离散树的高度概念

在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。

其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。

在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。

而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。

本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。

首先，让我们来看看图的树。

树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。

它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。

这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。

因此，结论成立。

2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。

即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。

3.树是一个高度平衡的结构。

对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。

4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。

接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。

生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。

生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。

对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。

Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。

据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。

此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。

矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。

根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。

其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。

邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。

除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。

树的高度名词解释一、引言在我们的日常生活中，经常能够看到各种各样的树木，它们在城市、农村、森林等各个环境中生长茁壮。

众所周知，树木的高度对于我们来说非常重要，它既是我们测量树木生长的基本指标，也是我们对于大自然的一种认知。

那么，什么是树的高度呢？本文将对树的高度进行名词解释。

二、树的高度的定义树的高度是指从树的基部到树的最高点的距离。

一般来说，我们所说的树的高度是指从树的基部到树冠顶端的距离。

树冠是指树木上部的分支和叶子的集合，也是树木生长的主要部分。

因此，树的高度也可以理解为树木在竖直方向上的生长延伸。

三、测量树的高度的方法测量树的高度是对树的生长状态进行评估的重要手段。

树的高度可以通过多种方法来进行测量，下面将介绍几种常见的测量方法。

1. 直接测量法：直接测量法是最常见的一种测量树高的方法，其原理是利用测量工具（如测量杆或测高仪）直接测量树的高度。

这种方法适用于树木较小、生长位置容易接近的情况。

测量时，我们站在树木的基部，将测量工具沿着树干竖直向上延伸，直至达到树冠顶端，即可得到树的高度。

2. 三角法：三角法是一种相对简单但精度较高的测量树高的方法。

这种方法利用三角形的几何性质，通过测量与树木底部和顶部的距离，以及观察视角与垂直方向的夹角，计算出树的高度。

这一方法适用于树木较大、观察距离较远的情况。

3. 激光测距法：激光测距法利用激光器发射激光束，并通过接收器接收反射的激光束，根据激光到达时间差来计算树的高度。

激光测距法具有准确性高、测量速度快的优点，适用于测量较大范围内的树木高度。

四、树的高度与生长环境的关系树的高度与其生长环境密切相关。

树木生长的环境包括土壤、气候、光照等因素。

这些因素的变化会影响树木的生长速度和高度。

例如，在肥沃的土壤中，树木的营养供应更充足，生长速度较快，从而可以达到较大的高度。

而在缺乏养分的贫瘠土壤中，树木的生长速度较慢，高度也相对较低。

此外，气候条件对于树木生长也具有重要影响。

植物分支点高度
当我们漫步在郊外或森林中时，常常会被树木的分支点高度所吸引。

这些分支点高度不仅是自然景观的一部分，也是植物生长和繁衍的重要标志。

植物的分支点高度是指从植物根部到其最低分支点的距离。

它能够反映出植物的生长速度、生长环境和竞争状况。

不同植物的分支点高度有时会有较大的差异，这是由于植物的生长方式和生态特征不同所导致的。

以大树为例，它们通常具有较高的分支点高度。

这是由于大树需要更多的光照和空间来进行光合作用和繁殖。

它们会通过长时间的生长来达到这个高度，并且会不断分支，形成浓密的树冠。

这样的分支点高度不仅能够提供足够的光照，还能够帮助它们在竞争中占据优势地位。

而一些灌木或矮小的植物，它们的分支点高度相对较低。

这是因为它们在生长过程中通常受到了大树的阻挡，无法获得充足的光照和空间。

因此，它们会选择在更低的位置分支，以尽可能地获取光线和养分。

除了光照和竞争的因素，植物的分支点高度还受到其他环境因素的影响。

例如，土壤的质地和水分状况会影响植物的生长速度和分支点高度。

同时，气候条件和风力也会对植物的形态和分支点高度产
生影响。

一些生活在风吹日晒环境中的植物，它们的分支点高度通常会较低，以减少风力对植物的影响。

总的来说，植物的分支点高度是植物生长和繁殖的重要标志。

它可以反映出植物的生长速度、竞争状况和环境适应能力。

了解植物的分支点高度，有助于我们更好地了解植物的生态特征和生长环境，也能够为植物的保护和利用提供一定的参考依据。

《 离散数学 》同步测试卷10:图的基本概念一．填空：1．一个无向图表示为G=<V , E>，其中V 是 结点 的集合，E 是 边 的集合， 并且要求E 中的任何一条边必须和G 中的两个结点 相关联 。

2．设无向图G 中有12条边，已知G 中度为3的结点有6个，其余的结点度均 小于3，则G 中至少有 9 个结点。

3．设G=(n,m)是简单图，v 是G 中一个度为k 的结点，e 是G 中的一条边，则G – v 中有1n -个结点，m k -条边；G – e 中有n 个结点，1m -条边。

4．设G 是个有向图，当且仅当G 中有一条经过每一个结点的路径时，G 才是 单向 连通图。

5．设图G=<V , E>，则：若E 中的每条边都是_无向边 _，则称图G 为无向图；若E 中的每条边都是_有向边__，则称图G 为有向图。

6．设图G 中 无自环 和 无平行边 ，则称图G 为简单图。

7．设G 是个无自环的无向图，其中有2个结点的度数为4，其余结点的度为2，有6条边。

则G 中共有_ 4 个结点。

因此，G 是个多重边_图。

8．一个无向图G 有16条边，若G 中每一个结点的度均为2，则G 有16个结点。

9．设G 是个具有5个结点的简单无向完全图，则G 有__10_条边。

10．设G 是个具有5个结点的简单有向完全图，则G 有_20_条边。

11．设G 是个n 阶简单有向图，G '是G 的子图，已知G '的边数()1E n n '=-，则G 的边数m 为()1n n -。

12．35条边，每个结点的度数至少是3的图最多有__23_个结点。

13、3个结点可构成 4 个不同构的简单无向图，可构成 16 个不同构的简单有向图。

14、设()100,100G =为无向连通图，则从G 中能找到 1 条回路15、5K 的点连通度为 4 ，边连通度为 4 。

16、设图G=<V , E>，{}1234,,,V v v v v =，若G 的邻接矩阵0101101111001000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 ()1deg v -= 3 ，()4deg v += 1 ，，从2v 到4v 长度为2的通路有 1 条。

