第一章 多元正态分布的参数估计
一、填空题
1.设X、Y为两个随机向量，对一切的u、v，有 ，则称X与Y相互独立。
2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量pXXX,,1的协方差阵是 ，则X的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p元函数pxxxf,,,21能作为pR中某个随机向量的密度函数的主要条件是
和 。
5．若p个随机变量1X，2X，，pX的联合分布等于 ，则称1X，2X，，pX是相互独立的。
6.多元正态分布的任何边缘分布为 。
7.若,~pNX，A为ps阶常数阵，d为s维常数向量，则~dAX 。
8.多元正态向量X的任何一个分量子集的分布称为X的 。
9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
11.多元正态总体均值向量和协差阵的估计量X、Sn11具有 、
和 。
12．设X和S分别是多元正态总体,pN的样本均值向量和离差阵，则
~X ，X和S 。
13.若,~pNX，n,,2,1且相互独立，则样本离差阵nXXXXS1~ 。
14．若,~ipinWS，ki,,1，且相互独立，则~21kSSSS 。
第三章 多元正态分布均值向量和协方差的检验
1.基本思想和步骤
2.均值向量的检验
（1）分布：设且X与S相互独立，，则称统计量的分布为非中心分布
当时，称服从（中心）分布，记为
（2）转换为F分布：若且X与S相互独立，令，则
3.一个正态总体均值向量的检验
（1）协差阵已知，检验统计量为
（2）协差阵未知，检验统计量为
4.两个正态总体均值向量的检验
设为来自p维正态总体的容量为n的样本，为来自p维正态总体的容量为m的样本，且两组样本相互独立 ① 针对共同已知协差阵，检验统计量为
② 针对共同未知协差阵，检验统计量为
（2）协差阵不等
① 针对n=m的情形，检验统计量为
② 针对n≠m的情形，检验统计量为
5.多个正态总体均值向量的检验
（1）单因素方差分析：设k个正态总体分别为，从k个总体中取个独立样本，，假设H0成立，检验统计量为
其中，组间平方和为，组内平方和为，总平方和为，其中，
（2） 若，则为X的广义方差，为样本广义方差
（3） Wilks分布：若且二者相互独立，
为Wilks统计量，分布为Wilks分布，简记为
（4） 多元方差分析：检验统计量为 其中，，A为组间离差阵，E为组内离差阵，T为总离差阵，且T=A+E
6.协差阵的检验
（1）一个正态总体协差阵的检验：构造检验统计量
（2）多个协差阵相等的检验：构造检验统计量
多元统计分析陈钰芬课后答案
第1章 多元正态分布
1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？
第1章 多元正态分布
1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？
数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是0-1标准化和Z标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？
欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？
统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
武夷学院实验报告
课程名称： 多元统计分析 项目名称： 均值向量和协方差估计、均值分析和协差阵检验
姓名： 专业：信息与计算科学 班级：1班 学号： 同组成员：无
一、 实验目的
通过本次实验，了解SPSS的基本特征、结构、运行模式、主要窗口等，了解如何录入数据和建立数据文件，掌握基本的数据文件编辑与修改方法,对SPSS有一个浅层次的综合认识。同时能够掌握对均值向量和协方差阵进行检验。
二、 实验内容
1.操作SPSS的基本方法(打开、保存、编辑数据文件)
2.问卷编码
3.录入数据并练习数据相关操作
4.对均值向量和协方差阵进行检验，并给出分析结论。
三、 实验步骤
1.开机
2.找到SPSS的快捷按纽或在程序中找到SPSS，打开SPSS
3.认识SPSS数据编辑窗、结果输出窗、帮助窗口、图表编辑窗、语句编辑窗
4.对一份给出的数据进行编码和变量定义
5.按要求录入数据
6.练习基本的数据修改编辑方法
7.检验多元总体的均值向量和协方差阵
8.保存数据文件
9.关闭SPSS，关机。
四、 实验项目及结果
1、多元正态总体均值向量和协差阵的最大似然估计分别是样本均值向量和样本协差阵。利用SPSS软件可以迅速地计算出多元分布的样本均值向量、样本离差阵和样本协差阵。下面通过一个实例来说明多元正态分布参数估计的SPSS实现过程。这里以海峡西岸经济区的20个城市为研究对象，选取海峡西岸经济区的主要经济指标进行均值向量和协差阵的估计。主要经济指标包括：地区生产总值、固定资产投资额、社会消费品零售总额、货物进出口总额、实际利用外商直接投资，规模以上工业总产值以及公共财政预算收入等7个指标。表2.2数据来源于2013年《中国城市统计年鉴》和2013年《中国区域经济统计年鉴》。
将表2.2数据输入到SPSS的数据编辑窗口中得到如下图
（一）计算样本均值向量的步骤
（1）点击分析→描述统计→描述,进入描述性主对话框，将待估计的7个变量选入变量列表框中。
