2019年中考数学抢分训练之“小题狂做”：相似图形(含解析)

1. （2019年四川内江市）如图，将△ ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点 B 落在AC 边上的B i 处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 仁还原纸片后，再将△ BDE沿着过BD 的中点D i 的直线折叠，使点 B 落在DE 边上的B 2处， 痕D i E i 到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第 D n -i E n -i ,到AC 的距离记为h n .若h i = i ，则h n 的值为（h 4、h 5、……h n ,再对h n 进行计算变形即可.【解答】解：••• D 是BC 的中点，折痕 DE 到AC 的距离为 •••点B 到DE 的距离=h i = i ,•••D i 是BD 的中点，折痕 D i E i 到AC 的距离记为h 2, •••点 B 到 D i E i 的距离=h 2= i^h i = i+ ,22同理：h 3= h 2+—h i=i+ 1 + 丄,42 4h 4=h 3+ h i = i+-!-+—+—:: ::-:;.i+l +l +l + + 1 2 1 hn = i+_ —+ +__+••• + ------- = 2 — --------2 4 8211-1 2n_1故选：C .【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发 现规律得出一般性的结论.2. （20i9 年四川内江市）如图，在△ ABC 中，DE // BC , AD = 9, DB = 3, CE = 2,贝U AC 的 长为（）A . 6B . 7C . 8D . 9【分析】利用平行线分线段成比例定理得到二=「，利用比例性质求出AE ,然后计算 AE+EC 即可.【解答】解：• DE // BC ,称为第二次操作，折 n 次操作后得到折痕A . i+— 2n_1B . 1 + 2nC . 2 - 尹1【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出 D . 2 -2nh 2 = -L ，依次得出h 3、 ::hiAD = AE 即9 = AEDB 丽’3~••• AE= 6,•. AC= AE+ EC= 6+2 = 8.故选：C.【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.3. （2019年广西玉林市）如图，AB // EF // DC , AD // BC, EF与AC交于点G,则是相似三角形共有（）A . 3对B . 5对C. 6对 D . 8对【分析】图中三角形有：△ AEG ,△ ADC , CFG , △ CBA，因为AB // EF // DC , AD // BC,所以△ AEGADC s CFGCBA，有 6 种组合【解答】解：图中三角形有：△ AEG,^ ADC , CFG , △ CBA ,T AB// EF // DC , AD // BC• △AEG s^ ADC s CFGCBA共有 6 个组合分别为：AEGADC , △ AEG s CFG , △ AEGCBA, △ ADC s CFG , △ ADC CBA , CFG CBA故选：C.【点评】本题主要考查相似三角形的判定.4. （2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ ABC边AB , AC上的点，/ ADE = /ACB , 若AD = 2 , AB= 6 , AC= 4,贝U AE 的长是（）A . 1B . 2 C. 3 D. 4【分析】证明△ ADE ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】解：•••/ ADE = / ACB ,Z A=Z A,• △ ADEACB ,.AD AE 0n2 AE-- = ，即__= ,AC AB 4 6解得，AE = 3,故选：C.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5. （2019年海南省）如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AB= 5, BC = 4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ // AB交BC于点Q, D为线段PQ的中点，当BD平分/ ABC时，PQ // AB ,• / ABD = Z BDQ ，又/ ABD = Z QBD , • / QBD = Z BDQ , -QB = QD , • QP =2QB , PQ / AB ,• △ CPQ s^ CAB ,CP^Q = PQ:=7T =7T 解得，CP ==,13AP = CA - CP = ,13故选：B .【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定 理是解题的关键.6. （2019年黑龙江省哈尔滨市）如图，在？ABCD 中，点E 在对角线AB 于点M , EN // AB ,交AD 于点N ,则下列式子一定正确的是（D【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质. 【解答】解：•••在？ABCD 中，EM // AD.易证四边形AMEN 为平行四边形15 13AC ,根据角平分线的定义、平行线的性质得到/C .13【分析】根据勾股定理求出BDQ ,得到QB = QD ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可. 【解答】解：•••/ C = 90°, AB = 5, BC = 4,D .二13QBD = Z2QBBD 上，EM // AD ，交)Alt NE A ------- = ----- .-'i rir. Alt ANB =B .「’ MBC BEC . - r.riD .「厂BE EM)•••易证△ BEM s\ BAD S \ END、' =亠=-,A 项错误BM BN BE=—,B 项错误AD=丄_=二_, C 项错误ME BE=二_=上_, D 项正确ME ME故选：D .【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相 似三角形，利用相似三角形的性质求解.7. （2019年黑龙江省鸡西市）如图，在平行四边形ABCD 中，/ BAC = 90°, AB = AC ,过点A 作边BC 的垂线AF 交DC 的延长线于点 E ,点F 是垂足，连接 BE 、DF , DF 交AC 于点O .则下列结论： ①四边形ABEC 是正方形；②CO : BE = 1: 3;③DE =「BC ; ④S 四边形OCEF = Ss OD ,正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4【分析】①先证明厶ABF ◎△ ECF ，得AB = EC ,再得四边形ABEC 为平行四边形，进而 由/BAC = 90。

数据的描述[来*一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)1．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为( )A．21×10－4千克B．2.1×10－6千克 C．2.1×10－5千克 D．2.1×10－4千克2．2019年5月28日，我国《高效节能房间空气调节器惠民工程推广实施细则》出台，根据奥维咨询(AVC)数据测算，节能补贴新政能直接带动空调终端销售1.030千亿元．那么1.030保留两个有效数字的近似数是( )A．1 B．10 C．1.0 D．1.03[中~国教%@育&出版*][:3．小林家今年1～5月份的用电量情况如图所示．由图可知，相邻两个月中，用电量变化最大的是( ) A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月4．某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2∶3∶5，如图所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是( )[来~#源*:中&国教育出版@]A．扇形甲的圆心角是72° B．学生的总人数是900人C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人 ;D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人5．许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断．根据测定，一般情况下一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉3.5千克水，若1年按365天计算，这个水龙头1年可以流掉( )千克水．(用科学记数法表示，保留3个有效数字)[:A．3.1×104 B．0.31×105 C．3.06×104 D．3.07×104二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)6．某种原子直径为1.2×10－2纳米，把这个数化为小数是________纳米．7．为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作.2019年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330 000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为________毫克/千瓦时．8．如图是中国，美国，日本，澳大利亚四个国家1996年森林面积的统计图．(单位：km)(1)图中的树高表示一个__________；[w~ww@.%zzstep#.&com](2)美国的森林面积大约是____________森林面积的两倍．[*:%zzs#tep.&^com][:9．如图是七年级(1)班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是________人．[:三、解答题(共15分)10．我市某化工厂从2008年开始节能减排，控制二氧化硫的排放．图①，图②分别是该厂2008－2019年二氧化硫排放量(单位：吨)的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．(1)该厂2008－2011年二氧化硫排放总量是________吨；这四年平均每年二氧化硫排放量是________吨．(2)把图中折线图补充完整．(3)2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是________度，2019年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是________．参考答案1．C 解析：0.000021＝2.1×10－5；故选C.[@:#%zzste~&p]2．C 解析：因为1.030保留两个有效数字是1，0，所以1.030保留两个有效数字的近似数是1.0；故选C.3．B 解析：1月至2月，125－110＝15千瓦时，2月至3月，125－95＝30千瓦时，3月至4月，100－95＝5千瓦时，4月至5月，100－90＝10千瓦时，所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是2月至3月．故选B.4．D 解析：A.根据甲区的人数是总人数的22＋3＋5＝15，则扇形甲的圆心角是：15×360°＝72°，故此选项正确，不符合题意；B.学生的总人数是：180÷15＝900人，故此选项正确，不符合题意；C.丙地区的人数为：900×510＝450，乙地区的人数为：900×310＝270，则丙地区的人数比乙地区的人数多450－270＝180人，故此选项正确，不符合题意；D.甲地区的人数比丙地区的人数少270－180＝90人，故此选项错误．故选D.5．D 解析：3.5×24×365＝30660＝3.066×104≈3.07×104.故选D.[中%国教*~育^出版@]6．0.012 解析：∵0.012＝1.2×10－2，∴1.2×10－2＝0.012，故答案为：0.012.7．3.30×105 解析：根据题意330 000用科学记数法表示为3.30×105人．故答案为：3.30×105.8．(1)一个国家森林面积的数量 (2)澳大利亚解析：(1)一个国家森林面积的数量；(2)∵美国的森林面积是295 000，澳在利亚的森林面积是146 000，∴295 000÷146 000≈2，∴美国的森林面积大约是澳大利亚森林面积的两倍．9．5 解析：∵参加外语小组的人数是12人，占参加课外兴趣小组人数的24%，∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：12÷24%＝50(人)，∴绘画兴趣小组的人数是50×(1－14%－36%－16%－24%)＝5(人)．故答案为5.10．解：(1)∵该厂2009年二氧化硫的排放量20吨，占2008－2019年二氧化硫的排放总量的20%.∴该厂2008－2019年二氧化硫的排放总量是 20÷20%＝100(吨)， ∴2010年二氧化硫排放量是100×30%＝30(吨)，2019年二氧化硫排放量是100－40－20－30＝10(吨)，∴这四年二氧化硫排放量分别是40、20、30、10，∴这四年二氧化硫排放量的平均数为：100÷4＝25(吨)， 故答案为：100、25.(5分)[^:*&中教%~](2)正确补全折线图(如图所示)，(5分)[:数理化](3)∵2008年二氧化硫的排放量是40吨，∴2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是 360×40100＝144°， ∵2019年二氧化硫的排放量是10吨，∴2019年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是10100×100%＝10%.(5分)故答案为：144、10%.ep.^com&@]。

