9()1aaafaaa， 令()0fa，得3a或3a（舍去）． 列表如下：

当3a时，()fa取得极小值，即最小值433， 所以0y的最大值为32，此时点A在CD上，3a，1b． 答：点A到AB距离的最大值为3m2．

方法二：设AEa，AEF，则tanAFa．因为四边形AEAF的面积为3，所以3AEAF，即2tan3a，所以23tana．过点A作AB的垂线AT，垂足为T，则sin2sin2sin2ATAEAEa a 2333， 3 32，

()fa  0 +

()fa 单调递减 极小值 单调递增

A

A B C D

F

E T A B C D

F

E x y

A