7.4二项分布与超几何分布- 人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

7.4.2超几何分布课程标准课标解读1．理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系；2．根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差；3．在实际问题中能用超几何概型解决实际问题.通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题.知识点1超几何分布1．定义：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝k n k M N MnNC C C --，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，即如果随机变量X 的分布列具有下表形式X01…mP00nM N MnNC CC--11nM N MnNC CC--…m n mM N MnNC CC--则称随机变量X服从超几何分布．2.均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN．3.对超几何分布的理解（1）在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.如果是有放回地抽取，就变成了n重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.（2）若随机变量X满足：试验是不放回地抽取n次；随机变量X表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.（3）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型.【即学即练1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．【解析】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．【即学即练2】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为1 7 .(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．【解析】(1)设甲班的学生人数为M ，则C 2MC 27＝M (M －1)42＝17，即M 2－M －6＝0，解得M ＝3或M ＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ服从超几何分布．∴P (ξ≥1)＝P (ξ＝1)＋p (ξ＝2)＝C 13C 14C 27＋C 23C 04C 27＝47＋17＝57.【即学即练3】有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是()A ．n B.(n －1)M N C.nMND.(n ＋1)M N【解析】设抽到的次品数为X ，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E (X )＝nMN.故选C 【即学即练4】某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.(1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；(2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设ξ表示参赛的男生人数，求ξ的分布列和数学期望【答案】(1)435；(2)ξ的分布列见解析，()1E ξ=.（1）从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队的抽取方法数为3377C C 1225⋅=，代表队中恰好有1名高一学生的抽取方式中，恰有1名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为123435C C C 120⋅⋅=，若学生为女生，则抽取方法数为312325C C C 20⋅⋅=，∴高一恰好有1名学生入选代表队的概率120204122535P +==；（2）依题意得，ξ的所有可能取值为0,1,2，则()2326C 310C 155P ξ====，()113326C C 3331C 155P ξ⨯====，()2326C 312C 155P ξ====，ξ∴的分布了如下：ξ12P153515()1310121555E ξ∴=⨯+⨯⨯.知识点2超几何分布和二项分布的区别和联系（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）；（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.注：（1）区别由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量X 服从二项分布，即(,)X B n p (其中Mp N=)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量X 服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.（2）联系二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当n 远远小于N 时，每抽取一次后，对N 的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.【即学即练5】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0,1,2，X 服从超几何分布．P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴X 的分布列为X 012P63130286511130∴X 的均值为方法一E (X )＝0×63130＋1×2865＋2×11130＝35.方法二E (X )＝2×1240＝35.(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0,1,2，且Y ～2，310，P (Y ＝k )＝C k 2310k×1－310－k，k ＝0,1,2，∴P (Y ＝0)＝C 02×7102＝49100，P (Y ＝1)＝C 12×310×710＝2150，P (Y ＝2)＝C 22＝9100.∴Y 的分布列为Y 012P4910021509100考点一对超几何分布的理解解题方略：判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．【例1-1】【多选】下列随机变量中，服从超几何分布的有()A ．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB ．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C ．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD ．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X【解析】依据超几何分布模型定义可知，ABD 中随机变量X 服从超几何分布．而C 中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．故选ABD变式1：下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的概率分布；（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的概率分布；（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的概率分布；（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．【答案】答案见解析【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．变式2：一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【答案】BX=表示从黑球编号为1,2,3,4,5中取3个黑球，【详解】对于①，当X表示最大号码，比如6而8X=表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③，X的可能取值为4,5,6,7,8，X=表示取出4个白球；45X=表示取出3个白球1个黑球；X=表示取出2个白球2个黑球；6X=表示取出1个白球3个黑球；7X=表示取出4个黑球；8因此X服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合，故选：B.