2019年中考数学真题汇编----图形的相似与位似一.选择题1. （2019•浙江杭州•3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．2. （2019•广西贺州•3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）A．5B．6C．7D．8【分析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例＝，即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BC＝6，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．3. （2019•甘肃省庆阳市•3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．二.填空题1. （2019•江苏无锡•2分）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为　25　．【分析】如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明△HAC≌△HAM（AAS），推出AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m图x）2，推出x＝m，由EK∥CH，推出＝，推出＝，可得AK＝，求出AC即可解决问题．【解答】解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，∴△EFG∽△ACB，∴EF：FG：EG＝AC：BC：AB＝5：12：13，设EF＝5k，FG＝12k，∵×5k×12k＝，∴k＝或图（舍弃），∴EF＝，∵四边形EKJF是矩形，∴KJ＝EF＝，设AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，∵∠ACH＝∠AMH＝90°，∠HAC＝∠HAM，AH＝AH，∴△HAC≌△HAM（AAS），∴AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m图x）2，∴x＝m，∵EK∥CH，∴＝，∴＝，∴AK＝，∴AC＝AK+KJ+CJ＝++1＝，∴BC＝××12＝10，AB＝××13＝，∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝+10+＝25，故答案为25．【点评】本题考查动点问题，轨迹，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．2. （2019•江苏无锡•2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为　8　．【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD ＝x，则DG＝8图x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8图x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8图x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8图x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．3. （2019•江苏扬州•3分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D 1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= 40380 ．【考点】：相似三角形，比例性质【解析】：∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC ∴CB CD AB E D 111=BCBD AC F D 11=∵AB =5 AC =4∴CB CD E D 1115=BCBD F D 114=∴14511111==+=+BCBCBC BD CB CD F D E D ∴4D 1E +5D 1F =20有2019组，即2019×20=40380【答案】：403804. （2019•江西•3分）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（4，0）， （4，4），（0，4），点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，DA =1， CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为P (2，0）， P (，0）， P (，0） .x图2图1解析：设P (m ,0）如图1，∠CPD=90°，△OCP∽△PAD∴即：∴m=2 ∴P(2，0）如图2，∠CPD=90°，△OCP∽△APD ∴即：∴m=∴P(，0）P(，0）综上分析可知：P(2，0），P(，0），P(，0）5. （2019•浙江杭州•4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　2（5+3）　．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或图2a（舍弃），∴PA′＝PD′＝2a，∵•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．故答案为2（5+3）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6.（2019•四川自贡•4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝ ．【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D ＝∠CBE ，∴CD ＝BC ＝6，∴△AEB ∽△CED ，∴，∴CE ＝AC ＝×8＝3，BE ＝，DE ＝BE ＝×＝，故答案为．【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．7.（2019•天津•3分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE =5，则GE 的长为.【答案】1349【解析】因为四边形ABCD 是正方形，易得△AFB ≌△DEA ，∴AF =DE =5，则BF =13.又易知△AFH ∽△BFA ，所以，即AH =，∴AH =2AH =，∴由勾股定理BF AF BA AH136013120得AE =13，∴GE =AE -AG =13498.（2019•河南•3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，点E 在边BC 上，且BE ＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a 的值为　或　．【分析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【解答】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC图BE＝a图a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．9.10.三.解答题1. （2019•江苏宿迁•12分）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得＝，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．（2）利用相似三角形的性质证明即可．（3）点G的运动路程，是图③图1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴＝，∴＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③图1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC＝∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，∴的长＝＝，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．2. （2019•江西•9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下研究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A 固定在桌面上，图2是示意图活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时铅笔AB的中点C与点O重合。

2019年中考数学考前小题狂做专题26 图形的相似与位似（含解析）1．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：92. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DE=21；②SSCOBDOE△△=21；③AD=OE；④SSADEODE△△=31.其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个（第2题）3. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．DE=BC B． =C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：24. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△A BD的面积为15，那么△ACD的面积为（）A．15 B．10 C． D．55. 在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．6. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC 于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）8．宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作ADGH ，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（D）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH9．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：110．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．参考答案1.【考点】位似变换．【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】解：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=，故选D【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．2.【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE是△ABC的中位线，∴DE=21BC ，即BC DE =21； 故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB∴S S COBDOE △△=（DE）2=(21）2=41,故②错误；③∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD =BC DE△DOE ∽△C OB ∴OB OE =BC DE∴AB AD =OB OE， 故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。

