决策理论与方法课程报告数据包络分析法在管理决策运用中的实际案例分析目录第一章数据包络分析简介 (1)第二章数据包络分析法模型 (1)2.1 基础知识 (1)2.2 C2R模型 (2)2.3 模型求解方法 (4)第三章数据包络分析法案例 (6)3.1 工程建设项目评标方法 (6)3.2 环保项目评价 (8)3.3 科研评价 (9)第四章总结 (12)4.1 DEA方法的优点 (12)4.2 DEA方法的缺陷 (13)参考文献 (14)第一章数据包络分析简介数据包络分析(Data Envelopment Analysis)，简称DEA，是由美国著名运筹学家A．Charnes等人于1978年首先提出的。
是使用数学规划模型评价具有多个输入、多个输出的。
部门”或“单位”(称为决策单元，简记DMU)间的相对有效性(称为DEA有效)的一种非参数的统计估计方法。
数学、经济学和管理科学是这一学科形成的柱石，优化是其研究的主要方法，而DEA的广泛应用是它能得以迅速发展的动力。
数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具方法，常被用来衡量拥有相同目标的运营单位的相对效率。
这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。
衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。
但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。
如运营单位有多种投入要素(员工规模、工资数目、运作时间和广告投入)，同时也有多种产出要素(利润、市场份额和成长率)。
在这些情况下，很难让管理者知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。
DEA方法在处理多输入，特别是多输出问题能力上具有绝对优势。
第二章数据包络分析法模型2.1 基础知识（1）决策单元(DMU)：我们把具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为。
评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。
（2）投入指标：指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。
（3）产出指标：指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。
（4）指标数据：指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。
2.2 C2R模型设有n个部门(企业)，称为n个决策单元，每个决策单元都有p种投入和q种产出，分别用不同的经济指标表示。
这样，由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统，可以做如下表示：设：n个决策单元(j=1,2,3,...,n)，每个决策单元有相同的p项投入(输入)(i=1,2,...,p) ，每个决策单元有相同的q项产出(输出)(r = 1，2，...，q)。
x ij——第j决策单元的第i项投入y ij——第j决策单元的第r项产出111111,1,2,qj jkk q qk jk pk p pki jkiu yu y u yh k nv x v xv x==++===++∑∑(1)即：效率指标h k等于产出加权之和除以投入加权之和，表示第k个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率。
可以适当地选择权系数u、v，使得h k≤1,建立评价第k0个决策单元相对有效性的C2R模型。
设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为：000000012012(,,,),(,,,)T Tk k pk k k pkX x x x Y y y y==效率指标00kh h=，在效率评价指标1(1,2,)kh k n≤=的约束条件下，选择一组最优权系数U和V，使得h0达到最大值，构造优化模型(分式规划)0000111111,1,2,qj jkk q qkjpk p pki jkiu yu y u yMaxh k nv x v xv x==++===++∑∑(2)1111111,1,2,..,0,1,2,...,;1,2,...,qj jkj k q qkpk p pki jkij iu yu y u yk ns t v x v xv xu v j q i p==⎧⎪++⎪=≤=⎪++⎨⎪⎪≥==⎪⎩∑∑（）上述模型中x ik,y jk为已知数(可由历史资料或预测数据得到)，v i,u j为变量。
模型的含义是以权系数v i,u j为变量，以h0所有决策单元的效率指标为约束，以第k0个决策单元的效率指数为目标。
即评价第k0个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。
记1212(,,,),(,,,)T Tk k k pk k k k pkX x x x Y y y y==，则有矩阵形式（P）TTU YMaxhV X⋅=⋅（3）1,(1,2,...,)..,0TkTkU Yk ns t V XU V⎧⋅≤=⎪⋅⎨⎪≥⎩作Charnes-Cooper变换，转化为一个等价的线性规划模型。
