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数列通项公式的常见求法

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数列通项公式的常见求法

数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。通项公式是描述数列中每一项之间的关系的公式。在数学中，求解数列通项公式的方法有多种。下面将介绍一些常见的求解数列通项公式的方法。

1.列举法：

列举法是最直观也最简单的一种方法。通过列举数列中的前几项，观察其中的规律，然后尝试推导出通项公式。这种方法适用于数列规律较为简单的情况。

例如，观察以下数列：1,4,9,16,25,...

我们可以发现，该数列的每一项都是前一项的平方。因此，可以推测该数列的通项公式为 an = n^2，其中 n 表示项数。

2.递推法：

递推法是通过已知数列的前几项推导出后面的项，进而求解通项公式的方法。递推法常用于数列项与前一项之间存在较为简单的递推关系的情况。

例如，观察以下数列：2,4,8,16,32,...

我们可以发现，该数列的每一项都是前一项乘以2、因此，可以得到递推关系 an = 2 * an-1、通过这个递推关系，我们可以利用已知的项数求解出后面的项，并进一步推导出通项公式。

3.等差数列通项公式： 等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。等差数列的通项公式可以通过递推法或利用其性质推导得出。

例如，观察以下等差数列：3,6,9,12,15,...

可以发现，该等差数列的公差为3，即每一项与前一项之间的差值为3、利用等差数列的性质，可以推导出通项公式为 an = a1 + (n - 1)d，其中 a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。对于上述数列来说，首项

a1 为3，公差 d 为3，所以通项公式为 an = 3 + (n - 1)3

4.等比数列通项公式：

等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值相等的数列。等比数列的通项公式可以通过递推法或利用其性质推导得出。

例如，观察以下等比数列：2,6,18,54,162,...

可以发现，该等比数列的公比为3，即每一项与前一项之间的比值为3、利用等比数列的性质，可以推导出通项公式为 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。对于上述数列来说，首项

a1 为2，公比 r 为3，所以通项公式为 an = 2 * 3^(n - 1)。

除了以上几种方法，还有一些其他的求解数列通项公式的方法，如差分法、矩阵法等。不同的方法有不同的适用范围和求解难度。在实际应用中，根据数列的特点选择适当的方法，可以更高效地求解数列通项公式。

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数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。 例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

求数列通项的几种基本方法(带答案)

求数列通项的几种基本方法(带答案)

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数列通项公式的常见求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

1．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.

解：设数列na公差为)0(dd

∵931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，

即)8()2(1121daadadad12

∵0d， ∴da1………………………………①

∵255aS ∴211)4(2455dada…………②

由①②得：531a，53d

∴nnan5353)1(53

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法（nfaann1型）

2、已知数列na满足211a，nnaann211，求na。

解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得

)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa

)111()4131()3121()211(nn 所以naan111nnan1231121

3、已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

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求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

求数列通项公式的十种方法[1]

求数列通项公式的十种方法[1]

第 1 页 共 14 页 求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna

例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数

2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；

解： 22(1)4231anadSnnnn

23435TSnnnnn……2分 当1,35811nTb时

当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分

练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)