第六章《图形的相似》（探索三角形相似的条件）一．选择题1．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或二．填空题（共6小题）7．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有对．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM= 时，△OMN与△BCO相似．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时，△AED与△ABC相似．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．三．解答题（共16小题）13．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D 作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？26．如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？28．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．（1）如图②，当β= °（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形，（不含全等三角形），并选一对证明．参考答案与解析一．选择题1．（2019•河北）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2．（2019•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P 点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA 与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时， =，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时， =，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选D．【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形．6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．二．填空题7．（2019•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（0，），（2，0），（，0）．【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到=，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABC，∴=，∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB==5，∵点C是AB的中点，∴AC=，∴=，∴AP=，∴OP=OA﹣AP=4﹣=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．故答案为（0，），（2，0），（，0）．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有16 对．【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE ∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．【解答】解：∵AD∥BF，∴△BFE∽△ADE，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠CBE，∵DE∥BP，∴∠E=∠PBA，∴△BFE∽△APB，∵AE∥DC，∴△BFE∽△CFD，∴△ADE∽△APB，∴△ADE∽△CFD，∴△APB∽△CFD，故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．故答案为16．【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM= 或时，△OMN与△BCO相似．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出==，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD===3，CE==，∵△OMN∽△BOC，∴==，即，∴OM=MN=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴===，即，解得：OM=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当不唯一，如∠ADE=∠C 时，△AED与△ABC相似．【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ACB．【点评】熟练掌握相似三角形的判定方法．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为2或4 秒．【分析】分两种情况：①E点在DC上；②E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．【解答】解：分两种情况：①如图1，E点在DC上，AE==，DP=，AP==，∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∴=，即=，解得t=2；△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．三．解答题13．（2019•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出==，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案．【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠GAF=45°，再加上公共角，于是可判断△EAD∽△EBA．【解答】解：有相似三角形，它们为△EAD∽△EBA．理由如下：∵△ABC和△AFG为等腰直角三角形，∴∠B=∠GAF=45°，而∠AED=∠BEA，∴△EAD∽△EBA．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．解决的关键是灵活运用相似三角形的判断．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE﹣AD即可得解．（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．【分析】首先由在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得△CDE∽△CAB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论．【解答】证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C是公共角，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CE=CA：CB，∴CD：CA=CE：CB，∴△DCE∽△ACB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△CDE∽△CAB是关键．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D 作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？【分析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论： =时，△BPQ∽△BAC，即=；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，然后方程解方程即可．【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，∵∠PBQ=∠ABC，∴当=时，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有 3 对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根据AB ∥CD 、AC ∥DE ，可得出△PCQ ∽△PAB ，△PCQ ∽△RDQ ，△PAB ∽△RDQ ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：（1）∵四边形ACED 是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE ，∠BCP=∠E ，∴△BCP ∽△BER ；同理可得∠CDE=∠ACD ，∠PQC=∠DQR ，∴△PCQ ∽△RDQ ；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ ，∵∠APB=∠CPQ ，∴△PCQ ∽△PAB ；∵△PCQ ∽△RDQ ，△PCQ ∽△PAB ，∴△PAB ∽△RDQ ．综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对．故答案是：4．（2）∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，∴BC=AD=CE ，∵AC ∥DE ，∴BC ：CE=BP ：PR ，∴BP=PR ，∴PC 是△BER 的中位线，∴BP=PR ， =，又∵PC ∥DR ，∴△PCQ ∽△RDQ ．又∵点R 是DE 中点，∴DR=RE ．===，∴QR=2PQ ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ ，∴BP ：PQ ：QR=3：1：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，由角的互余关系得出∠BAE=∠CEF，即可证出△ABE∽△ECF；（2）由（1）的结论和已知条件得出BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，得出，证出△AEF∽△ABE，即可得出结论．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）△ABE∽△ECF∽△AEF，理由如下：∵E为BC的中点，∴BE=CE=BC=AB，由（1）得：∴△ABE∽△ECF，∴=2，∴BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，∴DF=3a，∴AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∵=2，∴，又∵∠AEF=∠B=90°，∴△AEF∽△ABE，∴△ABE∽△ECF∽△AEF．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定理进行计算是解决（2）的关键．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？【分析】设x秒后△PCQ与△ACB相似；则CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．当，或时，△PCQ与△ACB相似，解方程即可．【解答】解：设x秒后△PCQ与△ACB相似．由题知，CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．∵∠C=∠C，当，或，△PCQ与△ACB相似．∴，或，解得：x=，或x=；∴秒或秒后△PCQ与△ACB相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两边成比例得出方程是解决问题的关键．26．如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．【分析】（1）设BP=x，则PD=10﹣x，由于∠B=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当=时，△ABP∽△PDC，即=，当=时，△ABP∽△CDP，即=，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长；（2）设BP=x，则PD=12﹣x，与（1）解答一样，易得=或=，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长．【解答】解：（1）存在．设BP=x，则PD=10﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣10x+36=0，此方程没有实数解；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为；（2）存在2个P点．设BP=x，则PD=12﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣12x+36=0，解得x1=x2=6；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为6或．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的运用．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（2）过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO=6，BO=8，∴AB===10，∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ=t，AP=10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴，即，解得t=＞6，舍去；②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即，解得t=，综上所述，t=秒时，△APQ与△AOB相似；。