1,,Tt t V t UV Xωμ=⋅=⋅=⋅故将模型转化为max..0,1,2,..10,0Tj oT Tj jTh ys t w x y j ns t w xwμμμ=⎧-≥=⎪=⎨⎪≥≥⎩其对偶问题为写成向量形式11..0,0,0,nj jjnj jjjMaxs tx s xy yss sθθθλλλ-=+=-+⎧+=⎪⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪≥≥≥⎪⎪⎩∑∑无约束2.3 模型求解方法在评价决策单元是否为DEA有效时,如果利用原线性规划问题: 0max..11,2,...,0,0TjT Tj jTh YY Xs t X j nμμωωωμ=⎧-≤⎪⎪==⎨⎪≥≥⎪⎩需要判断是否存在最优解00,ωμ，满足：0000,0,1jh Yωμμ>>==利用对偶线性规划⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧θ≥=≥=θ≤θ=λ∑λ∑λ==无约束,0p,...,2,1r,m,...,2,1i,.t.sminjn1jrrjjn1jiijjDyyxxv11min..0,,0nj jjnj jjjX S Xs t Y S YS Sθλθλλ-=+=-+⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪≥≥⎪⎩∑∑需要判断它的所有最优解都满足:0000,0,1S Sθ-+===无论是对于线性规划还是对于对偶规划，这都是不容易做到的。
因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德无穷小的概念，利用线性规划方法求解。
去判断决策单元的DEA有效性。
Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε，从而可以利用单纯形方法求解线性规划问题，来判定决策单元的DEA有效性，成功解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量ε的C2R模型。
令ε是非阿基米德无穷小量，它是一个小于任何正数、且大于零的数。
()_1111min()..0,0m rdj jnj jjnj jjjs s vs tx s xy s ys sθεελθλλ+==-=+=+-⎧⎡⎤-+=⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎪⎪≥⎪⎪≥≥⎩∑∑∑∑最优解为000+0-S Sθλ，，，0N0N*aaεε∀∀注：对于及，都有，则即为非阿基米德无穷小量设模型（D）的最优解为λ0、s0-、s0+、θ0，分三种情况进一步讨论：①θ0 = 1，且s0- = 0、s0+ = 0 ：决策单元k0为DEA有效。
其经济意义是：决策单元k0的生产活动(X0,Y0)同时为技术有效和规模有效。
所谓技术有效，是指对于生产活动(X0,Y0)，从技术角度来看，资源获得了充分利用，投入要素达到最佳组合，取得了最大的产出效果，效率评价指标h0=V p=V D=θ0 = 1 。
②θ0= 1，但至少有某个s i0- ＞0 或者至少有某个s j0+ ＞0：决策单元k0为弱DEA有效。
其经济意义是：决策单元k0 不是同时技术有效和规模收益有效。
若某个s i0- ＞0，表示第i 种投入指标有s i0- 没有充分利用；若某个s j0+ ＞0，表示第j 种产出指标与最大产出值尚有s j0+ 的不足。
③θ0＜1：决策单元k0不是DEA有效。
其经济意义是：决策单元k0 的生产活动(X0,Y0)既不是技术效率最佳,也不是规模收益最佳。
第三章数据包络分析法案例3.1 工程建设项目评标方法[1]假定一待建工程项目, 对应的技术、经济综合指标设为X1 , X2 , …, Xm ;Y1 ,Y2 , …,Ys ;其中Xi 表示负向指标,Yr 表示正向指标。
有n个投标商, 用xij表示第j 个承包商的第i 个负向指标值, y rj表示第j 个承包商的第r个正向指标值(i =1 , 2 , …, m; r =1 ,2 , ..., s ; j =1 , 2 , ..., n), 以负向指标做为输入指标, 正向指标做为输出指标。
现有6个承包商进行投标，其各项指标如下：表3.1 承包商各项指标承包商年生产能力投标能力履约保险系数净资产负债率收益利息率资产利润率可获信贷（万运营资本收益（%）（%）(%) 元）率（%）1 1.8 3.2 2.5 43.7 5.2 94.38 1000 690872 1.6 2.8 2.1 38.3 4.5 89.28 800 670263 2.8 6.1 5.1 120.5 3.0 54.04 2000 390544 2.5 5.4 4.0 140.7 2.5 51.23 1500 30.215 1.3 2.2 1.8 225.6 2.0 29.59 600 23.316 1.4 1.9 1.5 214.3 1.9 14.35 500 18.95各指标中, 净资产负债率和收益利息率为负向指标, 其余为正向指标。
DEA 评价结论与指标量纲无关, 不必对上述各指标进行无量纲化处理。
现以净资产负债率X1 、收益利息率X2 为输入指标, 以年生产能力Y1 、投标能力Y2 、履约保险系数Y3 、资产利润率Y4 、可获信贷Y5 、运营资本收益率Y6 为输出指标, 利用工程建设项目评标模型, 由MATLAB6 .1 软件中的线性规划程序可分别计算出6 个承包商的效率值和优先序, 结果于表3.2。
表3.2 各承包商模型效率值承包商承包商1 承包商2 承包商3 承包商4 承包商5 承包商6模型效率值1.00 1.00 1.00 1.00 0.8520 0.7749排序 1 1 1 1 2 3 发现求得的承包商1、2、3、4效率值均为1，无法进行排序，故引入一个虚拟决策单元，替代评价决策单元，令11112112x min,max,(1,2,...,;1,2,3,...,);(,,...,)(,,...,),i ij r rjj n j nT Tn m n sx y y i m r sX x x x Y y y y≤≤≤≤++======，称X n+1和Y n+1为输入、输出的决策单元，并且作为这n个承包商决策单元的虚拟决策单元，使原来的各个决策单元相对这个决策单元变得非有效，这样就达到了进一步比较各决策单元差异程度的目的。