考点二超几何分布的概率解题方略：求超几何分布的分布列的步骤【例2-1】某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.【解析】由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好学生中选取了3名”．【例2-2】一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是()A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．故选B【例2-3】在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.150B.125C.1825D.14950【解析】记X 为2张中的中奖数，则P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.故选C变式1：从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为()A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552【解析】设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.故选D变式2：在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为()A.542B.435C.1942D.821【解析】正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P ＝C 44C 410＝1210，当1个正品3个次品时，P ＝C 16C 34C 410＝24210＝435，所以正品数比次品数少的概率为1210＋435＝542.故选A.变式3：从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．【解析】(1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)，故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的分布列为X 012P28451645145变式4：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．【解析】(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，知X 的所有的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为X 123P153515变式5：吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．(3)设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.【答案】(1)2140(2)3985(3)分布列见解析，35【详解】（1）令A 表示事件“三个粽子中有1个肉粽”，从中任意选取3个有310C 120=种可能,其中恰有1个肉粽的可能选法有1237C C 63=种,∴由古典概型的概率计算公式有1237310C C 21()C 40P A ==.（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有33107C C 1203585-=-=种，所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有111221235323C (C C C )C C 39++=种，故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为3985.（3）由题意知，ξ可能取的值为0,1,2，则()328310C C ,0,1,2C k k P k k ξ-===∴0328310C C 7(0)C 15P ξ===，1228310C C 7(1)C 15P ξ===，2310218C C 1(2)C 15P ξ===，故ξ的分布列为：ξ012。

二项分布与超几何分布一n重伯努利试验1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立．注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．二二项分布的推导二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．注意点：(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．三二项分布的简单应用利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．四二项分布的均值与方差1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求五二项分布的实际应用二项分布的实际应用类问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量服从二项分布；(3)求出参数n和p的值；(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．六二项分布的性质二项分布概率最大问题的求解思路七超几何分布超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．注意点：(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”．(2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型．八超几何分布的概率超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆．九、超几何分布的分布列求超几何分布的分布列的步骤十超几何分布的均值求超几何分布均值的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．(3)利用均值公式求解．十一、二项分布与超几何分布的区别与联系不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．十二超几何分布的综合应用超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等．考点一二项分布【例1】(2020·重庆市第七中学校高二月考)若随机变量14,2X B⎛⎫⎪⎝⎭～，则()21E X+=( )A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因为14,2X B⎛⎫⎪⎝⎭～，所以1422EX=⨯=，所以()21215E X EX+=+=.故选：D.【练1】(2021·北京房山区·高二期末)已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为( )A．2764B．964C．364D．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为1 4所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B考点二超几何分布【例2】(2020·全国高二单元测试)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．【答案】(1)a＝0.0250，4人；(2)答案见解析；(3)3 4 .【解析】(1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．(2)由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X＝0)＝312316CC＝1128，P(X＝1)＝21243161C CC⋅＝3370，P(X＝2)＝24113162C CC⋅＝970，P(X＝3)＝34316CC＝1140，∴X的分布列为X0123P 112833709701140(3)由已知得Y ～B 1(3,)4，∴E (Y )＝np ＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34.