第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
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第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第四章 线性控制系统的能控性和能观性
在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。4-1 线性连续定常系统的能控性
定义 对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x
+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []
f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别
4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输⼊系统 具有约旦标准型系统
bu x x
+Λ=
=Λn λλλλ
0000000
00
0000321
n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x
+=
=++n m m J λλλλλλ
0000000000000
001000
00000121
1
11
m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性
（1）u b x x
+??=221000λλ
[]x c c y 21=
解：?=111x x
λ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x
2222λ 2x 为能控状态 该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
（2）u b x x
+??=21100
1λλ 解：2111x x x
+=λ ?+=u b x x 2212λ 状态完全能控
2．具有⼀般系统矩阵的多输⼊系统
系统的状态⽅程为： Bu Ax x+= （1） 若令Tz x =，上式可变换为约旦标准型
Bu T z z
1-+Λ= （AT T 1-=Λ） 或 Bu T Jz z
1-+= （AT T J 1-=） （2） 系统的线性变换不改变系统的能控性3．⼀般系统的能控性判据
(a)若系统矩阵A 的特征值互异，则系统矩阵可变换为约旦标准型（对⾓线型），系统能控性的充分必要条件：控制矩阵B T 1-的各⾏元素没有全为0的。(b)若系统矩阵A 的特征值有相同的，则系统矩阵可变换为约旦标准型,
系统能控性的充分必要条件：(1) B T 1-中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后⼀⾏相对应的⼀⾏的元素没有全为0的；
(2) B T 1-中对应于互异根的部分，它的各⾏元素没有全为0的。
例1：判断下列系统的能控性u b b x x x x x x
+=3232121
132********
λλλ u b b b b x x x x x x
+
=??32311211
32131
1321000
00001
λλλ
例2：有系统如下，判断其是否能控u x x
-+-=150154 解：将其变换成约旦型
（1）先求其特征根()()0155415
42=-+=-+=--+=
-λλλλλ
λλA I
特征根为 1,521=-=λλ （2）再求变换矩阵
根据?=111p Ap λ??
-=151p ， ?=222p Ap λ=112p
变换矩阵T 为 ： []??
-==111521
p p T
-=?---?-=-6561
6161
51111
1151
1
T =-????
-=-0115656161611
b T
u z bu T ATz T z ??
+??-=+=--0110051
1 因为B T 1-最后⼀⾏元素为0，故系统是不能控的。
4-2-2直接从A 与B 判别系统的能控性 1． 单输⼊系统
bu Ax x
+= 其能控的充要条件为能控判别阵：
[]
b A Ab b M n 1-=
的秩等于n （满秩），即()n M rank =；否则，当()n M rank
【证】状态⽅程的解为：()()()()?-+=t
t A At d bu e x e t x 0
0τττ
根据上述能控性定义，考虑f t 时刻的状态()0=f t x ，有：()()()
()?-+==f
f f
t t A At f d bu e
x e
t x 0
00τττ
()()?--=f
t A d bu e x 00τττ
因为 ()i n i i A A e∑-=-=1
τατ
其中 ()()()τατατα110,,,-n 是线性⽆关的标量函数。()()()()()[]∑?∑?
∑-=-=-==-=-=1
1
10
0n i i
i
t i
n i i
i
t n i i
b A d u b A d bu A x f
f β
τττατττα
其中：()()ττταβd u ft i i ?-=0
所以 []
=--1101)0(n n b A Ab b
x βββ
对于任意给定的初始状态x(0)，如果系统可控，那么都应该从上式中求出⼀组[]T n 110-βββ 值。根据线性代数知识，110-n βββ 的
系数矩阵 []b A Ab b n 1- 的秩应等于n ，即：
()[]
n b A Ab b rank M rank n ==-1 求出⼀组[]T n 110-βββ 后，就可以求出⼀组分段连续的控制u(t)。
例1：判别下列线性系统的可控性。u x a a a x
+---=10010
0010
21
解：[]
---==1222
22110
1
00
a a a a
b A Ab b
M ()n M rank ==3，所以系统可控。
例2：试分析下列系统的可控性。
①u b b x x
+=212100λλ
， ②u b b x x ??+???
=2101λλ 解：① []??
==222
111
λλb b b b
Ab b
M ()2121121221λλλλ-=-=b b b b b b M
所以，当0,021≠≠b b ，且21λλ≠时，0≠M ,系统可控。
②[]??
-==λλ22211
b b b b b
Ab b
M 2
2
222121b b b b b b M -=--=λλ 所以当02≠b 时系统可控，否则不可控。
在单输⼊系统中，根据A 和b 还可以从输⼊和状态⽮量间的传递函数阵确定系统能控性的充分必要条件
对于系统bu Ax x+= ，如果输⼊u(t)对状态x(t)的传递函数（阵）()()b A sI s W ux 1
--=没有零极点对消，那么系统是能控的；否则，被消的
极点就是不能控的模式，系统不能控的。
例：已知 u x x +-=115.15.210 ，分析其能控性。 解：u(t)对X(t)的传递函数为：()()()()()()
-=?-++=+--=-==--11111115.25.2115.15.211
1
s s s s s s b A sI s U s X s W ux
因为()s W ux 发⽣零极点对消，所以是不能控的。
实际上，[]??
==1111Ab b
M 因为 0=M ，所以系统是不能控的。
2． 多输⼊系统
对于多输⼊n 阶连续定常系统Bu Ax x
+= 其中A —n ×n 阶阵，B —n ×r 阶阵，U —r 维输⼊。 系统能控的充要条件为能控判别阵
[
]
B A AB B
M n 1-=
的秩等于n ，即()n M rank = (证明略)
例：试分析下列系统的能控性。+????
=??????????21321321100001301010121u
u x x x x x x
解：[]
==10431100000004211012B A AB B
M
()n M rank <=2, 系统是不能控的。4-3 线性连续定常系统的能观性
4-3-1能观性定义 系统⽅程为：
=+=Cx
y Bu Ax x
能观性表⽰的是输出y(t)反映状态⽮量x(t)的能⼒。 若对任意给定的输⼊u(t)，总能在有限的时间段[t 0,t f ]内，根据系统观测y(t)，能唯⼀地确定时刻t 0的每⼀状态x(t 0)，那么称系统在t 0 时刻是状态可观测的。若系统在的每⼀状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称是能观的。4-3-2线性定常系统能观性的判别 1．转换成约旦标准型的判别⽅法
==Cx y Ax x
()00x t x =
（1）A 为对⾓线矩阵
=Λ=n A λλλ
00
00
2
1 n
m mn m m n n c c c c c c c c c C ??
= 2
1222
2111211
===n n n x x x x x x λλλ
222111 ()()()
=????020102121n t t t
n x e x e x e t x t x t x n λλλ
()()()()()()??
=???????
=??020102
