故障树分析法基础

使用故障树分析方法来识别和解决质量问题1. 引言随着科技的发展和社会的进步，质量成为了各个行业中至关重要的一个因素。

无论是生产制造业、服务业还是软件开发，都面临着各种质量问题。

这些问题不仅会导致客户投诉与退货，还可能影响企业的声誉和市场地位。

因此，如何及时识别和解决质量问题成为了企业迫切需要面对的挑战。

在质量问题的解决中，故障树分析是一种常用的方法，它可以帮助工程师们全面分析问题产生的原因，快速找出根本原因，并采取相应措施进行解决。

本文将介绍故障树分析方法的基本原理及其在质量问题解决中的应用。

2. 故障树分析的基本原理故障树分析（Fault Tree Analysis，简称FTA）是一种通过逻辑运算分析系统故障的方法。

在故障树中，属于基本事件（basic event）的是直接导致故障发生的最小事件，而顶事件（top event）则是要分析的故障现象。

通过逻辑门（与门、或门和非门）的组合，将基本事件与顶事件联系起来，形成一个层次结构的故障树。

从而，通过逻辑运算的方式确定导致故障的所有可能性，找出可能的根本原因。

故障树分析的基本步骤如下：1.确定顶事件：明确要分析的故障现象，例如产品质量问题中的不良品率超标。

2.列举基本事件：找出所有可能导致顶事件发生的基本事件，例如机器故障、人为操作失误等。

3.确定故障树的结构：通过逻辑运算的方式将基本事件与顶事件联系起来，形成故障树的层次结构。

4.分析逻辑关系：对故障树进行逻辑运算，确定导致顶事件的可能路径，以及各个事件之间的关系。

5.评估风险：根据故障树的分析结果，评估每个路径的可能性和影响程度，以确定解决问题的优先级。

6.提出解决方案：根据风险评估的结果，采取相应的措施来解决质量问题。

3. 故障树分析在质量问题解决中的应用故障树分析方法在质量问题解决中具有广泛的应用，可以帮助工程师们更加全面地理解问题产生的原因，并采取相应的解决措施。

下面将以某制造企业的质量问题为例，介绍故障树分析在问题解决中的应用。

什么是故障树分析法故障树分析(FTA)技术是美国贝尔电报公司的电话实验室于1962年开发的，它采用逻辑的方法，形象地进行危险的分析工作，特点是直观、明了，思路清晰，逻辑性强，可以做定性分析，也可以做定量分析。

体现了以系统工程方法研究安全问题的系统性、准确性和预测性，它是安全系统工程的主要分析方法之一。

一般来讲，安全系统工程的发展也是以故障树分析为主要标志的。

1974年美国原子能委员会发表了关于核电站危险性评价报告，即“拉姆森报告”，大量、有效地应用了FTA，从而迅速推动了它的发展。

什么是故障树图(FTD)故障树图 ( 或者负分析树)是一种逻辑因果关系图，它根据元部件状态(基本事件)来显示系统的状态(顶事件)。

就像可靠性框图(RBDs)，故障树图也是一种图形化设计方法，并且作为可靠性框图的一种可替代的方法。

一个故障树图是从上到下逐级建树并且根据事件而联系，它用图形化"模型"路径的方法，使一个系统能导致一个可预知的，不可预知的故障事件（失效），路径的交叉处的事件和状态，用标准的逻辑符号(与，或等等)表示。

在故障树图中最基础的构造单元为门和事件，这些事件与在可靠性框图中有相同的意义并且门是条件。

故障树和可靠性框图(RBD)FTD和RBD最基本的区别在于RBD工作在"成功的空间"，从而系统看上去是成功的集合，然而，故障树图工作在"故障空间"并且系统看起来是故障的集合。

传统上，故障树已经习惯使用固定概率(也就是，组成树的每一个事件都有一个发生的固定概率)然而可靠性框图对于成功(可靠度公式)来说可以包括以时间而变化的分布，并且其他特点。

故障树分析中常用符号故障树分析中常用符号见下表:故障树分析法的数学基础1.数学基础(1)基本概念集:从最普遍的意义上说，集就是具有某种共同可识别特点的项(事件)的集合。

