第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第四章 线性控制系统的能控性和能观性
在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。4-1 线性连续定常系统的能控性
定义 对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x
+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []
f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别
4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输⼊系统 具有约旦标准型系统
bu x x
+Λ=
=Λn λλλλ
0000000
00
0000321
n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x
+=
=++n m m J λλλλλλ
0000000000000
001000
00000121
1
11
4.4 时变系统的能控性和能观性
一、能控性判据
1、有关线性系统能控性的几点说明
1）允许控制u(t)，其元在时间[t0,tf]上绝对平方可积。
2）能控状态和控制作用的关系式
d)(u)(B),t(d)(u)(B),t()t,t(X0d)(u)(B),t(X)t,t()t(Xf0f0f0tt0ttf0f10ttf00ffΦΦΦΦΦ
)8.3.4(d)(u)(B),t(Xf0tt00Φ
3）非奇异变换不改变系统的能控性
设系统在变换前是能控的，它必满足（4.3.8）
即 d)(u)(B),t(Xf0tt00Φ
若取变换矩阵P，对X进行线性变换
XPX
则有 BPBAPPA11
即 BPBPAPA1
将上述关系式代入（4.3.8）式，有 d)(u)(B),t(Xd)(u)(BP),t(PXd)(u)(BP),t(XPf0f0f0tt00tt010tt00
上式表明非奇异变换不改变系统的能控性
4）如果0X是能控状态，则0X也是能控状态，是任意非零实数。
5）如果01X和02X是能控状态，则0201XX也是能控状态。
6）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间，此子空间称为系统的能控子空间，记为cX。
例：u11xx1001xx2121
解：系统的能控状态为21xx的状态，为两维状态空间中的一条450斜线。
2、线性连续时变系统的能控性判据
1）【定理】时变系统的状态方程为
)t(U)t(B)t(X)t(A)t(X
系统在[t0,tf]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵
4.4 时变系统的能控性和能观性
一、能控性判据
1、有关线性系统能控性的几点说明
1）允许控制u(t)，其元在时间[t0,tf]上绝对平方可积。
2）能控状态和控制作用的关系式
d)(u)(B),t(d)(u)(B),t()t,t(X0d)(u)(B),t(X)t,t()t(Xf0f0f0tt0ttf0f10ttf00ffΦΦΦΦΦ
)8.3.4(d)(u)(B),t(Xf0tt00Φ
3）非奇异变换不改变系统的能控性
设系统在变换前是能控的，它必满足（4.3.8）
即 d)(u)(B),t(Xf0tt00Φ
若取变换矩阵P，对X进行线性变换
XPX
则有 BPBAPPA11
即 BPBPAPA1
将上述关系式代入（4.3.8）式，有 d)(u)(B),t(Xd)(u)(BP),t(PXd)(u)(BP),t(XPf0f0f0tt00tt010tt00
上式表明非奇异变换不改变系统的能控性
4）如果0X是能控状态，则0X也是能控状态，是任意非零实数。
5）如果01X和02X是能控状态，则0201XX也是能控状态。
6）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间，此子空间称为系统的能控子空间，记为cX。
例：u11xx1001xx2121
解：系统的能控状态为21xx的状态，为两维状态空间中的一条450斜线。
2、线性连续时变系统的能控性判据
1）【定理】时变系统的状态方程为
)t(U)t(B)t(X)t(A)t(X
系统在[t0,tf]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵 f0tt0TT0f0cdt)t,t()t(B)t(B)t,t()t,t(W 为非奇异。
用约当规范形判别线性系统的能控性
赛耀樟
控制科学与工程学院 检测技术与自动化装置 2009010189
摘要：
60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。
一 能控性约当规范形判据内容
线性定常系统的能控性约当规范形判据
线性定常系统状态方程
（1）当矩阵A的特征值两两互质时
.,,,,)3(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为pnnnBApuntxxBuAxxxiiiiiiiipiiiiilpnlnnllnBBBBJJJJBBBBJJJAuBAnABuBˆˆˆˆˆˆˆˆˆ:ˆˆˆˆ3,),(,),(),()2(.,2121,21,2121221121其中导出的约当规范形由时且重重重的特征值为当矩阵不包含元素全为零的行中xxxx
二 能控性约当规范形判据推导
为使推证过程中的符号不致过于复杂，不失普遍性，不妨取为
..,,2,1ˆˆˆ),,2,1(ˆ,)(ˆˆˆˆ11212121,证略均为行线性无关对阵的最后一行所组成的矩由而liribbbkBrrrrikbbbBJiririiikiiiiikikprikiiirriiikikik
其中
ran