《图形相似》提升训练.选择题（共14小题）1. 如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点落在BC 上点F 处，过点F 作FG 〃CD,连接EF, DG,下列结论中正确的有（） ① ZADG=ZAFG ；②四边形 DEFG 是菱形；③DG?=£A E ・EG ；④若 AB=4, AD=5,则 CE=1.2. 如图，在AABC 中，D 为 AB 边上一点，E 为 CD 中点，AC=、/^, ZABC=30° , ZA=ZBED=45° ,则 BD 的长为（ ）ZADE=ZACD=ZABC,图中相似三角形共有（ 5. 如图，平面直角坐标系中0是原点，平行四边形ABCO 的顶点A 、C 的坐标分别（8, 0）、（3, 4）,点D,E 把线段OB 三等分，延长CD 、CE 分别交OA 、AB 于点F, G,连接FG.则下列结论： 3.如图，在 RtAABC 中，ZABC=90° ,AB=6, AC=10, ZBAC 和ZACB 的平分线相交于点E,过点E 作EF 〃BC 交AC 于点F,那么EF 的长为（ ）A. B. C. 10 ~3 D. 15C.①③④D.①②C.后-寺D.后-14.（易错题）已知：如图,D. 4对①F是0A的中点；®A0FD与遇相似；③四边形DEGF的面积是爭④心电1正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，点P是边长为逅的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE丄BC于点E, PF丄DC 于点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：®MF=MC；②AH丄EF； @AP2=PM«PH；④EF的最小值是V2.其中正2确结论是（）A.①③B.②③C.②③④D.②④7.如图，在正方形ABCD中，0是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B, C重合），CN 丄DM, CN与AB交于点N,连接OM, ON, MN.下列五个结论：①厶CNB^ADMC；②、CON竺△DOM；③△0MN "△OAD； @AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,则的最小值是寺，其中正确结论的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5& 如图，2XABC 中，D、E 是BC 边上的点，BD： DE： EC=3： 2： 1, M 在AC 边上，CM： MA=1： 2, BM 交AD,AE 于H, G,则BH： HG： GM 等于（）A. 3： 2： 1B. 5： 3： 1C. 25： 12： 5D. 51： 24： 109.如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE, 再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE丄EF；③△PHE S^HAE；④嚳空3,其中正确的结论是（）AB 5A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④10.如图，在RtAABC中，ZC=90° , P是BC边上不同于B, C的一动点，过点P作PQ丄AB,垂足为Q,连接AP.若AC=3, BC=4,则AAQP的面积的最大值是（）25 B 25 T - T11.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,对角线AC与BD相交于点0,如果S AACD： S AfflC=l： 2,那么S AAOD：S A30（：是（12.在ZXABC与AA' B' C'中，有下列条件：(1)「嗚了,叱 ,0 2) 覽 = %AB D C B C A CZA=ZA，；（4） ZC=ZC Z,如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ ABC-AA^ B，C'的共有A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组13.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF〃AD,与AC、DC分别交于点G, F, H为CG的中点，连接DE, EH, DH, FH.下列结论中结论正确的有（）①EG=DF；②ZAEH+ZADH=180°；③厶EHF^ADHC；④若L 二,则S AEDH=13S ACFH ・14. 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF 〃AD,与AC 、DC 分别交于点G, F, H 为 CG 的中点，连结 DE 、E 田、DH 、FH.下列结论：①EG=DF ；②/\EHF^ADHC ；③ZAEH+ZADH=180° ；④ 若警纟，则》DHC _吕.其中结论正确的有（ ）AB 3 ^>AEDH 】3—.填空题（共5小题）15. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割 点（AP>PB ）,如果AB 的长度为10cm,那么PB 的长度为 ________ cm.B16. 如图，在正方形ABCD 中，ABPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F,连结BD 、DP, BD 与CF 相交于点H,给出下列结论：①ADFA 〜△BPH ；②器=徑=返；③PD 2=PH«CD ；④PH CD 3D. 4个A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4VBE与DF交于点0.若AADE的面积为4,则四边形B0GC的面积= __________18.如图，在菱形ABCD中，ZB=60° , BC=6, E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2, ZFEG=60° , EG交AC■于点H,下列结论正确的是_________ .(填序号即可)①/kBEFs/XCHE②AG=1③EH 二^^2'AAGH19.已知菱形ADGD1的边长为2, ZADG=60° ,对角线AG、BD相交于点0,以点0为坐标原点，分别以OB” OAi 所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以BD为对角线作菱形BGD此s菱形A】BGD“ 再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2S菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3S菱形A2B2C2D2,…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A“ A2, A S,…，A”则点Am”的坐标为 ______________三.解答题(共7小题)20.如图，在AABC中，点D在边BC上，联结AD, ZADB=ZCDE, DE交边AC于点E, DE交BA延长线于点F,且AD2=DE«DF.(1)求证：△BFDsZ\CAD；(2)求证：BF«DE=AB«AD.21.已知四边形ABCD中，AB=AD,对角线AC平分ZDAB,过点C作CE丄AB于点E,点F为AB上一点，且EF=EB,连结DF.(1)求证：CD=CF；(2)连结DF,交AC 于点G,求证：ZiDGCsAADC；(3)若点H为线段DG上一点，连结AH,若ZADC=2ZHAG, AD=3, DC=2,求竺的值.22.如图①，0P为一墙面，它与地面0Q垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A 点在0P上由A点向下滑动，点B由0点向0Q方向滑动，直到AB横放在地面为止.(1)在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述( )(2)若木棒长度为2m,如图②射线0M与地面夹角ZM0Q=60° ,当AB滑动过程中，与0M并于点D,分别求出当AD=|~、AD=1、AD=£时，0D 的值.(3)如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm,下水道水平段高度为40cm,现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是_________ (cm)(直接写出结果，结果四舍五入取整数).图③23.如图，AABC和ABEC均为等腰直角三角形，且ZACB=ZBEC=90° ,点P为线段BE 延长线上一点，连接CP,以CP 为直角边向下作等腰直角ACPD,线段BE 与CD 相交于点F.(2)连接BD,请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由.24. 如图(1), P 为AABC 所在平面上一点，且ZAPB=ZBPC=ZCPA=120° ,则点P 叫做AABC 的费马点.(1) 如果点P 为锐角厶壮。

2019年中考数学压轴题专项训练：相似1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 从点D 出发，沿射线DC 以每秒1个单位长度向右运动，同时点N 以相同的速度从A 点出发，沿射线AD 运动．连结AM 、BN ，交于点 E ．点F 为射线CB 上的点，且∠MAF ＝45°，直线AF 与直线BN 相交于点P ．设运动时间为t ．（1）当0≤t ≤4时，求证：AM ⊥BN ； （2）当t ＝3时，求MF 的长；（3）当t 为何值时，S △PBF ：S △ABF ＝1：5．2．如图（1），两个等腰直角三角形ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，DE ＝2，AB ＝1．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图（1）中的△ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．请解答下列问题： （1）①当点C 与点F 重合时，如图（2的值为 ．②在平移过程中，的值为 （用含k 的代数式表示）．（2）将图（2）中的△ABC 绕点C 逆时针旋转，使点A 落在线段DF 上，如图（3）所示，将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M（3）将图（1）中的△ABC 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α≤45°），将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M k 的代数式表示）．3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE 的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．4．（1）方法回忆：如图1，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，＝（2）实践应用：如图2，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°，∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC tan∠CDB的值；（3）拓展探究：如图3，△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC点E在BD边上，连接CE，∠BCE+∠BAD＝180°，CE5．已知直线AC与BD交于点E，连接AD，BC．（1）如图1，若∠DAB＝∠ABC＝∠AEB，求证：AB2＝AD•BC（2）如图2，延长DA，CB交于点F．若∠F＝90°，AF＝BF＝BC，∠AED＝45值；（3）在（1）的条件下，若∠AEB＝135°，tan∠D直接写出tan∠C的值为．6A（1，3），B （m，n），其中m＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC 与BD交于点E，连结AD，DC，CB．（1）若△ABD k的值和直线AB的解析式；（27．若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，则∠BAE＝；②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝（2）知识运用：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于点E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD 与△ABE互为“旋转位似图形”．（3）拓展提高：如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝48．定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，满足AC2＝AB•AD，四边形ABCD是闪亮四边形，AC是亮线．（1）以下说法正确的是（填写序号）①正方形不可能是闪亮四边形；②矩形中存在闪亮四边形；③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60°．（2）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，AB＝12，CD＝20，判断哪一条线段是四边形ABCD的亮线？请你作出判断并说明理由．（3）如图3，AC是闪亮四边形ABCD的唯一亮线，∠ABC＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC ＝2，请直接写出线段AD的长．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点（不与B，C重合），延长DC到点E，使得CE＝CD，过点E作AB的平行线，与AC的延长线交于点F，直线FD与AB交于点G，设∠ABC＝α．对于一般的情况，如图1，（1）直接写出∠AFD＝．用含α的代式表示；（2）取AB的中点M，求证：DF＝2MG；对于α＝45°的特殊情况，如图2，（3）连接EG，若EG⊥AD10．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF ＝60°，（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH AH的长为．11．我们把两边之比为整数的三角形称为倍比三角形．其中，这个整数比称为倍比，第三条边叫做该三角形的底．（1）如图1，△ABC是以AC为底的倍比三角形，倍比为3，若∠C＝90°，AC＝求BC的长；（2）如图2，△ABC中，D为BC边上一点，BD＝3，CD＝1，连结AD．若AC＝2，求证：△ABD是倍比三角形，并求出倍比；（3）如图3，菱形ABCD中，∠BAD为钝角，P为对角线BD上一动点，过P作PH⊥CD于H、当CP+PH的值最小时，APCD恰好是以PD为底的倍比三角形，记倍比为x y，求y关于x的函数关系式．12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．（1）求证：AB•AD＝AF•AC；（2）若∠BAC＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝4513．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为AB中点，F为BC上一点，G为CD上一点，连接EF，FG，且∠BFE＝∠CFG．（1）若G为CD中点时，求证：EF＝FG；（2）设x y y关于x的函数解析式．14．