这些共同特点使之能够区别于他类事物。

并集:把集合A的元素和集合B的元素合并在一起，这些元素的全体构成的集合叫做A与B的并集，记为A∪B或A+B。

故障树分析法故障树分析法是一种常用的系统分析工具，用于分析和解决系统故障问题。

它是基于树状结构的逻辑推理方法，通过将系统故障现象从根本原因向下逐步细分，最终找出故障产生的根源，从而提供有效的解决方案。

故障树分析法由冯·邓明、吕培堂等人提出，旨在解决复杂的系统故障问题。

它借鉴了概率论、逻辑学和数学统计学等学科的理论和方法，通过建立故障树模型，分析系统故障的发生概率和故障根本原因，以便进行故障预防和改进工作。

故障树分析法的基本思想是通过对系统故障事件的分析，找出导致故障的基本事件和事件之间的逻辑关系，进而构建起一个全面而准确的故障树模型。

在故障树中，根事件表示系统的故障事件，中间事件表示造成故障事件的基本事件，而最底层的事件则是导致基本事件发生的可能性事件。

在进行故障树分析时，首先需要明确系统故障的范围和目标，然后收集相关的故障数据和现象，建立故障树模型，并进行逻辑推导和计算分析。

通过对故障树模型的分析，可以找出导致故障的主要因素和关键环节，进而制定相应的故障排除和改进措施，以提高系统的稳定性和可靠性。

在实际应用中，故障树分析法通常与其他分析方法相结合，如故障模式和影响分析法、追溯分析法等。

通过多种方法的综合应用，可以更全面地了解系统故障的性质和根本原因，并提出科学合理的解决方案。

总之，故障树分析法是一种有效的系统分析工具，可以帮助我们找出故障的根源并提供解决方案。

在实际应用中，我们需要熟练掌握故障树分析的基本原理和方法，结合实际情况进行具体分析。

通过不断改进和完善故障树模型，提高系统的可靠性和稳定性，从而确保系统正常运行。

故障树分析法作为一种重要的系统工具，将在各行各业发挥重要作用。

故障树分析法（FTA）故障树分析法(Fault Tree Analysis，简称FTA)，就是在系统（过程）设计过程中，通过对可能造成系统故障的各种因素(包括硬件、软件、环境、人为因素等)进行分析，画出逻辑框图(即故障树)，从而确定系统故障原因的各种可能组合及其发生概率，以计算系统故障概率，采取相应的纠正措施，提高系统可靠性的一种设计分析方法。

故障树分析主要应用于1.搞清楚初期事件到事故的过程，系统地图示出种种故障与系统成功、失败的关系。

2.提供定义故障树顶未卜事件的手段。

3.可用于事故（设备维修）分析。

故障树分析的基本程序1.熟悉系统：要详细了解系统状态及各种参数，绘出工艺流程图或布置图。

2.调查事故：收集事故案例，进行事故统计，设想给定系统可能发生的事故。

3.确定顶上事件：要分析的对象即为顶上事件。

对所调查的事故进行全面分析，从中找出后果严重且较易发生的事故作为顶上事件。

4.确定目标值：根据经验教训和事故案例，经统计分析后，求解事故发生的概率(频率)，以此作为要控制的事故目标值。

5.调查原因事件：调查与事故有关的所有原因事件和各种因素。

6.画出故障树：从顶上事件起，逐级找出直接原因的事件，直至所要分析的深度，按其逻辑关系，画出故障树。

7.分析：按故障树结构进行简化，确定各基本事件的结构重要度。

8.事故发生概率：确定所有事故发生概率，标在故障树上，并进而求出顶上事件(事故)的发生概率。

9.比较：比较分可维修系统和不可维修系统进行讨论，前者要进行对比，后者求出顶上事件发生概率即可。

10.分析：原则上是上述10个步骤，在分析时可视具体问题灵活掌握，如果故障树规模很大，可借助计算机进行。

目前我国故障树分析一般都考虑到第7步进行定性分析为止，也能取得较好效果附：故障树分析程序（国家标准）GB7829—87国家标准局1987—06—03批准 1988—01—01实施1 总则1．1 目的故障树分析是系统可靠性和安全性分析的工具之一。

故障分析方法故障分析是指通过对设备、系统或产品出现的故障进行分析，找出故障的原因和解决方法的过程。

在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种各样的故障，比如电脑系统崩溃、机械设备损坏、产品质量问题等等。

