新教材人教A版高中数学必修一 二次函数与一元二次方程、不等式二(含解析)

第1页，共16页 2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（二）

【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）

一．单选题

1. 不等式𝑥2𝑥+1<0的解集为 ( )

A. {𝑥|−1<𝑥<0或𝑥>0} B. {𝑥|𝑥<−1或0<𝑥<1}

C. {𝑥|−1<𝑥<0} D. {𝑥|𝑥<−1}

2. 设集合𝑆={𝑥|(𝑥−2)(𝑥−3)≥0}，𝑇={𝑥|𝑥>0}，则𝑆∩𝑇= ( )

A. {𝑥|2≤𝑥≤3} B. {𝑥|𝑥≤2或𝑥≥3}

C. {𝑥|𝑥≥3} D. {𝑥|0<𝑥≤2或𝑥≥3}

3. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )

A. 每个95元 B. 每个100元 C. 每个105元 D. 每个110元

4. 设𝑥∈R，则“|𝑥−2|<1”是“𝑥2+𝑥−2>0”的 ( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )

A. 165 𝑐𝑚

B. 175 𝑐𝑚

C. 185 𝑐𝑚

D. 190 𝑐𝑚

6. 若不等式2𝑥2+𝑚𝑥+𝑛>0的解集是{𝑥|𝑥>3或𝑥<−2}，则m，n的值分别是( )

A. 2，12 B. 2，−2 C. 2，−12 D. −2，−12

7. 对于任意实数x，不等式(𝑎−2)𝑥2−2(𝑎−2)𝑥−4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )

A. 𝑎<2 B. 𝑎≤2 C. −2<𝑎<2 D. −2<𝑎≤2

8. 不等式𝑥−2𝑥+1≤0的解集是( ) 第2页，共16页 A. {𝑥|𝑥<−1或−1<𝑥≤2} B. {𝑥|−1≤𝑥≤2}

C. {𝑥|𝑥<−1或𝑥≥2} D. {𝑥|−1<𝑥≤2}

9. 若𝑎>0，𝑏>0，则不等式−𝑏<1𝑥<𝑎的解集为( )

A. {𝑥|𝑥<−1𝑏，或𝑥>1𝑎} B. {𝑥|−1𝑎<𝑥<1𝑏}

C. {𝑥|𝑥<−1𝑎，或𝑥>1𝑏} D. {𝑥|−1𝑏<𝑥<0，或0<𝑥<1𝑎}

10. 关于x的不等式−𝑥2+|𝑥|+2<0的解集是( )

A. {𝑥|−2<𝑥<2} B. {𝑥|𝑥<−2，或𝑥>2}

C. {𝑥|−1<𝑥<1} D. {𝑥|𝑥<−1，或𝑥>1}

二．多选题

11. (多选题)下列不等式中有解的是( )

A. 𝑥2+3𝑥+3<0 B. 𝑥2+6𝑥+9≤0

C. −𝑥2−2𝑥−1>0 D. 𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎2−1≥0

12. 已知关于x的不等式𝑎≤34𝑥2−3𝑥+4≤𝑏，下列结论正确的是( )

A. 当𝑎<𝑏<1时，不等式𝑎≤34𝑥2−3𝑥+4≤𝑏的解集为⌀

B. 当𝑎=1，𝑏=4时，不等式𝑎≤34𝑥2−3𝑥+4≤𝑏的解集为{𝑥|0≤𝑥≤4}

C. 当𝑎=2时，不等式𝑎≤34𝑥2−3𝑥+4≤𝑏的解集可以为{𝑥|𝑐≤𝑥≤𝑑}的形式

D. 不等式𝑎≤34𝑥2−3𝑥+4≤𝑏的解集恰好为{𝑥|𝑎≤𝑥≤𝑏}，那么𝑏=43

三．填空题

13. 设a，𝑏>0，𝑎+𝑏=5，则√𝑎+1+√𝑏+3的最大值为 ．

14. 已知函数𝑦=𝑥2+𝑚𝑥−1，若对于任意𝑥∈{𝑥|𝑚≤𝑥≤𝑚+1}，都有𝑦<0成立，则实数m的取值范围是______．

15. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

16. 若集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥2−𝑎𝑥+1<0}=⌀，则实数a的值的集合为________．

