高考专题专题推理与证明、新定义(第01期)-备考高考优质、原创预测试卷精选分项版数学(文)(原卷版)

数学《推理与证明》高考知识点一、选择题1．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。

2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年【答案】C【解析】【分析】按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。

【详解】根据规则，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C。

【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )A．1008⨯20182⨯B．100920182C．100820202⨯⨯D．100920202【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：0=⨯；112第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.8．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理；对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班;共10种.故选:B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案f n.中正六边形的个数是()由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-13．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B 【解析】 【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.14．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和B B ．B 和CC ．A 和CD ．无法判断【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论. 【详解】B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.15．用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．k【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解.【详解】用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边11112321k =+++⋅⋅⋅+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：111122121k k k +++⋯++-， 共()121212k k k +--+=项.故选：A 【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.16．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法： 甲说：我去过阿勒泰； 乙说：丙去过阿勒泰； 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰； 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】 【分析】先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话． 【详解】解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过； 如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过． 故选：C ． 【点睛】本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.17．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A．n - B．n -C．D．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n n a a ----⋅=故选：C.【点睛】 本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.18．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得12x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( ) A ．2B ．32C ．3D ．53 【答案】B【解析】【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.【详解】232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x = 23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴ 故选：B【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.19．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

专题13 推理与证明、新定义一．基础题组1. (2009上海,文14)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)为报刊零售点.请确定一个格点__________为发行站,使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】(3,3)2. 【2008上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ）Ａ．»AB B ．»BCC ．»CD D ．»DA【答案】DAB C DO y Ω3. 【2006上海,文12】如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.【答案】44. 【2005上海,文16】用n 个不同的实数n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++Λ等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【答案】－1080。

新《推理与证明》专题解析(1)一、选择题1．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．2．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ） A ．甲 B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙【答案】D 【解析】 【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论. 【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立. 综上所述，甲与乙被录取. 故选：D. 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.3．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题5．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C【解析】【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A．1个B．5个C．7个D．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】 【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙 【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．13．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】 【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+，313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.14．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题15．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-16．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和B B ．B 和CC ．A 和CD ．无法判断【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论. 【详解】B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.17．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．18．已知()()()212f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ）A ．()21f x x =+ B ．()422x f x =+ C ．()11f x x =+ D ．()221f x x =+ 【答案】A 【解析】因为()()()212f x f x f x +=+,所以()()11112f x f x =++ ,因此()()()()()11112111221x x f x f x f x =+-=+⇒=+,选A.19．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ） A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 【答案】D【解析】【分析】 根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求．【详解】 当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．20．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.。

推理与证明一、选择题（每小题5分，共50分）1、 下列表述正确的是( ).①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是 （ )。

A.“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =”B 。

“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c ≠0）” D 。

“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）"3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α,直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ )A.大前提错误B.小前提错误 C 。

推理形式错误 D 。

非以上错误4、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。

(A)假设三内角都不大于60度； （B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D ） 假设三内角至多有两个大于60度。

5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( ）A.29B. 254C. 602 D 。

20046．设S （n)＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!,则（ ）A ．S （n)共有n 项，当n ＝2时,S(2）＝错误!＋错误!B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋错误!＋错误! C ．S （n)共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝错误!＋错误!＋错误!D ．S(n)共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝错误!＋错误!＋错误!7．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝错误!，若关于x 的不等式（x －a)⊙(x＋1－a）＞0的解集是集合｛x|－2≤x≤2,x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是( ) A．－2≤a≤2 B．－1≤a≤1 C．－2≤a≤1 D．1≤a≤28．已知f(x）为偶函数,且f（2＋x)＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2x，若n∈N＊，a n＝f(n），则a2006＝（）A．2006 B．4 C．错误!D．－49．函数f（x)在[－1，1］上满足f（－x）＝－f(x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ） B． f（cosα）＞f（sinβ)C．f(cosα)＜f（cosβ） D．f（sinα)＜f（sinβ）10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖",乙说：“甲、丙都未获奖"，丙说:“我获奖了”,丁说：“是乙获奖"。

推理与证明【考纲要求】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 【知识网络】【考点梳理】考点一：合情推理与演绎推理1．推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．2．合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称推 理 与 证 明归纳推 理证 明合情推理演绎推理综合法分析法直接证明类比间接证明反证法类比．3．演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 要点诠释：合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看：①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