因此，掌握一定的故障分析方法对于我们解决问题至关重要。

下面将介绍几种常用的故障分析方法。

首先，我们可以采用故障树分析法。

故障树分析法是一种以事件树和逻辑树为基础的故障分析方法，它通过对系统故障的逻辑关系进行分析，找出导致系统故障的基本事件和组合事件，从而找到故障的根本原因。

在进行故障树分析时，我们需要收集大量的故障数据和系统结构信息，构建系统的逻辑模型，然后逐步分解故障事件，最终找出导致系统故障的最基本事件。

通过故障树分析法，我们可以清晰地了解系统故障的发生机理，有针对性地进行故障排除和改进。

其次，故障模式与效应分析法也是一种常用的故障分析方法。

故障模式与效应分析法是一种通过分析系统的故障模式和故障效应，找出故障原因的方法。

在进行故障模式与效应分析时，我们需要收集系统的故障数据和性能参数，建立系统的故障模式与效应分析表，然后分析不同故障模式对系统性能的影响，找出导致系统故障的根本原因。

通过故障模式与效应分析法，我们可以全面地了解系统的故障特点和性能变化，有针对性地进行故障排除和改进。

最后，故障根本原因分析法也是一种常用的故障分析方法。

故障根本原因分析法是一种通过对系统故障的根本原因进行分析，找出故障解决方法的方法。

在进行故障根本原因分析时，我们需要收集系统的故障数据和操作记录，建立系统的故障根本原因分析表，然后分析不同故障原因对系统性能的影响，找出导致系统故障的最根本原因。

通过故障根本原因分析法，我们可以深入地了解系统故障的根本原因，有针对性地进行故障排除和改进。

综上所述，故障分析是解决问题的关键步骤，而选择合适的故障分析方法对于解决问题至关重要。

不同的故障分析方法有着各自的特点和适用范围，我们需要根据具体情况选择合适的方法进行分析，从而找出故障的原因和解决方法。

故障树分析⽅法（FTA）⼀、故障树分析法概述故障树分析法（Fault Tree Analysis）是由美国贝尔电话研究所的沃森（Watson）和默恩斯（Mearns）与于1961年⾸次提出并应⽤于分析民兵式导弹发射控制系统的。

其后，波⾳公司的哈斯尔（Hasse）、舒劳德（Schroder）、杰克逊（Jackson）等⼈研制出故障树分析法计算程序，标志着故障树分析法进⼊了以波⾳公司为中⼼的宇航领域。

1974年，美国原⼦能委员会发表了以⿇省理⼯学院（MIT）拉斯穆森（Rasmussen）为⾸的安全组所写的“商⽤轻⽔反堆核电站事故危险性评价”的报告，该报告采⽤了美国国家航空和管理部于60年代发展起来的事件树（ET：Event Tree）和故障树分析⽅法。

这⼀报告的发表引起了各⽅⾯的很⼤反响，并推动了故障树分析法从宇航、化⼯和机械等⼯业领域。

所谓故障树分析，就是⾸先选定某⼀影响最⼤的系统故障作为顶事件，然后将造成系统故障的原因逐级分解为中间事件，直⾄把不能或不需要分解的基本事件作为底事件为⽌，这样就得到了⼀张树状逻辑图，称为故障树。

如图1-1所⽰就是⼀简单的故障树。

这⼀简单故障树表明：作为顶事件的系统故障是由部件A的故障或部件B的故障引起的，⽽部件A的故障可能由元件1引起，也可能由元件2引起，部件B的故障则由元件3和元件4同时发⽣故障时引起，这样，就将引起系统故障的基本原因及影响途径表达得⼀清⼆楚。

更⼀般地说，故障树分析就是以故障树为基础，分析影响顶事件发⽣的底事件种类及其相对影响程度。

故障树分析包括以下⼏个主要步骤：建⽴故障树、故障树的定性分析和故障树的定量分析。

图1-1 简单的故障树⼆、故障树的建⽴故障树的建⽴有⼈⼯建树和计算机建树两类⽅法，它们的思路相同，都是⾸先确定顶事件，建⽴边界条件，通过逐级分解得到的原始故障树，然后将原始故障树进⾏简化，得到最终的故障树，供后续的分析计算⽤。

