第三章 多元正态分布均值向量和协方差的检验

第一章 多元正态分布的参数估计

一、填空题

1.设X、Y为两个随机向量，对一切的u、v，有 ，则称X与Y相互独立。

2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。

3．多元正态向量pXXX,,1的协方差阵是 ，则X的各分量是相互独立的随机变量。

4．一个p元函数pxxxf,,,21能作为pR中某个随机向量的密度函数的主要条件是

和 。

5．若p个随机变量1X，2X，，pX的联合分布等于 ，则称1X，2X，，pX是相互独立的。

6.多元正态分布的任何边缘分布为 。

7.若,~pNX，A为ps阶常数阵，d为s维常数向量，则~dAX 。

8.多元正态向量X的任何一个分量子集的分布称为X的 。

9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。

10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。

11.多元正态总体均值向量和协差阵的估计量X、Sn11具有 、

和 。

12．设X和S分别是多元正态总体,pN的样本均值向量和离差阵，则

~X ，X和S 。

13.若,~pNX，n,,2,1且相互独立，则样本离差阵nXXXXS1~ 。

14．若,~ipinWS，ki,,1，且相互独立，则~21kSSSS 。

实验零 多元正态总体检验（均值向量检验）

1．实验目的：

本实验讨论利用多元正态总体检验中的均值向量检验方法去判断满足多元正态分布的总体的均值是否等于预先判断的向量（单正态总体检验）或判断两个独立的、满足多元正态分布的总体的均值是否相等（双正态总体检验）。通过该实验，能够起到如下的效果：(1) 理解多元正态总体检验中的均值向量检验方法的作用、思想、数学基础、方法和步骤；(2) 熟悉如何利用多元正态总体检验中的均值向量检验方法，提出问题、分析问题、解决问题、得出结论； （3）会调用SAS软件实现多元正态总体检验中的均值向量检验方法的各个步骤，根据计算的结果进行分析，得出正确的结论，解决实际的问题。

2．知识准备：

多元正态总体检验中的均值向量检验是从判断满足多元正态分布的总体的均值是否等于预先判断的向量（单正态总体检验）或判断两个独立的、满足多元正态分布的总体的均值是否相等（双正态总体检验）。其思想和步骤是：

1.假设“需判断的总体均值等于预先判断的向量（单正态总体检验）”或“需判断的两个总体的均值相等（双正态总体检验）”；

2.在该假设下，构造适当的统计量并给出其分布；

3.根据观测数据算出其统计量的值；

4.根据预先确定的检验水平查阅相应的分布表确定临界值和拒绝域；

5.根据结果判断接受或拒绝原假设，得出结论。

（具体见书【1】第三章）

3．实验内容：

一、单正态总体检验：

人出汗多少与人体内钠、钾含量有一定关系。今测20名健康成年女性出汗多少(X1)、钠含量(X2)、钾含量(X3)，其数据如下表１：

表1 健康成年女性出汗情况的基本数据

序号 X1 X2 X3 序号 X1 X2 X3

1 3.7 48.5 9.3 11 3.9 36.9 12.7

2 5.7 65.1 8 12 4.5 58.8 12.3

3 3.8 47.2 10.9 13 3.5 27.8 9.8

4 3.2 53.2 12 14 4.5 40.2 8.4

第三章 多元正态分布均值向量和协方差的检验

1.基本思想和步骤

2.均值向量的检验

（1）分布：设且X与S相互独立，，则称统计量的分布为非中心分布

当时，称服从（中心）分布，记为

（2）转换为F分布：若且X与S相互独立，令，则

3.一个正态总体均值向量的检验

（1）协差阵已知，检验统计量为

（2）协差阵未知，检验统计量为

4.两个正态总体均值向量的检验

设为来自p维正态总体的容量为n的样本，为来自p维正态总体的容量为m的样本，且两组样本相互独立 ① 针对共同已知协差阵，检验统计量为

② 针对共同未知协差阵，检验统计量为

（2）协差阵不等

① 针对n=m的情形，检验统计量为

② 针对n≠m的情形，检验统计量为

5.多个正态总体均值向量的检验

（1）单因素方差分析：设k个正态总体分别为，从k个总体中取个独立样本，，假设H0成立，检验统计量为

其中，组间平方和为，组内平方和为，总平方和为，其中，

（2） 若，则为X的广义方差，为样本广义方差

（3） Wilks分布：若且二者相互独立，

为Wilks统计量，分布为Wilks分布，简记为

（4） 多元方差分析：检验统计量为 其中，，A为组间离差阵，E为组内离差阵，T为总离差阵，且T=A+E

6.协差阵的检验

（1）一个正态总体协差阵的检验：构造检验统计量

（2）多个协差阵相等的检验：构造检验统计量

多元统计分析陈钰芬课后答案

第1章 多元正态分布

1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？

第1章 多元正态分布

1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？

数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是0-1标准化和Z标准化。

2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？

欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。

缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。没有考虑到总体变异对距离远近的影响。

马氏距离表示数据的协方差距离。为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。

优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。

缺点：夸大了变化微小的变量的作用。受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。

3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？

统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。