1
授课主题：导数与函数的单调性、极值、最值
教学目标 1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。
教学内容
1．函数的单调性与导数
2．函数的极值与导数
2
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0) ＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如，函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
4．极值与最值
(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；
(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
题型一 利用导数研究函数的单调性
角度1 判断或证明函数的单调性
例1、设函数2()mxfxexmx。
（1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；
3 （2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围。
角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(多维探究)
例2、已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
方法点拨：用分类讨论思想方法、分离系数法．
解 (1)f′(x)＝3x2－a.
导数与函数单调性
一、回顾： 将函数xxfysin)(的图象向左平移4个单位，得到函数xy2sin21的图象，则)(xf是 ▲ （写出一个即可）
二、08~12年江苏数学命题研究及13年走势分析
2012年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是A级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B级要求.
导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.
2008年14题考查 导数在函数单调性的综合运用
2009年03题考查 导数研究函数单调性
2010年14题考查 导数研究函数性质
2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义
2012年考查 导数研究函数零点
导数— 导数作为新增内容应为考查的重点内容。利用导数刻划函数,或已知函数性质求参数范围等，2008年江苏考了一道“导数应用题”，理科加试考了“导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。那么2013年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数.
三、知识点梳理：
函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.
注：①)('xf＞0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有)('xf＞0，有一个点例外即x=0时)('xf = 0，同样)('xf＜0是f（x）递减的充分非必要条件.
高三数学第一轮复习集合、函数测试题
姓名_________ 班级_________ 分数_________
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．
1.设全集为R, 函数()1fxx的定义域为M, 则CMR为 （ ）
A．(-∞,1) B．(1, + ∞) C．(,1] D．[1,)
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 （ ）
A．1yx B．xye C．21yx D．lg||yx
3．“1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．∃x>0，使得x2－x≤0
B．∃x>0，使得x2－x>0
C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0
5．设函数211()21xxfxxx,则((3))ff （ ）
A．15 B．3 C．23 D．139
6. 设11333124log,log,log,,,233abcabc则的大小关系是 ( )
A．abc B．cba C．bac D．bca
7．函数)34(log231xxy的一个单调增区间是( )
A .23, B. ,23 C. 23,1 D.4,23
8.已知曲线421128=yxaxaa在点，处切线的斜率为， （ ）
A．9 B．6 C．-9 D．-6
9. 函数(0,1)xyaaaa的图象可能是（ ）
10.函数121()()2xfxx的零点个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11.设函数22,()ln)3(xxgxxxxfe. 若实数a, b满足()0,()0fagb, 则 （ ）
1 【状元之路】2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.2
函数的单调性与最值模拟试题
高考模拟 备考套餐
加固训练 练透考点
1．[2016·阜阳模拟]给定函数①y＝x 12 ，②y＝log12 (x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1。其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①y＝x 12 在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y＝log12 (x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③。
答案：B
2．[2016·福州模拟]函数f(x)＝ －x＋3a，x＜0，ax，x≥0(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.13，1
C.0，13 D.0，23
解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数；当x≥0时，若函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1。要使函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3a≥a0，解得a≥13，故有 0＜a＜1，a≥13，即13≤a＜1。
答案：B
3．[2015·湖北]已知符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0。f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )
A．sgn[g(x)]＝sgnx
B．sgn[g(x)]＝－sgnx
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] 2 D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
解析：因为f(x)是R上的增函数，又a＞1，所以当x＞0时，f(x)＜f(ax)，即g(x)＜0；当x＝0时，f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x＜0时，f(x)＞f(ax)，即g(x)＞0。由符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0知sgn[g(x)]＝ －1，x＞0，0，x＝0，1，x＜0＝－sgnx。