【练2】(2020·辽宁沈阳市)在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：(1)取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望； (2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 【答案】(1)910；(2)13.【解析】(1)取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3， 所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===，()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===． 所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ⋅====， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=． 考点三 二项分布与超几何分布综合运用【例3】(2020·浙江台州市·高二期中)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1)114400；(2)选择第二种方案更合算.【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=； (2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===，()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=.故X 的分布列为，X0 500 700 1000P1120 7120 740 91120所以()177910500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(元). 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=(元). 因为()()EX E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【练3】(2020·甘肃省会宁县第四中学) 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；(2)从这15天的数据中任取2天数据，记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望；(3)以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 【答案】(1)45；(2)分布列见解析，45；(3)219. 【解析】(1)由茎叶图可得中位数是45. (2)依据条件，ξ服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，ξ的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C ξ===，()116921518135C C P C ξ===，()2069215512357C C P C ξ====，所以ξ的分布列为：ξ12P 1235183517()121814012353575E ξ=⨯+⨯+⨯=. (3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η， 则3365,5B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，33652195E η=⨯=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.练习答案1.（2021高二下·顺德期末）某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n（n∈N∗）次射击，设击中目标的次数记为X，已知P(X=1)=P(X=n−1)且E(X)=4，则D(X)=（）A.14B.12C.1D.2【答案】 D【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】设某射手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)，由题意可得击中目标的次数记为X∼B(n,p)，因为P(X=1)=P(X=n−1)，所以C n1p(1−p)n−1=C n n−1p n−1(1−p)整理可得(1−p)n−2=p n−2，所以1−p=p可得：p=12，因为E(X)=np=12n=4，可得：n=8，所以D(X)=np(1−p)=8×12×(1−12)=2，故答案为：D.【分析】根据题意由X∼B(n,p)，利用二项分布的性质即可得出方程，由此求解出n和p 的值，从而计算出结果即可。

成对数据的统计相关性1 相关关系与确定关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.比如正方形面积与边长，高一定时圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系.2正相关与负相关如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走.如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走.比如脂肪含量与年龄, 子女的身高与父亲的身高正相关.3线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.4样本相关系数对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,… ,(x n ,y n)，其中x1 ,x2 ,… ,x n和y1 ,y2 ,… ,y n的均值分别为x̅和y̅，则r=∑i ini=1√∑(x i−x̅)2ni=1√∑(y i−y̅)2ni=1我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.①当r>0时，称成对数据正相关；当r<0时，称成对数据负相关.②|r|越接近于1，两个变量的线性相关性越强；|r|接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.③样本相关系数r也可以推导得到r=∑(x−x̅)(y−y̅)ni=1√∑(x i−x̅)2ni=1√∑(y i−y̅)2ni=1=∑x yni=1−nx̅y̅√∑(x i−x̅)2ni=1√∑(y i−y̅)2ni=1【题型一】相关关系与确定关系【典题1】下面哪两个变量间是相关关系()A．出租车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．身高与体重D．铁块的大小与质量【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，出租车费与行驶的里程之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；对于B，房屋面积与房屋价格之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；对于C，身高与体重之间的关系是不确定，但在一定范围内，身高越高，体重越大，是相关关系，符合题意；对于D，铁块的大小与质量之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；故选：C．【点拨】是确定关系还是相关关系，看两变量之间关系是否确定的.【题型二】正相关与负相关【典题1】有以下五组变量：①某商品的销售价格与销售量；②学生的学籍号与学生的数学成绩；③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；④气温与冷饮销售量；⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．其中两个变量成正相关的是()A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【解析】对于①，一般情况下，某商品的销售价格与销售量成负相关关系；对于②，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于③，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于④，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于⑤，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．综上所述，其中两个变量成正相关的序号是④⑤．故选：D．