一元二次方程知识点+专题复习

1 一元二次方程专题复习

考点一：一元二次方程定义与解法

1.定义：只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是02cbxax )0(a。

2.常用解法

（1）直接开平方法：如果2x＝a(a≥0)，则x＝±a，即方程的解为1x＝a，2x＝－a.

（2）公式法:如果02cbxax )040(2acba，，得aacbbx2421，aacbbx2422。

（3）配方法

例：用配方法解24610xx

第一步，将二次项系数化为1：231024xx，（两边同除以4）

第二步，移项： 23124xx

第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444xx

第四步，完全平方：235()416x

第五步，直接开平方：3544x，即:15344x,25344x

（4）因式分解法：若))(2nmxfexcbxax（，则02cbxax的解为efx1，mnx-2。

方法总结：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开方法；若能分解因式就用因式分解法；当以上两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。

➢ 【课前热身】

2 1. 当a____________时，方程2310axx是一元二次方程.

2. 已知1x是方程220xax的一个根，则方程的另一根为__________.

3.一元二次方程(1)xxx的解是_____________.

4. 若关于x的一元二次方程20(0)axbxca，且0abc，则方程必有一根为____________.

5. 用配方法解方程2420xx,则下列配方正确的是( )

A.2(2)2x B.2(2)2x C.2(2)2x D.2(2)6x

➢ 【典型例题解析】

1、关于x的一元二次方程2(1)(2)26axaxxx中，求a的取值范围.

2、已知：关于x的方程226350xxmm的一个根是1，求方程的另一个根及m的值。

3、用配方法解方程:2210xx

【考点训练】

1、关于x的一元二次方程22(1)10axxa的一个根是0，则a的值为（ ）A. 1 B.1 C.1或1 D.12

2、解方程23(121)4(121)xx的最适当的方法（ ）

A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法

3 3、若0abc，则一元二次方程20axbxc有一根是（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

4、当k__________时，22(9)(5)30kxkx不是关于x的一元二次方程.

5、已知方程23214xx，则代数式21283xx_____________.

考点二：一元二次方程的判别式

关于x的一元二次方程02cbxax(a≠0)的根的判别式为acb42，有：

1．acb42＞0⇔一元二次方程02cbxax)0(a有两个不相等的实数根，即aacbbx2421，aacbbx2422。

2．acb42＝0⇔一元二次方程02cbxax(a≠0)有两个相等的实数根，abxx221

3．acb42＜0⇔一元二次方程02cbxax(a≠0)没有实数根。

方法总结：针对这个考点，要求能根据一元二次方程20(0)axbxca根的判别式确定方程有无实根的情况。当然一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．

➢ 【课前热身】

1.若关于x的一元二次方程2210xx有实数根，则m的取值范围是( )

A.1m B. 1m且0m C.m≤1 D. m≤1且0m

2. 一元二次方程2210xx的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

3.已知关于x的一元二次方程2410xxm.请你为m选取一个合适的整数，当m____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；

4.若关于x的方程227(21)04xkxk有两个相等的实数根，求k的取值范围。

➢ 【典型考题】

4 1.已知关于x的方程2(2)2(1)10mxmxm，当m为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

2. 已知,,abc是三角形的三条边，求证：关于x的方程222222()0bxbcaxc没有实数根.

【课时训练】

1、一元二次方程的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根

2、已知关于x的一元二次方程22xmx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）

A.1m B. 2m C. m≥0 D.0m

3、一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________.

4、求证：关于x的方程2(21)10xkxk有两个不相等的实数根。

5 考点三：韦达定理

韦达定理:如一元二次方程20(0)axbxca的两根为12,xx，则12bxxa，12cxxa

适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:(12,xx是方程两根)；

（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt的两直角边求斜边等情况.

注意：（1）222121212()2xxxxxx

（2）22121212()()4xxxxxx； 2121212()4xxxxxx

（3）①方程有两正根，则1212000xxxx；

②方程有两负根，则1212000xxxx ；

③方程有一正一负两根，则1200xx；

④方程一根大于1，另一根小于1，则120(1)(1)0xx

（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,xx为根的一元二次方程为21212()0xxxxxx;求字母系数的值时，需使二次项系数0a，同时满足≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12xx，•两根之积12xx的代数式的形式，整体代入。

6 ➢ 【课前热身】

1、（1）若21,xx是方程0322xx的两根，则21xx

（2）若关于x的方程032axx有一个根为-1，则另一个根为___________.

2、（1）设21,xx施方程042mxx的两个根，且12121xxxx，则21xx______，m=__________.

（2）、21,xx是方程04722xx的两个，则21xx__________，21xx__________________.

➢ 【典型例题解析】

1、（1）若关于x的方程052mxx有一个根为1，则该方程的另一个根为___________。

（2）21,xx是一元二次方程0532xx的两个根，则221221xxxx的值是___________.

2、已知21,xx是方程0220172xx的两个实数根，则21212018xxx_________.

3、（1）已知方程04322cbxx的两个根为4和9，则b=________,c=____________.

（2）设21,xx是一元二次方程0322xx的两根，求2221xx的值。

（3）已知方程012pxx的两根为21,xx，其中321x，求2112xxxx的值。

（4）、（1）若关于x的一元二次方程02nmxx的两个实数根分别为2和-4，则m+n的值是（ ）

A.-10 B.10 C.-6 D.-1

（5）若α，β是方程0222xx的两个实数根，则22的值为（ ）

A.10 B.9 C.8 D.7

7 第一讲 一元二次方程作业

一、填空题

1、关于x的方程2(3)320mxx是一元二次方程，则m的取值范

围是 ____

.

2、若(0)bb是关于x的方程220xcxb的根，则2bc的值为 ____ .

3、方程2310xx的根的情况是____________________.

4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.

5、在实数范围内定义一种运算“”，其规则为)(baaba,根据这个规则，方程(2)50x的解为_________________.

6、如果关于x的一元二次方程2210kxx有两个实数根，则k的取值范围是_____________。

7、设12,xx是一元二次方程20axbxc的两个根，则代数式3322121212()()()0axxbxxcxx的值为___________.

8、a是整数，已知关于x的一元二次方程01)12(2axaax只有整数根，则a=__________.

二、选择题

1、关于x的方程220xkxk的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定

2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A、 B、 C、 D、

3、若关于x的一元二次方程22(4)60xkxx没有实数根，那么k的最小整数值是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.