1、确定顶事件在故障诊断中，顶事件本⾝就是诊断对象的系统级（总体的）故障部件。

基于故障树的智能故障诊断方法．故障树理论基础故障树分析法(fault tree analysis, FTA)是分析系统可靠性和安全性的一种重 要方法，现己广泛应用于故障诊断。

基于故障的层次特性， 其故障成因和后果的 关系往往具有很多层次并形成一连串的因果链, 就构成故障树。

故障树(FT)模型是一个基于被诊断对象结构、功能特征的行为模 型,是一种定性的因果模型, 以系统最不希望事件为顶事件, 以可能导致顶事件 发生的其他事件为中间事件和底事件, 并用逻辑门表示事件之间联系的一种倒树状结构。

它反映了特征向量与故障向量 (故障原因 )之间的全部逻辑关系。

故障树法对故障源的搜寻直观简单,它是建立在正确故障树结构的基础上 的。

因此建造正确合理的故障树是诊断的核心与关键。

但在实际诊断中这一条件 并非都能得到满足,一旦故障树建立不全面或不正确, 则此诊断方法将失去作用。

二．基于故障树的故障诊断方法故障树分析法(Fault Tree Analysis , FTA)又叫因果树分析法.它是目前国际 上公认的一种简单、有效的可靠性分析和故障诊断方法, 是指导系统最优化设计、 薄弱环节分析和运行维修的有力工具。

故障树分析法首先要在一定环境与工作条件下, 找到一个系统最不希望发生 的事件,通常以人们所关心的影响人员、 装备使用安全和任务完成的系统故障为 分析目标,再按照系统的组成、结构及功能关系,由上而下,逐层分析导致该系 统故障发生的所有直接原因,并用一个逻辑门的形式将这些故障和相应的原因事 件连接起来, 建立分析系统的故障树模型, 从而, 形象地表达出系统各功能单元 故障和系统故障之间的内在逻辑因果关系。

这种方法既能分析硬件本身的故障影响,又能分析人为因素、 环境以及软件的影响． 不仅能对故障产生的原因进行定 性分析,找出导致系统故障的原因和原因组合, 确定最小割集和最小路集, 出系统的薄弱环节及所有可能失效模式, 还能进行相关评价指标的定量计算。

FTA的数学基础我们前文提到，故障树分析FTA可以用于系统设计、安全分析甚至是根本原因分析，既可以做定性分析又可以做定量分析，是全能型的分析技术。

故障树分析的基础工具是故障树图，从特定的故障事件开始，利用故障树考察可能引起该事件发生的各种原因事件及其相互关系。

故障树通过事件符号和逻辑门符号表达事件、原因及其相互关系，是一种利用布尔代数(又称布尔逻辑) 符号演绎地表示特定故障事件发生原因及其逻辑关系的逻辑树图。

为了进行故障树的定性分析和定量分析，需要建立故障树的数学模型，写出它的数学表达式。

布尔代数是故障树分析的数学基础。

布尔代数是集合论的一部分，是一种逻辑运算方法它特别适合于描述仅能取两种对立状态之一的事物。

故障树中的事件只能取故障发生或不发生两种状态之一，不存在任何中间状态，并且故障树的事件之间的关系是逻辑关系，所以可以用布尔代数来表现故障树。

集合的基本概念•集合：简称集，是现代数学中一个重要的基本概念。

集合是“确定的一堆东西”，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体；集合里的“东西”是构成集合的对象，这些对象则称为集合元素。

现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

从最普遍的意义上说，具体确定的可以区分的若干事务(事项、事件)的全体就是集合，其中的事务叫做元素。

通常用大写字母如A、B、S、T、...表示集合，而用小写字母如a、b、x、y、...表示集合的元素。

比如，鱼骨图中，六个主刺元素 {Man, Machine, Material, Method, Measurement, Enviroment} 构成原因Causes的集合，每个主刺下可以再分很多小刺形成子集。