第六章树一、掌握根本概念树的子树是互不相交的，树可以为空〔空树〕非空的树中，只有一个结点是没有前趋的，那就是根。

非空树只有一个树根，是一对多的关系。

叶子结点、结点的度、树的度、结点的层次、树的深度、树的四种表示方法二、二叉树的定义、特点、五种根本形态二叉树是有序树，左右子树不能互相颠倒二叉树中结点的最大度为2，但不一定都是2。

三、二叉树的性质要掌握性质1：二叉树的第i层上至多有2 i-1〔i 1〕个结点。

性质2：深度为k的二叉树中至多2k-1个结点。

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，那么n0＝n2＋1。

证明：1)结点总数n=n0+n1+n2 (n1是度为1的结点数)2)进入分支总数m(每个结点唯一分支进入) n=m+13)m个分支是由非叶子结点射出m=n1+2n2性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度k为[log2n]+1四、满二叉树和完全二叉树的区别是什么？满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树。

深度为k的二叉树，最少有k个结点，最多有2k-1深度为k的完全二叉树，最少有2k-1-1+1个结点,最多有2k-1五、二叉树的存储构造〔可以通过下标找结点的左右孩子〕1.顺序存储构造适用于满二叉树和完全二叉树。

〔其缺点是必须把其他二叉树补成完全二叉树，从上到下，从左到右依次存储在顺序存储空间里，会造成空间浪费〕2.二叉链表存储构造〔其优点是找左孩子和右孩子方便，但缺点是找父节点麻烦〕lchild Data rchild〔重点〕3. 三叉链表存储构造不仅找其左、右孩子很方便，而且找其双亲也方便六、遍历的概念是什么？七、二叉树的遍历有三种：前序〔先序、先根〕遍历、中序〔中序、中根〕遍历、后序〔后序、后根〕遍历1.给出一棵二叉树，要会二叉树的三种遍历2.给出两种遍历〔必须有中序遍历〕，要求会画该二叉树。

八、了解引入线索〔中序、先序、后序〕二叉树的原因是什么？九、会在二叉树上画先序线索化、中序线索化、后序线索化。

离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。

- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。

- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。

2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。

- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。

- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。

3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。

- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。

- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。

4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。

- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。

- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。

5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。

- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。

- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。

6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。

- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。

- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。

7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。

- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。

- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。

8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。

- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。

- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。

- 空间复杂度：算法空间需求的分析。

- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。

离散数学知识点总结（9）-树⼀、⽆向树和有向树对于任何⽆向图，若图中不存在简单回路，则 m≤n-1⽆向图是⽆向树的四个条件互相等价：连通、不存在简单回路、m=n-1满⾜⾄少2个 每⼀对相异顶点之间存在唯⼀的简单道路 极⼩连通（每⼀条边都是桥） 极⼤⽆圈因此⽆向树必定不含重边和⾃环，⼀定是简单图，⼀定是平⾯图。

⽆向树中度数为1的顶点称为叶⼦，度数⼤于1的顶点称为分枝点。

平凡树：⼀阶简单图，既⽆叶⼦⼜⽆分枝点任何⾮平凡树⾄少有2个叶⼦顶点证明：设n(n≥2) 阶⽆向连通图G的边数满⾜m=n-1，设图中度数为1的顶点数为t，则2m=deg(v1)+...+dev(v n)≥t+2(n-t)，得t≥2 或者设⽆向树中存在着a i个度为i的顶点，a1+2a2+...=2m，a1+a2+...=n=m+1，故叶⼦数=a3+2a4+3a5+...+2≥2森林：不含任何简单回路的图。

森林的每个连通分⽀都是树⼆、有向树和根树有向树：不考虑边的⽅向时是⼀棵⽆向树的有向图根树：只有⼀个⼊度为0的顶点，其它顶点⼊度均为1的有向树根树中出度为0的顶点称为叶⼦，出度⼤于0的顶点称为分枝点在根树中，从根到任⼀其它顶点都存在唯⼀的简单道路以v为根的根树：有向图中存在顶点v，使得从v到图中任意其它顶点都存在唯⼀简单道路，⽽且不存在从v到v的简单回路在根树中，由根到顶点v的道路长度称作v的层数（level） ；所有顶点的层数的最⼤值称为根树的⾼度（height）若T的每个分⽀点最多m个⼉⼦，则称T为m叉树；若其每个分⽀点都恰好m个⼉⼦，则称T为m叉正则树正则m叉树，其叶⼦数为t，分枝点数为i，则所有顶点出度之和为mi=所有顶点的⼊度之和t+i-1，故(m-1)i=t-1三、标号树前序遍历结果-+×421×÷632称作前缀表⽰、波兰式将波兰式压栈，当插⼊到×42时将其替换为8后序遍历结果42×1+63÷2×-称作后缀表⽰、逆波兰式将波兰式压栈，当插⼊到42×时将其替换为8中序遍历表达式4×2+1-6÷3×2称作中缀表⽰由前缀表⽰或后缀表⽰可以唯⼀构造表⽰运算式的有序树，但是由中缀表⽰则不⾏此外还有⼀些关于遍历、哈夫曼编码的知识点，数据结构中就有。