勾股定理经典题型（后附答案）
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勾股定理经典题型（后附答案）
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勾股定理经典题型(后附答案)
⼀、经典例题精讲
题型⼀：直接考查勾股定理
例１.在ABC ?中，90C ∠=?．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度
例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？
例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.
题型三：勾股定理和逆定理并⽤——
例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41
=
那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？
题型四：利⽤勾股定理求线段长度——
例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——
例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？
例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要
移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？
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题型六：旋转问题：
例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.
变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究22
2
BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题
例题8 如图，矩形纸⽚ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上⼀点，将矩形纸⽚沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.
题型⼋：关于勾股定理在实际中的应⽤：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A
处有⼀所中学，AP=160
⽶，点A 到公路MN 的距离为80⽶，假 使拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否会受到影响，
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请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千⽶/⼩时，那么学校受到影响的时间为多少？
题型九：关于最短性问题
例题10 如右图1－19，壁虎在⼀座底⾯半径为2⽶，⾼为4⽶的油罐的下底边沿A 处，它发现在⾃⼰的正上⽅油罐 上边缘的B处有⼀只害⾍，便决定捕捉这只害⾍，为了不引起害⾍的注意，它故意不⾛直线，⽽是绕着油罐，沿⼀ 条螺旋路线，从背后对害⾍进⾏突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了⼀顿美餐．请问壁虎⾄少要爬⾏多少 路程才能捕到害⾍?（π取3.14，结果保留1位⼩数，可以⽤计算器计算）变式：如图为⼀棱长为3cm 的正⽅体，把 所有⾯都分为9个⼩正⽅形，其边长都是1cm ，假设⼀只蚂蚁每秒爬⾏2cm ，则它从下地⾯A 点沿表⾯爬⾏⾄右侧⾯ 的B 点，最少要花⼏秒钟？
三、课后训练： ⼀、填空题1．如图(1)，在⾼2⽶，坡⾓为30°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长⾄少需________⽶． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底⾯半径为2.5㎝，⾼为12㎝，吸管放进杯⾥，杯⼝外⾯⾄少要露出 4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
图(1) 图（2）3．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条⾓平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、 E、F 分别是垂⾜，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm4．在⼀棵树的10⽶⾼处有两只猴⼦，⼀只猴⼦爬下树⾛到离树20⽶处的池塘的A 处。另⼀只爬到树顶D 后直接 跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴⼦所经过的距离相等，则这棵树⾼______⽶。5. 如图是⼀个三级台阶，它的每⼀级的长宽和⾼分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有 ⼀只蚂蚁，想到B 点去吃可⼝的⾷物，则蚂蚁沿着台阶⾯爬到B 点最短路程是__________.C O A B
D
E
F 第3题图 20
3
2
A B
D
B
C A 第4题图
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⼆、选择题1．已知⼀个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平⽅是（ ）
A 、25
B 、14
C 、7D 、7或25
2．Rt △⼀直⾓边的长为11，另两边为⾃然数，则Rt △的周长为（ ）
A 、121
B 、120
C 、132
D 、不能确定
3．如果Rt △两直⾓边的⽐为5∶12，则斜边上的⾼与斜边的⽐为（ ）
A 、60∶13
B 、5∶12
C 、12∶13
D 、60∶169
4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的⾯积是（ ）
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm
2
5．等腰三⾓形底边上的⾼为8，周长为32，则三⾓形的⾯积为（ ）
A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
6．某市在旧城改造中，计划在市内⼀块如图所⽰的三⾓形空地上种植草⽪以美化环境，已知这种草⽪每平⽅⽶售价
a 元，则购买这种草⽪⾄少需要（ ） A 、450a 元
B 、225a 元
C 、150a 元
D 、300a 元
7．已知，如图长⽅形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长⽅形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的⾯积为（A 、6cm 2
B 、8cm 2
C 、10cm 2
D 、12cm
2
8．在△ABC 中，AB =15，AC =13，⾼AD =12，则△ABC 的周长为（ ）
A ．42B ．32
C ．42或32
D ．37或33
9. 如图，正⽅形⽹格中的△ABC ，若⼩⽅格边长为1，则△ABC 是 （ ）
A.直⾓三⾓形
B.锐⾓三⾓形
C.钝⾓三⾓形
D.以上答案都不对
150°
20m
30m
第6题图A
B
E
F
D
C
第7题图A
B
C
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