o空集不包含任何元素，记为∅。

空集是特殊的集合。

o x是缺陷集合A的元素，则称x属于A，记作x∈A。

o y不是缺陷集合A的元素，则称y不属于A，记为y∉A。

o集合A中元素的个数为集合中的元数，记作|A|。

故障树分析法FTA分析故障树分析法（Fault Tree Analysis，FTA）是一种用于对系统或过程中故障发生的可能性进行评估的可靠性分析方法。

故障树通过按照逻辑关系构建树状结构来描述故障事件的发生过程，并通过计算故障树中的逻辑门实现对系统故障概率的定量分析。

故障树分析法已被广泛应用于航空航天、核能、电力、石油化工等高可靠性系统的设计和运行管理中。

故障树分析法的基本思想是将系统故障事件看作是一系列基本事件通过逻辑门连接形成的逻辑链条。

基本事件是指不能再进一步分析的故障原因，而逻辑门则用来描述故障事件之间的逻辑关系。

常用的逻辑门有与门、或门、优先与门和优先或门。

在进行故障树分析时，需要先确定要分析的故障事件，然后根据实际情况选择逻辑门和基本事件。

接下来，需要进行事件树的构建，即先确定最顶层的故障事件，然后逐步分析该事件的各个子事件，直至确定了所有的基本事件。

在故障树中，每个事件都有一个概率分配给它，表示事件发生的可能性。

这些概率可以通过历史数据、专家判断、实验数据等方式进行确定。

对于每个逻辑门，都有一个逻辑关系的运算符，用来计算树状结构上各个事件的概率。

计算方法根据逻辑门的不同而有所不同。

故障树分析法的优点是能够清晰地了解系统中故障发生的逻辑关系和可能性，并能帮助分析人员确定系统中的薄弱环节。

此外，它还能为系统的可靠性和安全性提供科学的依据。

然而，故障树分析法的缺点是分析过程相对繁琐，对专业知识和经验要求较高。

因此，在使用故障树分析法时要慎重选择分析对象，并进行充分的培训和准备。

总之，故障树分析法是一种有效的可靠性分析方法，可以帮助人们全面评估系统的可靠性和安全性。

它的应用范围广泛，但也存在一些局限性。

未来，随着技术的不断发展，故障树分析法将进一步完善和应用于各个领域的系统。

故障树分析故障树分析（FTA）1、故障树分析是以系统不希望发⽣的⼀个事件（顶事件）作为分析⽬标的。

2、步骤：⼀、找出顶事件发⽣的直接原因；⼆、再找出直接原因的直接原因，直到找到最基础的原因（低事件）为⽌；三、研究各种因素（低事件）对系统（顶事件）的逻辑关系；3、特点：⼀、故障树分析是⼀种⾃上⽽下的分析⽅法，能够具体到每⼀个基本故障模式；⼆、FTA同样也是⼀种定量分析⽅法，能够定量计算各个低事件对顶事件的影响程度；三、FTA使⽤了严格的数学公式，便于计算机编程实现。

4、适⽤对象：单调关联系统、⾮单调关联系统、多状态系统、多状态⾮单调关联系统5、故障树的建⽴：基本事件低事件未探明事件事件顶事件结果事件中间事件低事件：FTA中导致其他事件的原因事件基本事件：FTA中⽆需探明其发⽣原因的低事件未探明事件：FTA中暂时不能或不必探明其原因的低事件结果事件：FTA中有其他事件或者其他事件组合导致的事件顶事件：FTA所关⼼的结果事件中间事件：位于顶事件和低事件之间的事件事件之间的关系⽤或与⾮们来表⽰，层层递进最后得到顶事件与基本事件的关系。

6、建树的注意事项：⼀、正确选择顶事件（顶事件指最不希望发⽣的故障状态）⼆、准确写出故障事件⽅框中的说明三、正确划分每个事件⽅框中的故障类型四、严格准守循序渐进的准则五、严格禁⽌“门——门”短路六、建树⽅法指导⽅⾯应注意的问题7、实例：下图所⽰输电⽹络，有三个变电站，由A站向B、C两站供电，共有5条供电线路。

电⽹失效的判据是：① B、C任意⼀站没有输⼊；② B、C两站由单线供电得到故障树，如下图右所⽰：8、建树的⽬的：定量分析系统失效的状况，⽤故障树可以定量的计算出系统的失效概率。

9、故障树的数学描述：()X φ为故障树的结构函数，则：⼀、与门的结构函数为：121()n n n i X x x x xφ===∏K⼆、或门的函数结构为：121()1(1)nn ni X x x x x φ===--∏K 三、n 中取k 的函数结构（相当于可靠性框图中k/n 的表决系统）四、简单的与门、或门混合系统结构函数10、故障树与可靠性框图的等价关系'i x 表⽰第i 个部件正常，i x 表⽰第i 个部件故障；'T 表⽰系统正常，T 表⽰系统故障。

