高中数学《杨辉三角》教学设计
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1 《杨辉三角》教学设计
一、教材分析：
（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版
选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深
入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。本节课主要是总结杨辉三角
的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。 杨辉三角的
基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉
三角其他规律的基础。
（2）地位与作用： 本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。
二、学情分析：
1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。
2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。
三、目标分析：
1、知识与技能目标：
了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。 2 2、过程与方法目标：
通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.
3、情感、态度价值观目标：
（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；
（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度 ；
（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。
四、基于以上分析，我制定本节课的教学重点和难点为：
教学重点：引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律（含拓展性质），得出结论，并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题；从而培养学生自主学习的能力.
教学难点：利用赋值法解决展开式的系数问题。
五、教学手段：
多媒体辅助教学，导学案
六、教学策略分析：杨辉三角这节课具有双重性，现代数学的严谨性和系统性在本节课体现的淋漓尽致，然而数百年来，对杨辉三角（帕斯卡三角）的研究和发现持续不断，因此它的与时俱进又无时无刻不体现了古代数学的传承性。鉴于此，我做了如下的教学策略：
将本节课大致分为两大环节，第一环节通过课前学案的预习，引导学生总结教材中给出的性质，并通过例题和检测题，引领学生学会用所给出的性质尤其是用赋值法解决问题，培养和增强学生的数学运算能力；
第二环节将重点放在了课外拓展中，杨辉三角具有高度的开放性，需要学生观察分析，获得感性认识，然后在小组同学的讨论交流中进行归纳总结，并在此过程中培养学生交流与合作能力，使学生们体会合作的重要性 3 此外，在教学最后环节简单介绍杨辉三角的历史地位，渗透数学文化，增加学生的文化自信。
七、教学过程：
设计环节 师生活动 设计意图
新课导入 由同学们一起回顾二项式展开式入手，引入课题。 温故知新，合理引入杨辉三角
新课讲授 环节一：展示杨辉三角图，观察、分析杨辉三角。我们学过哪些性质？它们与组合数之间有什么关系？仔细观察杨辉三角的图形，根据对导学案的预习，得出相关的性质。
环节二：分析杨辉三角，得出性质：
（1）三角数表中的每一行的数字有什么特点？反映了组合数的哪个性质？
（2）相邻两行的数字有什么关系？反映了组合数的哪个性质？
（3）二项式的幂指数为偶数时，展开式的二项式系数最大项是第几项？
幂指数为奇数时，展开式二项式系数最大项是第几项？
（4）将每一行的数字相加，你会发现：第n行数字的和为_______，如何证明？
第n行的奇数项相加，和是多少？偶数项呢？
以上四条是二项式系数的基本性质,也是本节课教学的重点,是解决后面问题的基础, 采取分组讨论、交流展示的学习方式，让学生展示自主探究的结论,让学感受到自主探究的成就,同时激发继续探究的热情。
环节三：学生展示自己的成果 4
例题研究 例1、 证明在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.
例2、已知2(1)nx展开式的各项二项式系数和是1024，求展开式中含6x的项.
例3、求8(1)x的展开式中二项式系数最大的项.
利用杨辉三角的基本性质来解决问题
例1：赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，促进学生进一步掌握二项式系数的性质，引导学生学会用赋值法解决问题，促进其有意识的运用．
例2和例题3：利用所学性质解决相关的问题，学生通过集体讨论已经能够解决这个问题。
目标检测
1. 设8878710(31)xaxaxaxa，
则（1）87610aaaaa
（2）876510aaaaaa
（3）86420aaaaa
让学生进行自我练习，进一步熟悉本节课所学内容，尤其是赋值法，形成程序性步骤，达到熟练程度。
课外拓展 1、从三角数表中，你还能发现其它的性质吗？
杨辉三角不仅可“横看”找规律，还可“斜看”、“竖在这个环节中，学生可能提出一些自己发现的探究结果,可以留待 5 看”，或从奇偶性等多角度观察，你会有许多的收获。
2、简单介绍一下杨辉，了解一下他的数学成就.
课下思考：虽然杨辉三角在欧洲被称为帕斯卡三角，但是两者有无不同之处，查阅资料，给出自己的观点。
关于课外拓展的设计意图：学生通过课前的研究调查，会发现很多有趣的规律。让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力.与此同时还能让学生得到共享的乐趣，激发民族自豪感。在最后留下的课后作业中，我的教学目的是试图让学生跳出课本，站在一个更高的角度，初步体会在数学的发展历程中，中西方关于数学知识体系形成的差异性.
3-5分钟让学生展示一下，并由此拓展杨辉三角的悠久历史和诸多奥秘，凸现数学史教学.
课堂小结 杨辉三角奥秘无穷，大家从不同角度，一定会发现更多的规律! 熟悉的地方也会有风景!
通过一个动漫短片的形式，再次了解杨辉三角。 进一步回顾本节知识点，通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法。而动漫短片更能加深学生对杨辉三角的印象。
八、教学反思
对于本节课，一些教师可能会采取讲授课的形式进行教学，因为课本上已经直接给出了一些二项式系数的规律，教师也就因为课时所限、高考非绝对重点考查等原因而直接讲结论，紧接着练习以完成教学任务。以这样的方式培养出来的学生会习惯被动接受，会丧失自主创新的能力。因此，在本节课的实际教学中，我的设计力求学生能在学习中体验──在体验中探究──在探究中创新。同时拿 6 出一点时间，介绍数学家杨辉，由此引入一点数学史内容，激发学生的爱国情感，激发学生的文化自信，从而实现本节课的情感目标。
进行教学设计时，让学生发挥有效联想和猜想，独立思考，得到一些初步猜想。经过这一环节，学生心中会因自己的发现而有了一定的成就感，同时又渴望能发现更多的规律。而此时的学习小组讨论正是一场“及时雨”，能让不同层次的学生的思想互相碰撞，产生火花。本节课的升华阶段是学生成果的展示，小组交流后，既展示了成果，又锻炼了胆量和语言组织能力。我认为，一节成功的课，不应该是一节学生完全没有疑问的看似“完美”的课，而是能够让学生有收获，同时又想收获更多的课。
本节课值得改进的地方：一是可考虑最后可适当让学生总结本节课内容，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论时间把握不好，有待进一步提高。