【点拨】如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关.【典题2】在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是()A．B．C．D．【解析】根据题意，依次分析选项为：对于A、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；对于B、是相关关系，也是正相关关系，符合题意；对于C、是相关关系，是负相关关系，不符合题意；对于D、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．故选：B．【点拨】从散点图来看，点从左下角往右上角走是正相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走是负相关.【题型三】成对数据的统计相关系数【典题1】对某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是()A．r4<r2<0<r1<r3B．r2<r4<0<r1<r3C．r2<r4<0<r3<r1D．r4<r2<0<r3<r1【解析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，故r1>0 ,r3>0；r2<0 ,r4<0；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故r1>r3 ,r2<r4，因此，r2<r4<0<r3<r1．故选：C．【点拨】①若散点图中数据集中所在的直线斜率为正，则正相关；斜率为负，则负相关.②数据越集中在一条线附近，说明相关性越强；与该直线的斜率大小无关.【典题2】如图所示，5个(x ,y)数据，去掉D(3 ,10)后，下列说法正确的是（）A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变小D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【解析】由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r的值变大，相关指数R2的值变大，残差平方和变小．故选：AD．【点拨】①相关系数r判断线性的相关性的强弱；而残差平方和与相关指数R2判断的是模型的拟合效果，残差平方和越小，相关指数R2越大，模型拟合效果越好；②本题中点D属于“歧义点”，偏离回归直线较远，若剔除少数的“歧义点”，解释变量x与预报变量y的相关性变强.巩固练习1(★)下列两个量之间的关系是相关关系的为()A．正方体的体积与棱长的关系B．学生的成绩和体重C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D．水的体积和重量【答案】C【解析】A、由正方体的棱长和体积的公式知，V=a3(a>0)，故A不对；B、学生的成绩和体重，没有关系，故B不对；C、路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故C对；D、水的体积V和重量x的关系为：V=k•x，是确定的函数关系，故D不对；故选：C．2(★) 下列说法正确的是()A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系D．人的体重与视力成负相关关系【答案】C【解析】对于A，圆的面积与半径之间的关系是确定的关系，是函数关系，所以A错误；对于B，粮食产量与施肥量之间的关系是不是函数关系，是相关关系，所以B错误；对于C，一定范围内，学生的成绩与学习时间是成正相关关系的，所以C正确；对于D，人的体重与视力是没有相关关系的，所以D错误．故选：C．3(★)变量x ,y有观测数据(x i ,y i)(i=1 ,2 ,… ,10)，得散点图(1)；对变量u ,v，有观测数据(u i ,v i)(i= 1 ,2 ,… ,10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【答案】C【解析】由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．4(★) 判断如图所示的图形中具有相关关系的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，选项A，B中的x与y的对应是确定的，选项C、D是不确定的，而在选项C、D中，C具有相关关系，故选：C．5(★) 对两个变量x，y的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是() x1098765y23 3.54 4.85 A．负相关B．正相关C．先正后负相关D．先负后正相关【答案】A【解析】根据两个变量x，y的几组观测数据统计表知，y随x的增大而减小，所以这两个相关变量负相关．故选：A．6(★) 关于相关关系，下列说法不正确的是()A．相关关系是一种非确定关系B．相关关系r越大，两个变量的相关性越强C．当两个变量相关且相关系数r>0时，表明两个变量正相关D．相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强【答案】B【解析】对于A，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，A正确；对于B，相关关系|r|越大，两个变量的相关性越强，∴B错误；对于C，当两个变量相关且相关系数r>0时，说明两个变量正相关，∴C正确；对于D，相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，D正确．故选：B．7(★) 变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()参考公式：线性相关系数r=ni=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)√∑i=1(y i−y)A．r2<r1<0B．0<r2<r1C．r2<0<r1D．r1=r2【答案】C【解析】由已知中的数据可知：第一组数据正相关，则相关系数大于零，第二组数据负相关，则相关系数小于零，故选：C．8(★) 【多选题】为了对变量x与y的线性相关性进行检验，由样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得两个变量的样本相关系数为r，那么下面说法中错误的有()A．若所有样本点都在直线y=−2x+1上，则r=1B．若所有样本点都在直线y=−2x+1上，则r=−2C．若|r|越大，则变量x与y的线性相关性越强D．若|r|越小，则变量x与y的线性相关性越强【答案】ABD【解析】当所有样本点都在直线y=-2x+1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r=-1，所以A、B都错误；相关系数|r|值越大，则变量x与y的线性相关性越强，C正确；相关系数|r|值越小，则变量x与y的线性相关性越弱，D错误．综上知，以上错误的说法是ABD．故选：ABD．9(★)对相关系数r，下列说法正确的是()A．r越大，线性相关程度越大B．r越小，线性相关程度越大C．|r|越大，线性相关程度越小，|r|越接近0，线性相关程度越大D．|r|≤1且|r|越接近1，线性相关程度越大，|r|越接近0，线性相关程度越小【答案】D【解析】两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故选：D．10(★) 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是()A．①③B．①④C．②③D．①②【答案】B【解析】∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．故选：B．11(★) 已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，则() A．甲组数据变量间的线性相关程度最强B．乙组数据变量间的线性相关程度最弱C．丙组数据变量间的线性相关程度最强D．丁组数据变量间的线性相关程度最强【答案】C【解析】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，所以丙组数据的线性相关性最强．故选：C．12(★) 对两个变量x ,y进行线性相关检验，得线性相关系数r1=0.7859，对两个变量u ,v进行线性相关检验，得线性相关系数r2=−0.9568，则下列判断正确的是()A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强【答案】C【解析】由线性相关系数r1=0.7859>0知x与y正相关，由线性相关系数r2=-0.9568<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选：C．。