证明圆的切线的两种常用方法教案
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证明圆的切线的两种常用方法
一、教学目的要求:
1.知识目的:
(1)掌握切线的判定定理.
(2)应用切线的判定定理证明直线是圆的切线,掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.
2.能力目的:
(1)培养学生动手操作能力.
(2)培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力.
3.情感目的:
通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程,激发学生学习几何的积极性。
二、教学重点、难点
1.重点:切线的判定定理.
2.难点:圆的切线证明问题中,辅助线的添加方法.
三、教学过程:
(一)复习引入
回答下列问题:(口述)
1.直线和圆有哪三种位置关系?这三种位置关系是如何定义?如何判定的?
2.什么叫做圆的切线?根据这个定义我们可以怎样来判定一条直
线是不是一个圆的切线?
①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(要求学生举手回答,教师用教具演示)
(二)新课讲解
证明直线与圆相切是一类常见题目,解决这类问题常用的方法有两种。
方法一、连接半径,证明垂直
若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先连结过此点的半径,再证其与直线垂直。
例1 如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆交于BC于D,作DE⊥AC于E。求证:DE为⊙O的切线。
证明:连结OD
∵OB=OD
∴∠B=∠ODB
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠ODB=∠C
∵DE⊥AC
∴∠C+∠CDE=90°
∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=90°,即DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线。
例2 如图(2)所示,AB是⊙O的直径,过A点作⊙O的切线,在切线上任取一点C,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC 于E,求证:CD是△ADE外接圆的切线。
证明:取AE的中点F,连结FD。
∵AB为直径,
∴AD⊥BD
∵FD=FE(=FA)
∴∠FED=∠FDE
∵∠CDE=∠BDO=∠B
∠FEB+∠B=90°
∴∠FDE+∠CDE=90°
即FD⊥CD
∴CD是△ADE的外接圆的切线。
方法二、作垂线,证明半径
若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作该直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径。
例3 如图(3)所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD ⊥L于D,且AC+BD=AB。求证:直线L与⊙O相切。
证明:过O作OE⊥L于E。
∵AC⊥L,BD⊥L,
∴AC∥OE∥BD。
又AO=OB,∴CE=CD
从而OE为梯形ACDB的中位线。
∴OE=(AC+BD)=AB
即垂足E到圆心O的距离等于半径。
故直线L与⊙O相切。
(三)课堂练习:
(2010年天水市适应训练)以RtΔABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接OE、AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形?并在此条件下求
sin∠CAE的值.
四、课堂小结:
五、布置作业