湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(六)

湖北省黄冈中学高三数学第三轮综合能力测试卷六一、选择题an1．数列 {a n } 的通项 a n ＝bn ＋ 1(a ＞ 0， b ＞ 0) ，则 a n 与 a n ＋ 1 的大小关系为 ()A ． a n ＞ a n ＋ 1B ． a n ＜ a n ＋1C ． a n ＝a n ＋ 1D ．与 n 取值相关2a2．若函数 f(x) ＝ log a (x －ax ＋ 3) 在区间 ( －∞， 2] 上为减函数，则 a 的取值范围是 ()A ．(0 ，1)B ． (1 ，＋∞ )C ．(1，2 3)D ． (0 ，1)∪(1 ，2 3)3．等差数列 {a n } 的首项 a 1＝－ 5，它的前 11 项的均匀值为 5，若从中抽去一项，余下的10项的均匀值为 4.6 ，则抽去的项为 ( )A ． a 6B ． aC ． a9D ． a8104．在△ ABC 中，条件甲： A ＜B ，甲22)乙： cos A ＞ cos B ，则甲是乙的 (A ．仅充足条件B ．仅必需条件C ．充要条件 yD ．非充足非必需条件5．已知 f(x) ＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 的图象如下图，则有()A ． b ＜ 0B ． 0＜ b ＜1o12xC ． 1＜ b ＜2D ． b ＞ 2→ →22→→ 1 1 →→→→6．设平面向量 a ＝ (x ，y) ， b ＝ (x ，y ) ， c ＝(1 ，－ 1) ， d ＝ ( 9，－ 4) ，若 a · c ＝ b · d＝ 1，则这样的向量 → 的个数是 ( )aA ． 0B ． 1C ． 2D ． 47．以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有两个交点，则椭圆的离心率的变化范围是()A ．(0 ，2B ． (0 ，3C ． (2D ． (3))， 1)，1)23 2 38．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于 5 的偶数点出现” ，事件B 表示“小于 4 的点数出现”，则一次试验中，事件－发生的概率为 () A ＋ B11 25A ． 3B ． 2C ． 3D ． 6tt ＋ 29．不等式 t 2 ＋9≤ a ≤ t2在 t ∈(0 ， 2] 上恒成立，则 a 的取值范围是 ( )12 1 4 A ．[ 6，1]B ． [ 13， 1]C ． [ 16， 13]10．如图，在正三角形 ABC 中， D 、 E 、F 分别为各边的中点，G 、 H 、I 分别为 DE 、 FC 、EF 的中点，将△ ABC 沿 DE 、EF 、 FD折成三棱锥此后，BG 与 IH 所成角的弧度数为 ()ππA ． 6B ． 323C ． arccos 3D ． arccos 31D ． [ 6，2 2]AD ··FG·I ··HBCE11．有浓度为 90％的溶液 100g ，现从中倒出10g ，再加进 10g 水，要使其浓度低于 10％，A ． 19B ． 20C ． 21D ． 2212．如图是函数 f(x) ＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 的大概图象，y则 x 2＋ x 2等于()12A ． 8B ．10－1Ox 2x99x211628C ． 9D ． 9题号 1234 56789101112答案二、填空题13．海面上，地球球心角1' 所对的大圆弧长为1 海里 , 在赤道上 , 车经 140°与西经 130°的海面上有两点A 、B ，则 A 、 B 两点的球面距离是＿＿＿＿海里．14．已知 Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和，且 Sn 与1 ＋1的等比中项为 n(n ∈ N ) ，a 1＝ ，则 lim Snn2n →∞a＝＿＿＿＿＿．15．