如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点P，CD2＝DP•DB，且AB∥CD，（1）求证：∠DPC＝∠BCD；（2）在（1）的条件下，如图2，E，F分别为边AD、BC上的点，PE∥DC，EF⊥BC．连结PF，BE①求证：PE＝PF；②若BP＝2，PD＝1，EF BCD BEF的面积．15．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）如图1，当点F为BE中点时，求证：AM＝CE；（2）如图23（3n（n≥3（用含n的代数式表示）参考答案1．解：（1）当0≤t≤4时，点M、N分别在线段CD与线段AD上运动，在△ADM与△BAN中，∴△ADM与△BAN（SAS），∴∠DAM＝∠ABN，∵∠ABN+ANB＝90°，∴∠DAM+∠ANB＝90°，∴∠NEA＝90°，即AM⊥BN；（2）当t＝3时，AN＝DM＝3，如图1，连接AC，作FH⊥AC于点H，设CF＝x，则CH＝FH AH∵∠MAF＝45°，∠DAC＝45°，∴∠DAM＝∠HAF，∴tan∠HAF＝tan∠DAM，解得x CF∴MF2＝CM2+CF2＝12+2MF（3）①当0≤t≤4时，即点M、N分别在线段CD与线段AD上运动时，如图1，连接AC，作FH⊥AC于点H．∵S△PBF ：S△ABF＝1：5，∴PF：AP＝1：4，∴BF t，CF＝4HC＝HFAH＝AC∵∠MAF＝45°，∠DAC＝45°，∴∠DAM＝∠HAF，∴tan∠HAF＝tan∠DAM，化简，得，t2+20t﹣64＝0，解得t＝﹣t＝﹣10﹣②当t＞4时，即点M、N分别在线段CD延长线与线段AD延长线上运动时，如图2，设AM与BC交于点K，连接C，作FH⊥AC于点H，作PQ⊥CB的延长线于点Q．DN＝CM＝t﹣4，∵AB∥CD，CK∴HC＝HKAH＝AC﹣∵S△PBF ：S△ABF＝1：5，PQ易证△CKM∽△QPBQB∴BF ，同理tan ∠HAK ＝tan ∠BAF ，化简，得 t 2﹣20t +96＝0，解得 t ＝12或t ＝8综上，当t 的值为﹣12或8时，S △PBF ：S △ABF ＝1：5．2．解：（1）①当点C 与点F 重合时，如图（2）中，延长BA 交EM 的延长线于N ．易证△EBN是等腰直角三角形，可得BE＝BN，∴BC＝BA，∴AN＝EC＝DE，∵DE∥AN，∴∠DEN＝∠N，∵∠DME＝∠AMN，∴△DME≌△AMN（AAS），∴DM＝AM，1．故答案为1；②如图1中，延长BA交EM的延长线于N．同法可证：EC＝AN＝k，∵DE∥AN，∴△DEM∽△ANM，（2）补全如图（3﹣1）所示，连接AE．∵△ABC、△DEF均为等腰直角三角形，DE＝2，AB＝1，∴EF＝2，BC＝1，∠DEF＝90°，∠DFE＝∠ACB＝45°，∴DF＝AC EFB＝90°，∴DF＝2AC，AD∵点A为CD的中点，∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，∴∠MAE＝90°，∠AEF＝45°，AE∵∠BEM＝45°，∴∠MEA+∠AEB＝∠BEF+∠AEB＝45°，∴∠MEA＝∠BEF，∴△AEM∽△FEB，∴AM∴DM＝AD﹣AM1．（3）如图（3﹣2）中，过点B作BG⊥BE，交直线EM于点G，连接AG，∴∠EBG＝90°．∵∠BEM＝45°，∴∠EGB＝45°，∴BE＝BG．∵△ABC为等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABG＝∠CBE，∴△ABG≌△CBE，∴AG＝EC＝k，∠AGB＝∠CEB，∵∠AGB+∠AGE＝∠DEM+∠CEB＝45°，∴∠AGE＝∠DEM，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，3．解：（1）∵∠BAC＝∠AE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB，在△CAE与△BAD中，∴△CAE≌△BAD（SAS）；（2）由（1）得△CAE≌△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，∵M、N分别是BD，CE的中点，∴CN＝BM，在△CAN与△BAM中，∴△CAN≌△BAM（SAS），∴AN＝AM，∠CAN＝∠BAM，∴∠CAN+∠BAN＝∠BAM+∠BAN，即∠CAB＝∠NAM，∵AC＝AB，AN＝AM，∴△AMN∽△ABC；（3）取AC的中点F，连接FN，过点点N作NG⊥AC于点G，∵点N是CE的中点，∴NF∥AE，NF AE＝2，∴∠GFN＝∠EAC＝60°，∴∠FNG＝30°，∴FG FN＝1，∴AG＝1+3＝4，NG在Rt△ANG中，根据勾股定理可知：AN4．解：（1）∵∠DCA+∠DCE+∠ECB＝180°，∠DCA+∠A+∠CDA＝180°，∠A＝∠DCE，∴∠ADC＝∠ECB，∵∠A＝∠B，∴△DAC∽△CBE，（2）如图1所示，∵∠ADC＝∠DBA，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ABD，解得AD＝5，∴DC DB设∠DBA＝∠CDA＝α，∴∠CDG＝90﹣2α，∴∠CGD＝2α，∴∠GCB＝∠GBC＝α，∴CG＝GB，设CG＝x，解得x∴tan∠CDB（3）如图2所示，∵∠ADC＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ADB，解得AD＝5，∵∠BCE+∠BAD＝180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD＝180°，∴∠ADC+∠DCA＝∠BCE，以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，∴EH＝EC，∠EHC＝∠ECB＝∠ADC+∠DCA，∵∠B＝∠ADC，∴∠BEH＝∠ACD，∴△BEH∽△ADC，5．（1）证明：如图1中，∵∠DAB＝∠ABC＝∠AEB，又∵∠AEB＝∠D+∠DAE，∠BAD＝∠DAE+∠BAC，∴∠D＝∠BAC，∴△BAC∽△ADB，∴AB2＝AD•BC．（2）解：如图2中，连接CD，AB，作AH⊥BD于H，BG⊥AC于G．设AF＝BF＝BC＝a，则AC．AB，∵∠AED＝45°，∴∠EDC+∠ECD＝45°，∵∠F＝90°，∴∠FDC+∠FCD＝90°，∴∠FDB+∠ACF＝45°，∵∠FAB＝∠ADB+∠ABD＝45°，∠ABF＝∠BAC+∠ACB＝45°，∴∠ABE＝∠ACB，∠BAE＝∠ADB，∵∠BAE＝∠BAC，∴△BAE∽△CAB，∴AB2＝AE•AC，∴AE，∵tan∠ACF BC＝a，∴BG，∴BE∵∠ABE＝∠ABD，∠BAE＝∠BDA，∴△BAE∽△BDA，∴AB2＝BE•BD，∴BD，DE＝BD﹣BE，∵AH＝HE∴DH＝DE，∴AD2a，（3）如图3中，延长DA交CB的延长线于H．∵∠DAB＝∠ABC＝∠AEB＝135°，∴∠HAB＝∠HBA＝45°，∴HA＝HB，∠H＝90°，设AH＝HB＝m，则AB，∵tan D∴DH＝2m，∴AD＝m，∵AB2＝AB•BC，∴BC＝2m，∴CH＝3m，∴tan C6．解：（1）由题意：BD＝m，AE＝3﹣m，mn＝3，m•（3﹣n∵S△ABD∴m＝2，n∴B（2，设直线AB的解析式为y＝kx+b∴直线AB的解析式为y（2）∵BE＝m﹣1，CE＝n，∴DE•AE＝3﹣n．BE•CE＝n（m﹣1）＝3﹣n，∴DE•AE＝BE•CE，7．解：（1）①∵△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，∴△ABC∽△ADE，∴∠D＝∠B＝100°，又∵α＝25°，∠E＝28°，∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；②∵△ABC∽△ADE，∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，∴BC，故答案为：27（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，∴△DOA∽△COB，又∵∠DOC＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴∠DCA＝∠EBA，又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△ACD，∴∠DAC＝∠EAB，∴△AEB绕点A逆时针旋转∠DAE的度数后与△ADC构成位似图形，∴△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；（3）∵AC＝3，∵AD＝4，∴AE＝2，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴cos∠DAE＝cos60∴∠DEA＝90°，∴由勾股定理可得CE∴DE＝AE•tan∠DAE＝8．解：（1）①设正方形的边长为a，）2≠a•a，∴正方形不可能是闪亮四边形．故①正确②如图①中，四边形ABCD是矩形，AE⊥AC于E，不妨设矩形是闪亮四边形．则AC2＝AD•CD，AC•DE AD•DC，∴DE＝AC，∵AC＞AD＞DE，显然与DE＝AC矛盾，假设不成立，∴矩形不可能是闪亮四边形，故②错误．③如图②中，四边形ABCD是菱形，∵四边形ABC都是闪亮四边形，不妨设AC2＝AD•CD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴AC＝AD＝CD，∴△ADC是等边三角形，∴∠D＝60°，∴若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60°．故③正确．故答案为①③（2）如图2中，作DH⊥BC于H．∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB＝DH＝12，AD＝BH＝9，在Rt△DCH中，CH16，∴BC＝9+16＝25，在Rt△ABD中，BD15，在Rt△ACB中，AC2＝AB2+BC2＝796，∵BD2＝AD•BC，∴BD是四边形ABCD的闪亮对角线．（3）如图3中，作CH⊥AD于H．∵DH＝CD•cos∠D，CH＝CD•sin∠D，AH＝AD﹣CD•cos∠D，∴AC2＝AH2+CH2＝（AD﹣CD•cos∠D）2+（CD•sin∠D）2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠D＝AD2+CD2﹣AD•CD，∵AC2＝AD•CD，∴AD2﹣2AD•CD+CD2＝0，∴（AD﹣CD）2＝0，∴AD＝CD，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC9．解：（1）∵AB∥EF∴∠ABC＝∠E＝α，∵CD＝CE，CF⊥DE∴DF＝EF，∴∠FDC＝∠E＝α∵CF⊥DE∴∠AFD＝90°﹣∠CDF＝90°﹣α故答案为：90°﹣α（2）设BG＝a，GM＝b，∴BM＝a+b，∵点M是AB中点，∴AM＝BM＝a+b，∴AG＝AM+GM＝a+b+b＝a+2b，∴∠E＝∠FDE，∵AB∥EF∴∠E＝∠B，∴∠B＝∠EDF＝∠GDB∴BG＝GD＝a，∵AC⊥BC∴∠A＝90°﹣∠B，∠DFC＝90°﹣∠EDF∴∠A＝∠DFC∴AG＝GF＝a+2b∴DF＝GF﹣GD＝2b，∴DF＝2GM，（3）由（2）可知：设BG＝GD＝a，GM＝b，则DF＝2b＝EF，AG＝a+2b＝GF，∵∠ABC＝45°∴∠GDB＝45°∴∠AGD＝90°＝∠BGD＝∠DFE∴BD，DE＝，DC＝CE，∠AGH+∠DGH＝90°，∵AH⊥GE∴∠GAH+∠AGH＝90°∴∠GAH＝∠DGH，且∠AHG＝∠DHG＝90°∴△AGH∽△GDH∵∠GAH＝∠DGH，∠AHG＝∠EFG＝90°∴△AGH∽△GEF∴BC＝BD+CD＝310．解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，cos302∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，（2）结论：AG．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴AG．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG，∴GC＝∵HG∴AH2＝HG•HC9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．11．解：（1）∵△ABC是以AC为底的倍比三角形，倍比为3，∴AB＝3BC，∵∠C＝90°，AC＝∴BC2+AC2＝AB2，∴BC2+8＝9BC2，∴BC＝1．（2）∵BD＝3，CD＝1，AC＝2，22，∵∠BCA＝∠ACD，∴△BCA∽△ACD，2，∴△ABD是倍比三角形，倍比为2．（3）过点A作AH⊥CD交BD于点P，此时CP+PH的值最小．不妨设AP＝CP＝a y，得到PH∵△PCD是以PD为底的倍比三角形，倍比为x．x，即CD＝ax，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝AD＝CD＝ax，∴∠ABP＝∠HDP，∠BAP＝∠DHP，∴△ABP∽△HDP，DH在Rt△ADH中，∵AH2+DH2＝AD2，∴（a）2+2＝（ax）2，x2，∴（1+y）2＝x2（y2﹣1），∴y12．解：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAF＝∠DAC又∵BF＝BD∴∠BFD＝∠FDB∴∠AFB＝∠ADC∴△AFB∽△ADC∴AB•AD＝AF•AC（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH＝2，CN＝3∴AH＝AN＝∴HN∵∠BHD＝∠CDN∴△BHD∽△CND又∵BF＝BD，BH⊥DF∴DF＝2HD（3）由（1ABD，△AEF，△BFD均为顶角为30°的等腰三角形∴AH＝AD，AE＝AF，BF＝BD易证△ABD∽△AEF过F作FG⊥AB于G，设FG＝x，则AF＝2x，BF，AG，BG＝x∴AB）x，4﹣13．解：（1）如图．在BC上作点H，使BH＝BE，连接EH，易证△BEH是正三角形∴∠BHE＝60°∴∠EHF＝120°EH＝BH＝CG∵∠ABC＝60°，AB∥CD∴∠C＝120°∴∠EHF＝∠C∵∠BFE＝∠CFE∴△EHF≌△GCF∴EF＝FG（2）如图，在BC上作点H，使BH＝BE，并连接EH，过点E作EM⊥BH交于点M，延长GC，过点H作HN⊥GC交于N易证△BEH为等边三角形，∴∠EHF＝∠FCG＝120°∵∠BFE＝∠CFG∴△EHF∽△FGCx∴GC＝EH•x＝BH•x∵EM⊥BH∴FNGC•FN∴S△FCG∵AB＝2BE＝2BH，2∴S菱形ABCD214．证明：（1）∵CD2＝DP•DB，又∵∠CDP＝∠BDC，∴△CDP∽△BDC，∴∠DCB＝∠CPD；（2）①如图，延长EP交BC于M，∵PE∥DC，又∵PM∥AB，即PE＝PM，∵EF⊥BC，∴Rt△EFM中，PF＝PE，∴PF＝PE；②如图，过D作DN⊥BC于N，∵由（1）知：△CDP∽△BDC，∴∠CPD＝∠BCD，∴∠PFC＝∠CPD＝∠BCD＝∠PMB，∵CD2＝DP•DB，BP＝2，PD＝1，∴CD2＝1×（1+2），∴CD∵sin∠BCD∴DN＝1，CN∵BD2﹣DN2＝BN2，∴BN＝BC＝∵∠PFC＝∠CPD，∴∠BPC＝∠BFP，∵∠PBF＝∠CBP，∴△BPF∽△BCP，∴BP2＝BF•BC，∴BF∴S△BFE15．解：（1）∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCE＝∠ABC＝90°，∴CF＝BF＝EF，∴∠FBC＝∠FCB，∵BC＝CB，∴△MBC≌△ECB（AAS），∴BM＝EC＝DE，∵AB＝CD，∴BM＝AM，∴AM＝CE．（2）∵AB∥CD，3，设MB＝a，则EC＝DE＝3a，∴AB＝CD＝6a，3，∴BC＝AD＝2a，∵MN⊥CM，∴△AMN∽△BCM，∴AN，DN，5．（3）∵AB∥CD，n，设MB＝a，则EC＝DE＝an，∴AB＝CD＝2an，n，∴BC＝AD＝2a，∵MN⊥CM，∴△AMN∽△BCM，∴AN，DN。