【最新】数学《推理与证明》高考复习知识点一、选择题1．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．2．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需T i分钟，假设T i各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A．从T i中最大的开始，按由大到小的顺序排队B．从T i中最小的开始，按由小到大的顺序排队C．从靠近T i平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D．任意顺序排队接水的总时间都不变【答案】B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.4．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.7．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．8．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】 【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,==+=;n f f5,(5)(4)516==+=.n f f6,(6)(5)622故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几A．二B．三C．四D．五【答案】C【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．故今天是周四．故选：C．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ） A ．912392a a a a =L B ．912392a a a a ++++=LC ．123929a a a a L =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯L【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.14．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B15．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案. 【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.16．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（）．（取lg20.3010,lg30.4771==）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解析】【分析】由折线长度变化规律得到n次构造后，曲线的长度为1444333n nnl a a-⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，建立不等式41003na a⎛⎫≥⎪⎝⎭，利用对数运算求解.【详解】设原线段长为a，经过n次构造后，曲线的长度为n l，则经过1次构造后，曲线的长度为14433 a al=⨯=，经过2次构造后，曲线的长度为221444333al a⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，经过3次构造后，曲线的长度为331144443333al a⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，依次类推，经过n次构造后，曲线的长度为1444333n nnl a a-⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，则41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以43lg10022log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3n ≥====-⨯-， 所以至少需要通过构造的次数是17. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.17．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法： 甲说：我去过阿勒泰； 乙说：丙去过阿勒泰； 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰； 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】 【分析】先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话． 【详解】解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过； 如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过． 故选：C ． 【点睛】本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.18．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ） A ．甲同学三个科目都达到优秀 B ．乙同学只有一个科目达到优秀 C ．丙同学只有一个科目达到优秀 D ．三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C 【解析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案.【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B错误，C正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定故选：C【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.19．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙【答案】B【解析】【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证20．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.。

2021届押题01英语新高考答案与解析第一部分听力1~5．【答案】ACAAB 6~10．【答案】ACABC11~15．【答案】ABBCA 16~20．【答案】BAABC第二部分阅读第一节A篇【解题导语】本文是一篇应用文。

介绍了世界上四个观鸟的好地方以便游客去欣赏，由此了解和享受大自然给人们带来的快乐。

21．【答案】A【解析】细节理解题。

根据第一段第二句“It is a wonderful way to learn about and enjoy many of the delights of nature.”可知，通过观鸟可以让人们了解并享受大自然的许多乐趣。

故选A。

22．【答案】C【解析】细节理解题。

根据Hakalau Forest, Hawaii中的第一句“....a fantastic destination to see some of Hawaii’s unique birds.”可知，在Hakalau Forest, Hawaii这个地方是观赏夏威夷稀有鸟类的绝佳去处。

故选C。

23．【答案】A【解析】细节理解题。

根据Ramsey Canyon Preserve, Arizona第一句中“watching hummingbirds”可知，蜂鸟类的动物喜欢居住在峡谷中。

故选A。

B项在Klamath Basin Complex, Oregon；C项和D项出现在Hakalau Forest, Hawaii；故排除BCD。

B篇【解题导语】本文是一篇记叙文。

叙述了作者受朋友邀请去野外徒步旅游和野营的经过。

分析了野营的地点选择，在新冠流行期间的旅行个人防护、游伴的挑选等事宜。

24．【答案】C【解析】细节理解题。

根据第二段第一句可知，朋友把食物放在了熊不常出没的地方，显然是为了食物不被熊吃掉或毁坏。

故选C。

25．【答案】B【解析】细节理解题。

根据第二段第三句可知，由于新冠疫情肆虐，人们外出旅游的机会少了，给动物留出了宽阔的自由活动空间。

【最新】《推理与证明》专题解析一、选择题1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ）A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学【答案】D【解析】【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D .【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．观察下图：12343456745678910L L则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017B ．1009C ．1010D ．1011 【答案】B【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n =故选：B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】【分析】 由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a , 所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.4．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 132 10 20 1432 152 15 1565 6 12 161 5 10S=+++++=.所以6603020151210147故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.5．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A．1个B．5个C．7个D．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2 【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<， 2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n n n n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( ) A ．911 B ．1011 C ．1112 D ．910【答案】B【解析】【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解． 【详解】 由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+， a 2001011=， 故选B ．【点睛】 本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班;共10种.故选:B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考8】老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况， 四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了． （ ） A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙【答案】D 【解析】试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D ． 考点：合情推理．2. 【山东潍坊一中2016届高三10月考5】下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则A ∠+B ∠=︒180B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{}n a 中，11=a ，)2()11(211≥-+=-n a a a n n n ，计算432,,a a a ，由此推测通项n a 【答案】A考点：归纳推理、演绎推理、类比推理的区别。

3. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考16】 定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >= 122max{,2}()nn n a a a n N *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为 ．【答案】7254考点：周期数列．【名师点晴】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（象本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题． 4. 【山东潍坊一中2016届高三10月考13】观察下列式子：232112<+，353121122<++，474131211222<+++，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为 ． 【答案】1n 12n )1(131211222++<+++++n 【解析】试题分析：由归纳推理易知，答案为1n 12n )1(131211222++<+++++n 。

【高中数学】《推理与证明》知识点汇总一、选择题1．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.3．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】设画n条直线,最多可将面分成()f n个部分,1,(1)112n f==+=Q;2,(2)(1)24n f f==+=;3,(3)(2)37n f f==+=;,4,(4)(3)411n f f==+=; ,5,(5)(4)516n f f==+=;6,(6)(5)622n f f==+=.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.4．设a，b，c都大于0，则三个数1ab+，1bc+，1ca+的值（）A．至少有一个不小于2 B．至少有一个不大于2 C．至多有一个不小于2 D．至多有一个不大于2【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +< 则1116a b c b c a +++++<，与前面矛盾 所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】【分析】 由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a ,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 13 2 10 2014 32 152 151565 6 12 161 5 10 所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =①22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】D【解析】【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④.【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22AB FC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D.【点睛】 本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.8．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ）A ．dB ．bC ．cD ．a【答案】A【解析】【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A.【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几A．二B．三C．四D．五【答案】C【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．故今天是周四．故选：C．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．11．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A. N B N A ==*,B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. {}R B x x A =<<=,10D. Q B Z A ==,2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二．能力题组4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ）A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为045 C. 平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为0605.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则()lnln b a b a ++=； ②若0,0a b >>，则()ln ln ln ab a b +++=+；③若0,0a b >>，则ln ln ln a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭ ④若0,0a b >>，则()lnln ln ln 2a b a b ++++≤++6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】当1,<∈x R x 时，有如下表达式： x x x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++2102102102210210111dxx dx x dx x xdx dx n从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C .231012n n n n n 1111111C C C C 2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 231123n+1n+1n+1n+1n+111111=C C C C n+12222n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=11111n+12n +⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦113112n n +⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，， 第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+， 正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-， 六边形数 2(,6)2N n n n =-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设12,,,n P P P ⋅⋅⋅为平面α内的n 个点.在平面α内的所有点中，若点P 到点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的距离之和最小，则称点P 为点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是_______.（写出所有真命题的序号）三．拔高题组9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设数列{}n a ：111,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(1),,(1)k k k k k --------⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个，，即当(1)(1)()22k k k k n k N *-+<≤∈时，记1(1)k n a k -=-.记12()n n S a a a n N *=++⋅⋅⋅+∈. 对于l N *∈，定义集合{|l n p n S =是n a 的整数倍，n N *∈，且1}n l ≤≤.（1）求集合11p 中元素的个数；（2）求集合2000p 中元素的个数.而(1)(21)(22)(1,2,,22)i i j a i j i +++=-+=⋅⋅⋅+，∴(1)(21)(1)(21)(22)(21)(1)(22)i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是(1)(21)i i j a +++(1,2,,22)j i =⋅⋅⋅+的倍数，故当(21)l i i =+时，集合l p 中元素的个数为213(21)i i ++⋅⋅⋅+-=，。