设 x 1、x 2、x 3 挨次是方程 log1xeqx ＋ 2＝ x ，log 2(x ＋2) ＝ －x ， 2 ＋ x ＝ 2 的实数2根，则 x 、 x 、 x 的大小关系为＿＿＿＿＿．12322 |x| 1316．对于函数 f(x) ＝ sin x － ( 3) ＋ 2，有以下结论：① f(x) 为奇函数；② f(x) 最大值为 2；1 1③ x ＞ 2005 时， f(x) ＞ 2；④ f(x) 最小值为－ 2．此中正确命题的序号为＿＿＿＿．三、解答题 17．已知 p ： |1 －x － 1| ≤ 2，q ： x 2－ 2x ＋1－ a 2≤ 0(a ＞ 0) ，若?p 是?q 的充足不用要条件，3务实数 a 的取值范围．18．如图，半圆的直径 AB ＝d ，点 D 在半圆上挪动时， DC 切半圆于 D 点，且 DC ＝ d ， A 、C 两点位于 BD 双侧，问∠ DAB 取何值时，四边形 ABCD 的面积最大？最大面积为多少？CdD )A )θB专心爱心专心123 号编写219．在二项式 (ax m＋ bx n) 12(a ＞ 0，b＞0， m、n≠ 0) 中， 2m＋ n＝ 0，若它的睁开式中系数最大的项恰巧是常数项．(1)求常数项是第几项？a(2)求b的范围．20．如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是正方形，PA⊥底面 ABCD， PA＝ AD＝ 2，点 M、N 分别在棱 PD、 PC上，且 PC⊥平面 AMN．P(1)求证： AM⊥ PD； (2) 求二面角 P－ AM－N 的大小；M(3)求直线 CD与平面 AMN所成角的大小．A N DB C→ →21．在面积为 18 的△ ABC中， AB＝ 5，双曲线 E 过点 A，且以 B、 C 为焦点，已知 AB· AC＝→→27， CA· CB＝ 54．(1)成立合适的坐标系，求曲线 E 的方程；(2)能否存在过点 D(1， 1) 的直线 L，使 L 与双曲线 E 交于不一样的两点M、 N，且→→→DM＋ DN＝0 ，假如存在，求出L 的方程；假如不存在，说明原因．22．已知数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，知足关系式 (2 ＋ t)S n＋1－ tSn ＝ 2t ＋ 4(t ≠－ 2，t ≠0，n ＝1， 2， 3， )(1)当 a1为什么值时，数列 {a n} 是等比数列；(2) 在 (1) 的条件下，设数列 {a n} 的公比为f(t)，作数列{b n}使b1＝1，b n＝f(b n－1)(n＝2，3，4， ) ，求 b n；c(3) 在 (2) 条件下，假如对全部n∈ N＋，不等式 b n＋ b n＋1＜2n＋1恒成立，务实数 c 的取值范围．[ 参照答案 ]1．B 2．C3．B 解： S ＝55d ＝ 2， 55－ [ － 5＋ (n － 1) · 2] ＝ 4· 6n ＝ 8．114． C 解： A －B ＜0 cos 2A － cos 2B ＝ (cosA ＋ cosB)(cosA － cosB)A ＋B A －B A ＋ B A － B＝－ 4cos 2 cos2 · sin2 · sin2 ＝－ sin(A ＋ B)sin(A －B)＞ 0甲乙f(0) ＝d ＝ 05． A 解： f(x) ＝ ax(x － 1)(x － 2) ，则f(1) ＝a ＋ b ＋ c ＝ 0 7a ＋ 3b ＝ 0f(2) ＝8a ＋ 4b ＋c ＝ 0令 x ＝ 3， f(3) ＝ 6a ＞ 0，∴ a ＞ 0，∴ 3b ＝－ 7a ＜ 0 b ＜ 0．x － y ＝ 16． A解： x 2 y 2 ，无交点．9－ 4＝12 2 2x 2 y 21 1 2c 22227． C 解：将 x ＋y ＝ c 代入 a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0) 得 ( b 2－ a 2)x ＝ b 2－ 1＞0c ＞ b ，即 c ＞222 a － c 2 ＜ e ＜1．