1.（2019年广西百色市）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为18．【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），∴A′（4，4），C′（12，2），∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．故答案为：18．【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．2.（2019年内蒙古呼和浩特市）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG∽△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，∵正方形ABCD的面积是2，∴AB＝BC＝CDA＝，又∵CE＝，△EFC∽△EAB，∴，即：F是CD的中点，∵AH∥BE，∴∠H＝∠FBC，∠BCF＝∠HDF＝90°∴△BCF≌△HDF（AAS），∴DH＝BC＝，∵AH∥BE，∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG∴△HDG∽△BEG，∴，在Rt△ABH中，BH＝，∴BG＝，故答案为：【点评】考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，转化思想方法的应用和画出相应的图形则显得尤为重要．3.（2019年湖北省襄阳市）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．【分析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE＝60°，推出∠DAE＝90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE 的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．【解答】解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，∵BD＝1，AD＝5，∴AB＝BD+AD＝6，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，在Rt△BCA与Rt△DCE中，∵BAC＝∠DEC＝30°，∴tan∠BAC＝tan∠DEC，∴，∵BCA＝∠DCE＝90°，∴∵BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CAE＝∠B＝60°，∴，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，∴AE＝，在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，在Rt△DCE中，∠DEC＝30°，∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，在Rt△DCM中，MC＝DC＝，在Rt△AEN中，NE＝AE＝，∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90，∴△MFC∽△NFE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．4.（2019年辽宁省本溪市）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．5.（2019年内蒙古通辽市）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为 3.75cm2．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，根据相似的性质可知＝，解得x＝2.5，即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5（cm）．再根据相似的性质可知＝，解得：y＝1，所以梯形的下底就是3﹣1＝2（cm），所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．故答案为：3.75cm2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．6.（2019年四川省泸州市）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．【分析】过D作DH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质得到AC＝BC＝15，∠CAD＝45°，求得AH＝DH，得到CH＝15﹣DH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DF A＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7.（2019年山东省烟台市）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为（﹣5，﹣1）．【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．【解答】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形的性质有两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．8.（2019年河南省）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝α．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为或．【分析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【解答】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．9.（2019年吉林省）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为54m．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴＝，解得h＝54（m）．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．10.（2019年江苏省常州市）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝6．【分析】作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，得出AB＝CD＝，BD＝＝10，证明△PDF∽△BDA，得出＝，求出PF＝，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出＝＝2，求出NF＝2PF＝3，即可得出答案．【解答】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝，BD＝＝10，∵点P是AD的中点，∴PD＝AD＝，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴＝，即＝，解得：PF＝，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴＝＝2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．11.（2019年江苏省淮安市）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝4．【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，又AB＝3，DE＝2，BC＝6，∴EF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．12.（2019年广西河池市）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝．【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．13.（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为9 m．考点：相似三角形的应用．分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．14.（2019年江苏省无锡市）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD ＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．15.（2019年浙江省杭州市）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于2（5+3）．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍弃），∴P A′＝PD′＝2a，∵•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．故答案为2（5+3）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.（2019年浙江省衢州市）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n﹣1，…，则顶点F2019的坐标为（）．【分析】（1）先证明△AOB∽△BCD，所以＝，因为DC＝1，BC＝2，所有＝；（2）利用三角形相似与三角形全等依次求出F1，F2，F3，F4的坐标，观察求出F2019的坐标．【解答】解：（1）∵∠ABO+∠DBC＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠DBC＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BCD＝90°，∴△AOB∽△BCD，∴＝，∵DC＝1，BC＝2，∴＝，故答案为；（2解：过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD＝＝，CM＝OA＝，DM＝OB＝AN＝，∴C（，），∵AF＝3，M1F＝BC＝2，∴AM1＝AF﹣M1F＝3﹣2＝1，∴△BOA≌ANM1（AAS），∴NM1＝OA＝，∵NM1∥FN1，∴，，∴FN1＝，∴AN1＝，∴ON1＝OA+AN1＝+＝∴F（，），同理，F1（，），即（）F2（，），即（，）F3（，），即（，）F4（，），即（，）…F2019（，），即（，405），故答案为即（，405）．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．17.（2019年江苏省南京市）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．【分析】作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出＝＝，NE＝x，BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示：∵CD平分∠ACB，∴＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，∵MN是BC的垂直平分线，∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，∴MN∥AE，∴＝＝，∴NE＝x，∴BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，即52﹣（x）2＝（2x）2﹣（x）2，解得：x＝，∴AC＝2x＝；故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．18.（2019年山东省泰安市）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．19.