故障树分析法在船舶动力系统的应用故障树分析法是一种常用的安全分析方法，适用于不同领域的系统故障分析，尤其对于船舶动力系统的故障分析有着重要的应用价值。

本文将从故障树分析法的原理和步骤入手，探讨其在船舶动力系统中的应用方法以及作用。

一、故障树分析法的原理和步骤1. 故障树分析法的基本原理故障树分析法是一种用于分析复杂系统故障的方法，其基本原理是将系统的特定故障描述为能够导致故障发生的基本事件组合。

故障树分析法采用一种“自上而下”的方法，从目标事件（通常是系统故障）逆推，逐步识别出导致目标事件的基本事件，并且将它们组合成成本事件的树形结构。

故障树中每一个事件都被描述为一个门，与其他门连接，组合成为事件树。

故障树分析法主要由两个部分组成，即事件树和故障模式。

2. 故障树分析法的步骤故障树分析法的主要步骤包括：明确定义目标事件、建立事件树、分析结构与作用、分析概率与数据、计算事件发生概率、确立故障分析树。

(1) 定义目标事件系统的故障可能有不同的类型和级别，需要首先确定目标事件的定义，即要分析的故障范围和重要性等级。

例如，船舶动力系统中的目标事件可能是船舶的动力失效或动力降低等。

(2) 建立事件树在明确目标事件后，需要定义导致该事件的基本事件，并将其表示为一个树形结构，这个结构被称为故障树。

故障树包含许多事件，每个事件都有一个与之相关的逻辑条件，树的最顶部是目标事件。

(3) 分析结构与作用分析故障树的结构和作用是故障树分析方法的一项重要步骤。

在此步骤中，需要综合考虑故障树中的一系列事件，分析与非目标事件以及其他逻辑条件之间的关系，确定概率事件及导致目标事件的最佳途径。

同时，还应该产生每个节点的贡献到目标事件的概率。

(4) 分析概率与数据在进行故障树分析时，需要收集不同类型的数据并进行分析。

这些数据包括所有节点对目标事件的贡献、每个节点重要性的概率等等。

此外，通过各种手段修改输入数据的贡献和节点值也应该在该步骤中进行。

1.数学基础(1)基本概念集从最普遍的意义上说，集就是具有某种共同可识别特点的项(事件)的集合。

这些共同特点使之能够区别于他类事物。

并集把集合A的元素和集合B的元素合并在一起，这些元素的全体构成的集合叫做A与B的并集，记为A∪B或A+B。

若A与B有公共元素，则公共元素在并集中只出现一次。

例若A={a、b、c、d}；B={c、d、e、f}；A∪B={a、b、c、d、e、f}。

(2)交集两个集合A与B的交集是两个集合的公共元素所构成的集合，记为A∪B或A+B。

根据定义，交是可以交换的，即A∩B。

例若A={a、b、c、d}；B={c、d、e}；则A∩B={c、d}。

(3)补集在整个集合(Ω)中集合A的补集为一个不属于A集的所有元素的集。

补集又称余，记为A或A2.布尔代数规则布尔代数用于集的运算，与普通代数运算法则不同。

它可用于故障讨分析，布尔代数可以帮助我们将事件表达为另一些基本事件的组合。

将系统失效表达为基本元件失效的组合。

演算这些方程即可求出导致系统失效的元件失效组合(即最小割集)，进而根据元件失效概率，计算出系统失效的概率。

布尔代数规则如下(X、Y代表两个集合)：(1)交换律:X·Y=Y·XX+Y=Y+X(2)结合律(3)分配律:X·(Y·Z)：(X·Y)·Z,X+(Y+Z)=(X+Y)+Z,X·(Y+Z)：X-Y+X·Z,X+(Y·Z)=(X+Y)-(X+Z)(4)吸收律:X·(X+Y)：X,X+(X·Y)：X(5)互补律:X+X=Ω=1,X·X=φ(φ表示空集)(6)幂等律:X·X=X,X+X=X(7)狄·摩根定律:(x·Y)=X+Y,(X+Y)=X·Y(8)对合律:(X)=X(9)重叠律:X+XY=X+Y=Y+YX。