8． Ct9． B 解：令 f(t)＝ t 2＋ 9， f' (t) ＞ 0，f(t) 在 (0 ， 2] 上↑，2 t ＋ 2∴f(t)max ＝ f(2) ＝ 13 ， g(t) ＝ t 2 ， g' (t) ＜ 0， g(t) 在(0 ， 2] 上↓，A(B 、C)∴ g(t) min ＝ g(2) ＝ 1．∴ 2≤ a ≤ 1． 1310． A 解：画出立体图形， IH ∥ AE ，D ·Hπ即 BG 与 IH 所成的角．G ·F∴∠ EAG ＝ 6 EI11． C 解：每操作 1 次，浓度变成前一次的 90％，设起码操作 x 次才能使其浓度低于 10％，x1∴0.9 × 0.9 ＜0.1x ＞ 1－ lg9 － 1＝ 20.83 ．∴ x min ＝21． 12． C 解： f(x)32是 f'(x)2－2＝0 的两根．＝ x(x ＋ 1)(x － 2) ＝ x－x－ 2x ， x ，x＝3x － 2x1 22 22222 16∴x 1＋ x 2＝ (x 1＋ x 2) － 2x 1x 2＝ ( 3) ＋ 2× 3＝ 9 ．13． 5400 解： d ＝ 90× 60＝ 5400．＝ n － 1，14． 1 解：∵ S ＝ n 2，∴ a n ＝ S n － S n － 1＝ n 2a n － (n －1) 2a n －1anna na n － 1 n ＋ 1递推相乘得 a ＝1 S ＝ nlim S ＝1．nn(n ＋ 1) nn ＋ 1 n →∞ n15． x ＜ x ＜ x解：易知 x＜ 0， x 看作 y ＝ log 1的交点横坐标，1x 和 y ＝ x － 22321y 2∴x 1∈ (1 ， 2)122x 3 看作 y ＝xx交点的横坐标．2－x 和 y ＝ 2 O且 0＜ x 3＜ 1．故得 x 2＜ x 3＜ x 1．O1 216．④ 解： f(x)偶， x ≥ 0 时， f(x)22 x 11 ＝sin x － ( )＋ ， x ＝ 0 时， f(x)min＝－ ．3 2217．解：由 P 得：－ 2≤ x<10，∴?p ：A ＝ {x|x ＜－ 2 或 x ＞10}由 q 得： 1－ a ≤ x ≤ 1＋ a ，∴?q ： B ＝ {x|x ＜ 1－ a 或 x ＞ 1＋a ， a ＞ 0} 由?p?q∴ A ≠ B∴ － 2≤ 1－ a 0＜ a ≤ 3．。

黄冈中学竞赛训练题高中数学（77）立体几何1、已知正三棱锥S－ABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面SBC作垂线，垂足为O′，在AO′上取一点P，使AP︰PO′=8，求经过P点且平行底面的截面的面积．[分析及答案] 分析：本题的关键在于求出过P平行于底的截面到顶点的距离与底面到顶点的距离之比．解答：如图10．13，因S－ABC是正三棱锥，所以O是正三角形ABC的中心．连结AO延工交BC 于D，则D是BC的中点，故BC⊥AD，BC⊥SD，因而BC⊥平面SAD，从而平面ASD⊥平面SBC．又AO′⊥平面SBC，故SO′在平面SAD内，因而O′在SD上，于是由设过P作平行于底的平面与SD的交点为O1，则于是故所求截面面积2、设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比．[分析及答案] 分析：设过AM且平行BC的平面交平面PBC于EF（E∈PB，F∈PC），要求两部分体积之比，只要求VP—ABC=S△PEF︰S△PBC．解答：如图10．14，过设AM且平行BC的平面与棱PB、PC分别交于E、F．则EF//BC．连结AO 并延长交BC于D，则D为BC的中点，连结PD交EF于G，则因A到平面PEF的距离即为A到平面ABC的距离，所以在△PAD中，过O作PD的平行线，交AG于N．因为M为PO的中点，故|ON|=|PG|，，故，因而，故所求上下两部分体积之比为3、四面体ABCD被平面α所截，对棱AB，CD都与α平行且与α等距，设α截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积．