（2019年四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP ＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．20.（2019年四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是4：25或9：25．【分析】分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②当AE：ED＝3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25，故答案为：4：25或9：25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．21.（2019年四川省自贡市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝．【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB ∽△CED，根据相似比求出DE的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABE，∴∠D＝∠CBE，∴CD＝BC＝6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE＝AC＝×8＝3，BE ＝，DE ＝BE＝×＝，故答案为．【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．22.（2019年山东省滨州市）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有①③④（填写所有正确结论的序号）【分析】①正确．只要证明EC＝EA＝BC，推出∠ACB＝90°，再利用三角形中位线定理即可判断．②错误．想办法证明BF＝2OF，推出S△BOC＝3S△OCF即可判断．③正确．设BC＝BE＝EC＝a，求出AC，BD即可判断．④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DCB＝120°，∵EC平分∠DCB，∴∠ECB＝∠DCB＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，∴△ECB是等边三角形，∴EB＝BC，∵AB＝2BC，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，EA＝EB，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正确，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝，∴OF＝OB，∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，∴BD＝a，∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正确，∵OF＝OB＝a，∴BF＝a，∴BF2＝a2，OF•DF＝a•（a+a）＝a2，∴BF2＝OF•DF，故④正确，故答案为①③④．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题．23.（2019年山东省滨州市）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．。

2019 初三数学中考复习图形的相像专题练习题1.以下说法正确的选项是 ( )A ．全部的等腰三角形都相像B．四个角都是直角的两个四边形必然相像C．全部的正方形都相像D．四条边对应成比率的两个四边形相像2. 以下各组条件中，不可以判断△ABC 与△ A′B′相C′似的是 ()A．∠A＝∠ A′，∠ B＝∠ B′B．∠ C＝∠ C′＝90°，∠ A＝12°，∠B′＝78°C．∠ A＝∠ B，∠B′＝∠ A′D．∠A＋∠ B＝∠ A′＋∠ B′，∠A－∠ B＝∠ A′－∠ B′3.如图，在? ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 EF∶EC 等于()A ．3∶2B．3∶1C．1∶1D．1∶34．如图，△ ABC 中，∠ C＝90°，四边形DEFC 是正方形， AC＝4cm，BC ＝3cm，则正方形的面积为 ()12cm2B．3 cm2C．4 cm2144cm2A. 7 D. 495．如图，身高为 1.6 m 的吴格婷想丈量学校旗杆的高度，当她站在 C 处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0 m，BC＝8.0 m，则旗杆的高度是 ()第1页/共6页6．如图，点 A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C ，D ，E 为极点的三角形与 △ABC 相像，则点 E 的坐标不可以能是 ( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)7．如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 放大获得 △DEF.若 AD ＝ OA ，则△ABC与△ DEF 的面积之比为 ()A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶68．如图，△ OAB 与△ OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相像比为 1∶2，∠OCD ＝90°， CO ＝CD.若 B(1，0)，则点 C 的坐标为 ()A ．(1，2)B ．(1，1)C ．( 2， 2)D ．(2，1)9．将边长分别为 2，3，5 的三个正方形按如图方式摆列，则图中暗影部分的面积为()21157A. 4B. 4C.2 D ．310．如图，矩形 ABCD 的边长 AD ＝3，AB ＝2，E 为 AB 的中点，点 F 在边 BC 上，且 BF ＝2FC ，AF 分别与 DE ，DB 订交于点 M ，N ，则 MN 的长为 ()2 2 9 23 24 2A. 5B. 20C. 4D. 511. 如图，△ ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的暗影三角形与原三角形不相像的是 ()12. 小强身高 1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂竖直举起，此时影子长为 1.1 m ，那么小强举起的手臂超出头顶 () A ．0.4 mB ．0.5 mC ．0.8 mD ．1 m．假如 x ＝y ＝z ≠0，那么 x ＋2y ＋3z的值是 ______．13 2 3 43x ＋2y －2z14．两个相像三角形的面积比为9∶25，此中一个三角形的周长为36，则另一个三角形的周长为 ________．15．如图，D，E 是 AB 的三均分点， DF∥EG∥BC，则图中三部分面积S1∶S2∶S3＝________．16．如图，一束光芒从点A(3， 3)出发，经过 y 轴上的 C 点反射后经过点B(1，0)，则光芒从 A 点到 B 点经过的路线长是 _________．17．如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－ 1，－ 1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 ________．18．如图，在△ABC 中，BC＝6，E，F 分别是 AB ，AC 的中点，动点 P 在射线1EF 上， BP 交 CE 于点 D，∠ CBP 的均分线交 CE 于点 Q，当 CQ＝3CE 时， EP ＋B P＝________．19．如图，△ ABC 与△A′B′是C′位似图形，点 A，B，A′，B′，O 共线，点 O 为位似中心．(1)AC 与 A′C平′行吗？为何？(2)若 AB ＝2A′B，′OC′＝ 5，求 CC′的长．20．如图，在矩形 ABCD 中， CD＝2 3，CF⊥BD 分别交 BD，AD 于点 E，F，连结 BF.(1)求证：△DEC∽△ FDC；(2)当 F 为 AD 的中点时，求BC 的长度．21．如图，M ，N 为山双侧的两个乡村，为了两村交通方便，依据国家的惠民政策，政府决定打向来线涵洞．工程人员为了计算工程量，必然计算M，N 两点之间的直线距离，选择丈量点A，B，C，点 B，C 分别在 AM ，AN 上，现测得AM ＝1 千米， AN ＝1.8 千米， AB ＝54 米， BC＝45 米， AC＝30 米，求 M，N 两点之间的直线距离．22．如图，在矩形ABCD 中， AB ＝12 cm， BC＝8 cm，点 E，F，G 分别从 A ，B，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向挪动，点E，G 的速度为 2 cm/s，点 F 的速度为 4 cm/s，当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G 重合 )时，三个点随之停止挪动．设挪动开始后第 t s 时，△ EFG 的面积为 S(cm2)．(1)当 t＝1 s 时， S 的值是多少？(2)若点 F 在矩形的边 BC 上挪动，当 t 为何值时，以点E，B，F 为极点的三角形与以点 F， C，G 为极点的三角形相像？请说明原因．23.如图，为了丈量山的高度，在山前的平川上先竖一根已知长度的木棒 O′B，′比较木棒的影长 A′ B与′山的影长 AB ，即可近似求出山的高度 OB.假如 O′ B＝′1 m，A′B＝′2 m，AB ＝270 m，求山的高度．参照答案1---12CCDDC BBBBB CB13. 510814.5或6015.1∶3∶516. 517.(1，0)或(－5，－2)18.1219.(1)AC∥ A′C，′原因以下：∵△ ABC 与△A′B′是C′位似图形，∴△ ABC ∽△ A′B′C′.∴∠ A＝∠C′A′∴B′AC.∥A′ C′.(2)∵△ABC ∽ △A ′B ′C′，∴AB＝AC.∵AB ＝2A′B，′∴AC＝2.又A′ B′A′ C′A′ C′1∵△ ABC 与△A′B′是C′位似图形，∴OC＝AC＝2.∵OC′＝5，∴OC＝10，CC′O′ C′A′ C′1＝O C－OC′＝10－5＝5.20．(1)∵∠ DEC＝∠FDC＝90°，∠ DCE＝∠FCD，∴△ DEC∽△ FDC.(2)∵F 为 AD 的中点， AD ∥BC，∴FE∶EC＝FD∶BC＝1∶2，∴FE∶ FC＝1∶，设EF ＝，则FC＝3x，∵△DEC∽△FDC，∴CE＝CD，可得 6x2＝12，解3x CD FC得 x＝ 2，则 CF＝3 2，在 Rt△CFD 中， DF＝ FC2－CD2＝ 6，∴ BC＝2DF＝2 6.AC 30 5 AM 21.连结 MN ，图略．在△ ABC 与△ANM 中，∠ A＝∠A，AB＝54＝9，AN＝1＝5，∴△ ABC ∽△ ANM ，∴AC＝AM，即30＝1，解得 MN ＝1.5.故 M ，1.8 9BC MN45MNN 两点之间的直线距离是 1.5 千米．111×4×2 22. (1)当 t＝1 s时，S＝S梯形EBCG－S△EBF－S△FCG＝×(10＋2) ×8－×10×4－222＝24(cm2)．(2)当点 F 在边 BC 上挪动时， F 与 B，E 能组成三角形且 F 与 C，G 能组成三角形，则 0<t<2，有 AE＝CG＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t.在△EBF 和△中，∠＝∠ ＝°，①若EB＝BF，即12－2tFCG B＝4t，解得 t＝2，又 t＝2C90FC CG8－4t2t33知足 0<t<2，因此当 t＝2时，△ EBF∽△ FCG；②若EB＝BF，即12－2t4t，2t＝3GC CF8－4t333解得 t＝2，又 t＝2知足 0<t<2，因此当 t＝2时，△ EBF∽△ GCF.综上所述，当t23＝3或 t＝2时，以点 E， B，F 为极点的三角形与以点 F，C，G 为极点的三角形相像．23.解：∵太阳光芒是平行线，∴∠ OAB ＝∠O′A′，B∵′OB⊥AB ，O′B⊥′A′B，′∴∠ ABO ＝∠A′B′＝O′90°，∴△ OAB ∽△ O′A′，B′∴OB＝AB，当 O′B＝′1 m， O′ B′A′ B′OB 270A′ B＝′2 m，AB ＝270 m 时，1＝2，OB＝135 m，∴山的高度为 135 m．。