第十三章 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【长春市普通高中2015届高三质量监测（三）文12】对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数： (i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x ≥≥≤+时，总有1212()()()f x f x f x x ≥++成立. 则下列三个函数中不．是M 函数的个数是（ ） ① 2()f x x =② 2()1f x x =+③ ()21xf x =- A. 0B. 1C. 2D.3 【答案】A.考点：函数新定义问题.2.【辽宁大连2015年高三第一次模拟考试文12】定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数，① 对任意的x ，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）（A ）2()f x x = （B ） ()21xf x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+ 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，当[0,1]x ∈时，2()0f x x =≥，当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，()22212121212()2f x x x x x x x x +=+=++，221212()()f x f x x x +=+，[]121212()()()20f x x f x f x x x +-+=≥，所以()f x 是M 函数；对于B ，当[0,1]x ∈时，()210xf x =-≥，当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，1212()21221x x x x f x +=-=-， 1212()()222x x f x f x +=+-，[]()()121212()()()21210x x f x x f x f x +-+=--≥，所以()f x 是M 函数；对于C ，当[0,1]x ∈时，2()ln(1)0f x x =+≥，当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，()22212121212()ln 1ln 21f x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+=++=+++⎣⎦⎣⎦，22222212121212()()ln 1ln 1ln(1)f x f x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦，由于22222212121212121221(1)(2)0x x x x x x x x x x x x +++-+++=->[]1212()()()0f x x f x f x +-+≥，所以()f x 是M 函数；对于D ，当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，()22212121212()121f x x x x x x x x +=++=+++，221212()()2f x f x x x +=++，[]()212121212()()()2110f x x f x f x x x x x +-+=-≤+-≤，所以()f x 不是M 函数，故选D.考点：新定义函数问题、作差法比较大小.3.【黑龙江哈尔滨第九中学2015届高三第三次高考模拟文16】已知{}n a 满足()*+∈⎪⎭⎫⎝⎛=+=N n a a a nn n 41,111， +⋅+⋅+=232144a a a S n 14-⋅n n a 类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=-n n n a S 45___________. 【答案】n .考点：类比推理、数列的应用. 二．能力题组1. 【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（一）数学文12】设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使得()()fx fy =-成立，则称函数()f x 为“Ω函数” 给出下列四个函数：①y x =sin ；②2xy =；③11y x =-；④()ln f x x =, 则其中“Ω函数”共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【答案】C考点：新概念.2.【吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试文12】若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”，有下列三个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线4=+221y x C :和曲线0=4+2+4-+222y x y x C :为“相关曲线”；②曲线1=-4221x y C :和曲线1=4-222y x C :是“相关曲线”； ③曲线：1C x y ln =和曲线:2C x x y -=2为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C设直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，切点分别为()00,ln x x P 和()2111Q ,x x x -，1y x'=，21y x '=-，所以分别以P 和Q 为切点的切线方程为00ln 1xy x x =+-，()21121y x x x =--，由1021121ln 1x x x x ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩得：20001ln 102x x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，令()200001ln 12x h x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，则()02300011144h x x x x '=--，令()00h x '=，得：0x =或0x =当00x <<时，()00h x '<，当x >时，()00h x '> ，所以()20min10h x =+->⎡⎤⎣⎦，所以方程20001ln 102x x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭无解，所以不存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，所以③错误．所以正确命题的个数是2，故选C ．考点：1、推理与证明；2、圆与圆的位置关系；3、直线与圆锥曲线的位置关系；4、导数的几何意义；5、利用导数研究函数的最值．3.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（一）数学文16】我们把离心率215+=e的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法： ①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 _________ ．【答案】①②③④对于③()2221222212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得()22222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-b y a c ，解得a b y 2±=，a b NF 22=，由对称关系知2ONF ∆为等腰直角三角形，a b c 2=∴，即ac b =2，由①可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线. 考点：新概念.4.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（二）数学文16】设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数()f x x =是“似周期函数”； ③函数-()2xf x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．满足条件的命题序号） 【答案】①③④④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则x T T x T x ωωωωcos )cos()(cos =+=+，由诱导公式，得，当1=T 时，Z k k ∈=,2πω,当1-=k 时，Z k k ∈+=,)12(πω,所以“,k k ωπ=∈Z ”；故选①③④. 考点：新定义题. 三．拔高题组1. 【辽宁朝阳三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟文16】定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】3(3,]4--考点：1、新定义；2、等价转化的思想；3、分离参数法求参数的取值范围；4、一元二次函数的最值问题.。

