2016年春新版湘教版七年级数学下册：2.2乘法公式导学案

2.2.3 运用乘法公式进行计算1.熟练地运用乘法公式进行计算.2.能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算.3.提高学生对乘法公式综合运用的能力，分析、解决问题的能力.4.培养学生实事求是、科学严谨的学习态度.【教学重点】正确选择乘法公式进行运算.【教学难点】综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算.一、情景导入，初步认知1.什么是平方差公式？2.什么是完全平方公式？3.在应用乘法公式是应注意些什么？【教学说明】通过对乘法公式的复习，为本节课的学习作准备.二、思考探究，获取新知1.同学们，我们在学习的过来中会碰到很多的“难题”，其实我们只要经过仔细的观察、认真的思考，我们会发现大部分的难题是由简单的因素构成的，下面我们一起来处理两个问题.【教学说明】老师和学生一起探讨，发现学生学习过程存在的困难，可以引导学生讨论解决.2.运用乘法公式计算：【教学说明】教师引导学生正确的选择乘法运算公式.【归纳结论】遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以到达简化运算的目的.三、运用新知，深化理解1.见教材P49例9.2.下列运算中，正确的是(C)A.(a+3)(a-3)=a2-3B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2D.(x+2)(x-3)=x2-6【教学说明】及时巩固新知，进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中a，b的含义的广泛性.四、师生互动,课堂小结今天学到了什么？有何体会？试讲出来与大家交流.1.布置作业:教材第50页“习题2.2”中第5、6题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过及时演练反馈来巩固知识，设计了探究活动，解实际应用题，达到灵活应用知识、自主建构知识之目的.通过本节课的学习，既掌握了知识，又发展了学生学数学的能力.。

湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.2完全平方公式（1）教学设计一. 教材分析湘教版七年级数学下册2.2节主要介绍完全平方公式。

完全平方公式是初中学段数学的重要内容，也是学生进一步学习代数知识的基础。

本节内容通过具体的例子引导学生发现并归纳完全平方公式的规律，让学生掌握如何运用完全平方公式进行运算和解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整式的乘法，对代数概念有一定的理解。

但学生在运用公式时，容易忽视公式的适用范围和条件。

因此，在教学过程中，需要关注学生对完全平方公式的理解程度，引导学生掌握公式的运用方法。

三. 教学目标1.让学生理解完全平方公式的含义，掌握公式的结构特征。

2.培养学生运用完全平方公式进行整式运算的能力。

3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.完全平方公式的理解和记忆。

2.完全平方公式的灵活运用。

五. 教学方法1.采用情境教学法，通过生活中的实际问题引入完全平方公式。

2.运用归纳法，引导学生发现并总结完全平方公式的规律。

3.采用小组合作学习，让学生在探讨中加深对完全平方公式的理解。

4.运用练习法，巩固学生对完全平方公式的运用能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括完全平方公式的引入、讲解和练习。

2.准备一些实际问题，用于引导学生运用完全平方公式解决实际问题。

3.准备一些练习题，用于巩固学生对完全平方公式的掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入完全平方公式，例如：一个正方形的边长为a，求它的面积。

引导学生思考如何用数学公式表示这个问题，引出完全平方公式的概念。

2.呈现（10分钟）讲解完全平方公式的定义和结构特征，用PPT展示完全平方公式的推导过程，让学生理解完全平方公式的含义。

3.操练（10分钟）让学生运用完全平方公式进行一些简单的整式运算，例如：计算（a+b）2、（a-b）2等。

引导学生掌握完全平方公式的运用方法。

2．2.2完全平方公式1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算；(重点、难点)3．了解完全平方公式的几何背景．一、情境导入计算：(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.由上述计算，你发现了什么结论？二、合作探究探究点：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【类型二】构造完全平方式如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【类型三】逆用完全平方公式已知a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求5a－b2＋25的值．解析：从已知中直接求出a、b是困难的，试着把已知的左边转化为两个完全平方式．解：由已知，得(a2－2·a·4＋42)＋(b2－2·b·5＋52)＝0，即(a－4)2＋(b－5)2＝0，所以a－4＝0，b－5＝0，即a＝4，b＝5.当a＝4，b＝5时，5a－b2＋25＝5×4－52＋25＝20.方法总结：逆用完全平方公式，再结合平方或平方和的非负性是解答此题的关键．三、板书设计完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

2.2乘法公式2.2.1平方差公式学习目标：1．经历探索平方差公式的过程．2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算重点:平方差公式的推导和应用难点:理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．预习导学——不看不讲学一学：阅读教材P42“动脑筋”与“说一说”说一说：计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）议一议：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．【归纳总结】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即：（a+b）（a-b）=a2-b2你能用数形结合的思想解释平方差公式吗？想一想：下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？（1）(x+2)(x-2)=x2-2 （2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4填一填：（a+b)(-b+a) = (3a+2b)(3a-2b)=公式的结构特征①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．【课堂展示】P43例题1,2,3合作探究——不议不讲互动探究一：运用乘法公式计算：734×814互动探究二：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？)32)(32(b a b a -+ )32)(32(b a b a -+- )32)(32(b a b a +-+- )32)(32(b a b a --- ))((c b a c b a +-++ ))((c b a c b a -+--【当堂检测】：1.填空（1） （__+__）（__+__）=942-a （2） （a+2b+2c ）（a+2b-2c ）写成平方差公式形式：2.计算（1）102×98（2）(a+b)(a-b)(a 2+b 2)（3）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）（4）（b+2a ）（2a-b ）（5）（-x+2y ）（-x-2y ）（6）（a+2b+2c ）（a+2b-2c ）2.2.2 完全平方公式（1）学习目标：1．会推导完全平方公式：，了解公式的几何解释，并能运用公式计算。

湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算教学设计一. 教材分析湘教版七年级数学下册2.2节主要介绍了乘法公式，特别是平方差公式和完全平方公式。

这两个公式在解决二次方程和二次不等式方面有着重要的作用。

本节内容是学生进一步掌握数学知识，提高解决问题的能力的基础。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的代数知识，如方程、不等式等，但对于乘法公式的运用还不是很熟练。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解乘法公式的含义，并通过大量的练习来提高他们运用乘法公式解决问题的能力。

三. 教学目标1.了解平方差公式和完全平方公式的含义。

2.能够运用平方差公式和完全平方公式进行计算。

3.能够解决实际问题，运用乘法公式进行计算。

四. 教学重难点1.平方差公式和完全平方公式的理解和记忆。

2.能够灵活运用乘法公式进行计算。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和解决问题，来掌握乘法公式的运用。

同时，结合大量的练习，让学生在实践中提高运用乘法公式解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“小明买了一本书，原价是25元，书店搞活动，买一本送一本，小明最后花了50元，请问他买了多少本书？”让学生思考并解答这个问题，引出乘法公式的运用。

2.呈现（10分钟）PPT展示平方差公式和完全平方公式，引导学生理解这两个公式的含义和运用。

3.操练（10分钟）让学生进行一些简单的练习，运用平方差公式和完全平方公式进行计算。

例如：计算（x+2）（x-2）、（x+3）^2等。

4.巩固（10分钟）让学生进行一些综合性的练习，运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题。

例如：已知一个正方形的边长是a+b，求这个正方形的面积。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了平方差公式和完全平方公式，还有哪些乘法公式可以运用到实际问题中？让学生进行讨论和分享。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调乘法公式的运用方法和注意事项。

平方差公式教课目标1、经历研究平方差公式的过程， 进一步发展学生的符号感和推理能力；2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；3、认识平方差公式的几何背景。

教课要点1、弄清平方差公式的本源及其结构特色， 能用自己的语言说明公式及其特色；2、会用平方差公式进行运算。

教课难点会用平方差公式进行运算教课方法研究谈论、归纳总结。

教课过程一、准备知识：1、计算以下各式 ( 复习 ) ：（1）x2 x2（2） 13a 13a（ 3）ab a b2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3、谈论归纳：平方差公式：a b aba 2b 2文字表达：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

二、研究新知：1、模范解析 P102 例 1 至例 3 例 1、运用平方差公式计算：（1） 2x 1 2x 1（ 2） x 2 y x 2 y 解：原式 = (2x) 212解：原式 = x 2( 2y) 2=4x 21=x 2 4y 2注意题目中的什么项相当于公式中的 a 和 b ，而后正确运用公式就可以了。

例 2 运用平方差公式进行计算：（1） ( 2x1y)( 2x1y)（ 2）4a b4a b (3)(y+2)(y-2)(y 2+4)22解： (1) ( 2 x1y)( 2x1y) = ( 2x)2( 1y) 2 = 4x 2 1 y 22224 （2）4a b4a b =( 4a) 2b 2 =16a 2 b 2(3)(y+2)(y-2)(y2+4) ＝ (y 2-4)(y2+4) ＝ (y 2) 2-4 2＝ y 4-16例 3 运用平方差公式计算： 102× 98解： 102 × 98＝ (100+2)(100-2)＝ 1002-2 2＝ 10000-4＝ 9996三、小结与练习1、练习 P103练习题1 至 3 题2、小结：平方差公式：a b aba 2b 2 的几何意义以以下图使用公式时，应注意两个项中，个公式。

《2.2.1平方差公式》教学设计内容和内容解析湘教版数学七年级下册“2.2乘法公式”（第一课时）内容解析：《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式. 本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.教学目标1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．教学重点·难点·关键点1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究──猜想──归纳──验证──应用──拓展”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程一·情景导入计算：(1)(a＋1)(a－1)；(2)(a＋2)(a－2)；(3)(a＋b)(a－b)．由上述计算，你发现了什么结论？二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】直接应用平方差公式进行计算利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.方法总结：应用平方差公式进行计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【类型二】 应用平方差公式进行简便运算利用平方差公式简算：(1)2013×1923；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．【类型三】 化简求值先化简，再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x 、y 的值代入进行计算即可得解．解：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.当x ＝1，y ＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【类型四】 平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a 2，改变边长后的面积为(a ＋4)(a－4)＝a 2－16.∵a 2＞a 2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．【类型五】 平方差公式的几何背景如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵左图中阴影部分的面积是a 2－b 2，右图中梯形的面积是12(2a ＋2b )(a －b )＝(a ＋b )(a －b )，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，即可验证的乘法公式为(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．【当堂检测】：1.填空（1） （__+__）（__+__）=942a （2） （a+2b+2c ）（a+2b-2c ）写成平方差公式形式：2.计算（1）102×98（2）(a+b)(a-b)(a 2+b 2)（3）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）（4）（b+2a ）（2a-b ）（5）（-x+2y ）（-x-2y ）（6）（a+2b+2c ）（a+2b-2c ）三、板书设计平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.四·教学反思本节课通过多项式乘法推导出平方差公式，注意引导学生正确认识公式的特征：公式左边是两个二项式的积，这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；公式右边是用符号相同项的平方，减去符号相反项的平方．对于例题和练习，让学生通过小组合作、自主探究的方式完成，提高学生学习的积极性。