2019年中考数学真题分类专项训练--图形的相似一、选择题1．（2019邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C2．（2019温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM =BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2，现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为A．2B．3C D【答案】C3．（2019淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为A．2a B．5 2 aC．3a D．7 2 a【答案】C4．（2019杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C 重合），连接AM交DE于点N，则A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【答案】C5．（2019玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有A．3对B．5对C．6对D．8对【答案】C6．（2019常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D7．（2019凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B8．（2019赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE 的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C9．（2019重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C10．（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B11．（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B12．（2019兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B13．（2019常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B二、填空题14．（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为__________m．【答案】5415．（2019台州）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且23mn，则m+n的最大值为__________．【答案】25 316．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．17.(2019)烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）18.(2019)本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）19．（2019宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 520．（2019河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 521．(2019淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________．【答案】4三、解答题22．（2019福建）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．解：（1）作线段A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC，得△A'B'C'即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△．（2）如图，∵D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点， ∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，， ∴△DEF ∽△ABC同理：△D 'E 'F '∽△A 'B 'C '， 由（1）可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴△DEF ∽△D 'E 'F '．23．（2019绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k =MN ：EF ．（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．（2）若a ：b 的值为12，求k 的最大值和最小值． （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值．解：（1）如图1中，作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，∵AB=CB，∴FH=MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，由题意：2a≤MN≤，a≤EF≤，∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k．（3）连接FN，ME．∵k=3，MP=EF=3PE，∴MN EFPM PE==3，∴PN PFPM PE==2， ∴△PNF ∽△PME ，∴NF PNME PM==2，ME ∥NF ， 设PE =2m ，则PF =4m ，MP =6m ，NP =12m ，①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与点B 重合．过点F 作FH ⊥BD 于点H ．∵∠MPE =∠FPH =60°，∴PH =2m ，FH m ，DH =10m ，∴a AB FHb AD HD ===．②如图3中，当点N 与点C 重合，过点E 作EH ⊥MN 于点H ．则PH =m ，HE =，∴HC =PH +PC =13m ，∴tan ∠HCE MB HE BC HC ===∵ME ∥FC ，∴∠MEB =∠FCB =∠CFD ， ∵∠B =∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，∴CD FC MB ME ==2，∴213a CD MBb BC BC ===，综上所述，a ：b24．（2019凉山）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB 于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．解：（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴AD BD BD CD，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=，∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，∴23BM MN CD CN ==，且MC =，∴MN ． 25．（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，若BC =a ，AD =h ，求正方形PQMN 的边长（用a ，h 表示）． （2）操作：如何画出这个正方形PQMN 呢？如图2，小波画出了图1的△ABC ，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB 上任取一点P '，画正方形P 'Q 'M 'N '，使点Q '，M '在BC 边上，点N '在△ABC 内，然后连结BN '，并延长交AC 于点N ，画NM ⊥BC 于点M ，NP ⊥NM 交AB 于点P ，PQ ⊥BC 于点Q ，得到四边形PQMN ． （3）推理：证明图2中的四边形PQMN 是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN 称为“波利亚线”，在该线上截取NE =NM ，连结EQ ，EM （如图3），当∠QEM =90°时，求“波利亚线”BN 的长（用a ，h 表示）． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．解：（1）证明：如图1，由正方形PQMN 得PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∴NP AE BC AD =，即PN h PNa h-=， 解得PN aha h=+．（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，∴四边形PQMN为矩形，∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，∴NM'∥NM，∴△BN'M'∽△BNM，∴N'M'BN'NM BN=，同理可得=N'P'BN'NP BN，∴N'M'P'N' NM PN=.∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，∴四边形PQMN为正方形．（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，∴ER=RM=12 EM，又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，∴∠EQM=∠EMN.又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，∴△EQM≌△RMN（AAS），∴EQ=RM，∴EQ=12 EM，∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，∴∠BEQ=∠EMB，又∵∠EBM=∠QBE，∴△BEQ∽△BME，∴1=2 BQ BE EQBE BM EM==．设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，∴BN=BE+NE=5x，∴BN=53NM=533aha h+．26．（2019巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．解：①如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）． ②如图，△A 2B 2C 为所作．③OB =点B 经过的路径长=90ππ1802⋅=．27．（2019衢州）如图，在Rt △AB C 中，∠C =90°，AC =6，∠BAC =60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G ．（1）求CD 的长．（2）若点M 是线段AD 的中点，求EFDF的值． （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG =60°？ 解：（1）∵AD 平分∠BAC ，∠BAC =60°， ∴∠DAC 12=∠BAC =30°，在Rt △ADC 中，DC =AC •tan30°=6=（2）由题意易知：BC ，BD ∵DE ∥AC ，∴∠EDA =∠DAC ，∠DFM =∠AGM ， ∵AM =DM ，∴△DFM ≌△AGM （ASA ），∴DF =AG ， 由DE ∥AC ，得△BFE ∽△BGA ， ∴EF BE BDAG AB BC==，∴23EF EF BD DF AG BC ====． （3）∵∠CPG =60°，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ， ∴△CQG 是顶角为120°的等腰三角形．①当⊙Q 与DE 相切时，如图1，过点Q 作QH ⊥AC 于H ，并延长HQ 与DE 交于点P ．连结QC ，QG ．设⊙Q 的半径QP =r ．则QH 12=r ，r 12+r解得r 3=，∴CG 3==4，AG =2， 易知△DFM ∽△AGM ，可得43DM DF AM AG ==，∴DM 47=，∴DM 7=． ②当⊙Q 经过点E 时，如图2，过点C 作CK ⊥AB ，垂足为K ，设⊙Q 的半径QC =QE =r ．则QK r .在Rt △EQK 中，12+（r ）2=r 2，解得r =，∴CG 143==，易知△DFM ∽△AGM ，可得DM 5=．③当⊙Q 经过点D 时，如图3中，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得DM∴综上所述，当DM 7=或5DM ≤P 只有一个． 28．（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE．解：如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE 于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OEOE=+，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．29．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．证明：（1）∵∠ACB =90°，AB =BC ， ∴∠ABC =45°=∠PBA +∠PBC ，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ，又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°，∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC，∴12h AB h BC==，∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．30．（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BC A B B C ==11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真．（2）证明：如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CD B C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD AB B D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1，∴∠ABD =∠A 1B 1D 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD AB A D A B =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1，∴11111111AB BC CD AD A B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）证明：∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似． ∴DE EF AE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OF AE AB +=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DE AD AE =， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+， ∴2AE =DE +AE ，∴AE =DE ，∴12S S =1．。