一．基础题组1.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试文7）“指数函数(1)x y a a =>是增函数，(1)y x αα=>是指数函数，所以(1)y x αα=>是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） A ．推理完全正确 B.大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确 【答案】C 【解析】试题分析：以上推理中，(1)y x αα=>是幂函数，不是指数函数，所以小前提不正确，故选C. 考点：演绎推理.2.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试文8）想沏壶茶喝.洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，洗茶壶、茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，烧开水需15分钟，沏茶需1分钟. 最省时的操作时间是（ ）A.17分钟B.18分钟C.19分钟D.20分钟 【答案】B考点：统筹安排，最省时的判断方法.3.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文3）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）A ．48，49B ．62，63C ．75，76D ．84，85 【答案】D 【解析】试题分析：从表中可以看出，靠窗子的号码有1,6,11,16,......;5,10,15,.......即三座一侧靠窗子的号码是5的倍数，故选D.考点：归纳推理.4.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习文8）已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料【答案】A所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料. 考点：推理与证明.5.（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）文14）设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.①若{,3,6}M =2，则U M ð表示的6位字符串为 ； ②若{1,3}A =, 集合A B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是 .【答案】100110；4 【解析】试题分析：由题意{,3,6}M =2表示的6位字符串为011001，故U M ð表示的6位字符串为100110；若{1,3}A =,集合A B 表示的字符串为101001，则集合B 中必含有4，且至多含有1,3，故满足的集合B 有}4{，}4,1{，}4,3{，}4,3,1{考点：新定义集合问题6.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文11）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ． 【答案】丙 【解析】试题分析：若甲是获奖歌手，则四句全是假话，不合题意； 若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假话，不合题意； 若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不合题意；当丙是获奖歌手时，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意.故答案为丙. 考点：合情推理.二．能力题组1.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）文8）对于集合A ，B ，定义{,}A B x y x A y B +=+∈∈，下列命题：①A B B A +=+；②()()A B C A B C ++=++；③若A A B B +=+，则A B =；④若A C B C +=+，则A B =．其中正确的命题是（ ）(A) ① (B) ①② (C) ②③ (D) ①④ 【答案】B考点：新定义、集合的运算2.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文14）如图,△ABC 是边长为1的正三角形,以A 为圆心,AC 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA 延长线于1A ，记弧1CA 的长为1l ；以B 为圆心，1BA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB 延长线于2A ，记弧12A A 的长为2l ；以C 为圆心，2CA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC 延长线于3A ，记弧23A A 的长为3l ，则123+l l l += .如此继续以A 为圆心，3AA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交1AA 延长线于4A ，记弧34A A 的长为4l ，，当弧长8n l =π时，n = . 【答案】4π 12 【解析】试题分析：根据题意所作圆弧的圆心角均为23π，半径分别为1,2,3，所以()123212343l l l ππ++=⨯++=； 同时283n l n ππ=⨯=，解得12n =.所以答案为：4π 12 考点：1.弧长公式；2.推理.三．拔高题组1.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文14）已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①2{(,)|+1}M x y y x ==； ②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|22}xM x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是 ． 【答案】③④考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.2.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文14）已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合22={(,)|4}A x y x y +=，点P 的坐标为，那么(,)d P A =2；如果点集A 所表示的图形是半径为2的圆，那么点集{|(,)1}D P d P A =≤所表示的图形的面积为 ．【答案】8π考点：新定义题.3.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试文17）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+. （Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b+=.【解析】试题分析：第一问应用分析法证明等式即可，第二个类比着可以得出结果，属于基础题，很简单. 试题解析：（Ⅰ）证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+， 只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+， 即证22sin 1cos αα=-， 上式显然成立，故原等式成立．……5分（Ⅱ）圆的性质中，经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用00(,)M x y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b+=一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b+=. ……10分 考点：分析法证明等式，类比推理.：。