17. 若关于x的不等式𝑎𝑥−𝑏>0的解集为(1,+∞)，则关于x的不等式(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥−2)>0的解集为________．

18. 设集合𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥+3≤0}，𝐵={𝑥|𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎<0}，若𝐵⊆𝐴，则实数a的取值范围是________． 第3页，共16页 19. 不等式2𝑥(𝑥+2)<3(𝑥+2)的解集是 ．

20. 不等式𝑎𝑥𝑥−1<1的解集为{𝑥|𝑥<1或𝑥>2}，则𝑎= ．

四．解答题

21. 解下列不等式．

(1)2𝑥−5𝑥+4<0．

(2)𝑥+12𝑥−3≤1．

22. 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满。该农家院欲提高档次，并提高租金。经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间。每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？

23. 解关于x的不等式：𝑥2−(𝑎+1𝑎)𝑥+1<0(𝑎≠0)．

第4页，共16页

24. 已知关于x的不等式𝑎𝑥2−(2𝑎2+1)𝑥+2𝑎<0；𝑎∈𝑅

(1)若𝑎=−1，求不等式的解集．

(2)若关于x的不等式解集为{𝑥|𝑥>1𝑎或𝑥<2𝑎}，求a的取值范围．

第5页，共16页 答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查不等式的求解，属基础题．

依题意，原不等式等价于𝑥+1<0，求解即可．

【解答】

解：因为𝑥2≥0，所以𝑥2𝑥+1<0等价于𝑥+1<0，即𝑥<−1，

所以不等式𝑥2𝑥+1<0的解集为{𝑥|𝑥<−1}，

故选D．

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．

求出S中不等式的解集，确定出S，找出S与T的交集即可．

【解答】

解：由S中不等式解得：𝑥≤2或𝑥≥3，即𝑆={𝑥|𝑥≤2或𝑥≥3}，

∵𝑇={𝑥|𝑥>0}，

∴𝑆∩𝑇={𝑥|𝑥≥3或0<𝑥≤2}，

故选D．

3.【答案】A

【解析】 第6页，共16页 【分析】

本题考查函数模型的构建，考查求二次函数的最值，解题的关键是读懂题意，列出函数解析式，属中档题．

假设售价在90元的基础上涨x元，从而得到销售量，进而可以构建函数关系式，利用二次函数求最值的方法求出函数的最值．

【解答】

解：设售价在90元的基础上涨x元，

因为这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，所以若涨x元，则销售量减少20x，

按90元一个能全部售出，则按90+𝑥元售出时，能售出400−20𝑥个，每个的利润是90+𝑥−80=10+𝑥元

设总利润为y元，则𝑦=(10+𝑥)(400−20𝑥)=−20𝑥2+200𝑥+4000，对称轴为𝑥=5

所以𝑥=5时，y有最大值，售价则为95元

所以售价定为每个95元时，利润最大．

故选A．

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．

先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可．

【解答】

解： |𝑥−2|<1⇔1<𝑥<3，𝑥2+𝑥−2>0⇔𝑥<−2或𝑥>1，

所以“|𝑥−2|<1”是“𝑥2+𝑥−2>0”的充分而不必要条件．

故选A．

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．

【解答】

解：头顶至脖子下端的长度为26cm， 第7页，共16页 说明头顶到咽喉的长度小于26cm，

由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12≈0.618，

可得咽喉至肚脐的长度小于260.618≈42𝑐𝑚，

由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12，

可得肚脐至足底的长度小于42+260.618=110，

即有该人的身高小于110+42+26=178𝑐𝑚，

又肚脐至足底的长度大于105cm，

可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65𝑐𝑚，

即该人的身高大于65+105=170𝑐𝑚，

故选B．

6.【答案】D

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式与相应函数和方程的关系的相关知识，试题难度较易

【解答】

解：由题意知−2，3是方程2𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0的两个根，

所以−2+3=−𝑚2，−2×3=𝑛2，

∴𝑚=−2，𝑛=−12．

7.【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了不等式的恒成立问题的相关知识，试题难度较易

【解答】

解：当𝑎−2≠0时，{𝑎−2<0,4(𝑎−2)2−4(𝑎−2)⋅(−4)<0