1. 【2014届山东高三数学预测卷（理科）】对于实数a 和b ，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-+-=*ba ab b ba ab a b a ,,1222,设()()21f x x =-*()1x -，且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是（ ） A ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭2.【2014年高考原创预测卷（新课标理科）】对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行线:1l 1m kx y +=和:2l 2m kx y +=（21m m <），使得当x ∈D 时，21)(m kx x f m kx +≤≤+恒成立，则称函数)(x f 在（D x ∈）有一个宽度为d 的通道. 有下列函数：①xx f 1)(=；②x x f sin )(=；③1)(2-=x x f ；④1)(3+=x x f .其中在),1[+∞上有一个通道宽度为1的有函数是（ ）A. ①②B. ①③C.③④D. ①④3.【2014年高考原创预测卷（浙江理科）】设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数xxe e xf +-=11)(，则函数()[()][()]g x f x f x =+-的值域为（ ） A.}1{- B. }1,0,1{- C. }0{ D. }0,1{- 4.【2014年高考原创预测卷三（广东版）】已知“有序整数对”按如图所示的规律排列:()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,()()3,1,1,4,()()()2,3,3,2,4,1,L L,则第62个“有序整数对”是( )A.()7,5B.()8,4C.()9,3D.()10,25.【2014年高考原创预测卷（浙江版文科）】在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP =+u u u r u u u ra ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a (),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集(){},|0,0x y x y Ω=>>，则()1,2=-b 为Ω的一个向量周期；④若平面点集(){},|sin cos x y y x x Ω==-，则,02π⎛⎫= ⎪⎝⎭c 为Ω的一个向量周期．其中正确的命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46.【学科网学易大联考浙江版】对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .7. 【2014年高考原创预测卷（新课标）理】已知下列等式：222222222222222211135171357949135********=-+=-+-+=-+-+-+=观察上式的规律,写出第7个等式________________________________________.8. 【2014年高考原创预测卷（山东版）】函数()f x 的定义域为A ,若12,x xA ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如,函数()1()f x x x =+∈R 是单函数下列命题:①函数2,0()2,0x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩是单函数;②函数222,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+-<<2⎪⎩是单函数;③若()f x 为单函数, 12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠;④若函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()f x 一定是单函数. 其中真命题是 (写出所有真命题的编号).9. 【2014届山东高三数学预测卷（理科）】已知下列等式：112=17531222=+-499753122222=+-+-971311975312222222=+-+-+-观察上式的规律,写出第n 个等式________________________________________.10. 【2014年高考原创预测卷（江苏版）】（本小题满分10分）已知函数()sin f x x x =-, 数列{n a }满足：1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==L （1）用数学归纳法证明：01n a <<； (2) 证明：3116n n a a +<．。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ ）（A ）11010 （B ）01100（C ）10111 （D ）00011 2.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试理7）“指数函数(1)x y a a =>是增函数，(1)y x αα=>是指数函数，所以y x α=(1)α>是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ）A ．推理完全正确B.大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确二．能力题组1.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理8）有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2. 如图，下面的四张卡片的一个面分别写有,,2,3P Q ，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（ ）A.第一张，第三张B.第一张，第四张C.第二张，第四张D.第二张，第三张2.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试理16）“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),……,则第50个数对是 .3.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理14）已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是．三．拔高题组Q P 2 31.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理14）已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A =1；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为____．2.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个．③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个．④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线．其中所有正确命题的序号为．3.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试理17）（Ⅰ）证明： sin 1cos 1cos sin αααα-=+. （Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18（C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn （11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

专题十四 推理与证明、新定义试题部分1.【2015高考湖北，理9】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 2.【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 3.【2015高考浙江，理6】设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立4.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ） A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油5.【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩ 其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 ． 6.【2015高考山东，理11】观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=L .7.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.8.【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．9.【2015高考上海，理23】对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =.（1）验证()sin 3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =； （3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .参考答案1。

第十三章 推理与证明、新定义试题部分1.【2015高考广东，文10】若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 2.【2015高考浙江，文8】设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ） A ．若t 确定，则2b 唯一确定 B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定3.【2015高考湖北，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．304.【2015高考陕西，文16】观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为______________________.5.【2015高考山东，文14】定义运算“⊗”： 22x y x y xy -⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是 .参考答案1.【答案】D2.【答案】B 因为1sin a b t +==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.3.【答案】C .由题意知，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，所以由新定义集合A B ⊕可知，111,0x y =±=或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时，123,2,1,0,1,2,3x x +=---，122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有：7535⨯=个；当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=，由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个，故应选C .4.【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++观察等式知：第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是111122 n n n++⋅⋅⋅+++.故答案为11111111 1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++5【答案】2。

新《推理与证明》专题解析(1)一、选择题1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学D．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学【答案】D【解析】【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】f n个部分,设画n条直线,最多可将面分成()1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=;3,(3)(2)37n f f ==+=;,4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=;6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.3．二维空间中圆的一维测度(周长)2l r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ） A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π 【答案】A【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．在平面直角坐标系中,方程1x y a b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca ++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=【答案】A【解析】【分析】 平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y z a b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y z a b c++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 13 2 10 20S=+++++=.所以6603020151210147故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.7．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】【分析】 可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.8．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ）A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）A ．5748b b b b >B ．7845b b b b >C ．5748b b b b +<+D ．7845b b b b ++<【答案】C【解析】【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+- 32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立．故选：C【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．11．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k + B ．112122k k +++C ．11121221k k k +-+++D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C【解析】【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。