[分析及答案] 分析：利用“等底、等高的两个四面体的体积相等”将四面体添加几个等体积的四面体，构成一个平行六面体来计算．解答：过四面体ABCD的各棱分别作与其对棱平行的平面，六个平面相交得一平行六面体AC1BD1－A1CB1D（如图10．15）．此时VABCD等于平行六面体的体积V减去四个彼此等积的三棱锥的体积，这四个三棱锥分别是A－A1CD，B－B1DC，C－C1AB，D－D1AB．因为这四个三棱锥的底面积为平行六面体底面积的，其高与平行六面体的高相等，故每一个三棱锥的体积等于于是由于AB，CD与截面α等距，如图10．15可知K，L，M，N分别是AA1，CC1，BB1，DD1的中点，易知，而h就是平面AC1BD1与平面A1CB1D 的距离，所以说明：利用“等积”进行割补，是解决多面体体积问题的一个有效方法．4、设S－ABCD是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，K是棱SC的中点，过AK作平面与线段SB、SD分别交于M、N（M，N可以是线段的端点）．试求四棱锥S－AMKN的体积V的最大值与最小值．[分析及答案]分析：显然S－AMKN的体积V可由SM，SN的长度确定，令，设法建立V与x，y的函数关系，以及x与y的关系，消去x（或y），使V成为y（或x）的一元函数，再求V的最大值和最小值．解答：为了建立V与原四棱锥S－ABCD的关系．我们需要下列结论：引理：设A1，B1，C1分别在三棱锥S－ABC的侧棱SA，SB，SC上，又S－A1B1C1与S－ABC的体积分别是V1和V，则事实上，如图10．17，设C，C1在平面SAB上的射影分别是H，H1．则又，所以下面回到原题，如图10．16．设的体积为于是，由引理可得于是，而由当即时，等号成立，故V的最小值为其次，令时，所以f(u)在单调递减而在[1，2]上单调递增，且因此f(u)在上的最大值为从而当即取最大值为综上得四棱锥S－AMKN的体积V的最大值为，最小值为．说明：本题也可由关于x的方程在区间上有实根的条件，经过讨论得出且两端等号均能达到，从而得出上述同样的结论．5、直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=α，AD是BC边上的高，若此直棱柱的侧面积为S，过BC1且与AD平行的平面与底面成角β，求这平面截棱柱所得截面面积以及棱柱被截面分成的两部分的体积．[分析及答案]分析：利用线面平行关系确定截面的位置后，再计算．解答：如图10．18，因截面与AD平行，故截面与底面的交线为过B与DA平行的直线，设这条直线交CA的延长线于E，连C1E交A1A于F，连BF．则△C1FB即为平行于AD的平面截棱柱所得的截面．因为CC1⊥平面ABC，又AD⊥BC，AD//EB，故BC⊥EB，由三垂线定理得BE⊥BC1，而∠C1BC是二面角C1－BE－C的平面角，故∠C1BC=β．设BC=a，则，于是又CC1⊥平面ABC，故CC1⊥BC．在Rt△C1CB中，CC1=BC tanβ=atanβ．从而有故截面BC1F的面积为设棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，它被截面分成上、下两部分的体积分别为V1和V1，于是又F到平面BCC1B1的距离为h=AD．故因此6、已知圆锥的表面积等于其内切球的表面积的n倍，试确定正整数n的一切可能值．[分析及答案]解析：如图10．19，设圆锥底面半径为R，母线长为l，母线与底面的夹角为α，内切球半径为r．依题意，有πR(R＋l)=n·4πr2．而在△O1OB中有，在△BOC中，有，代入上述等式并约去πR2后，得将代入后，得令，我们得到于是当因为z必须为正数，所以注意到，要使上述解满足条件还必须是0<α<90，即因为故z1,2都符合要求。

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湖北省黄冈中学竞赛训练题
黄冈中学特级教师徐辉
1、在绕竖直轴线作水平匀速转动的圆盘上，沿半径方向放着质量为m A=0.3kg,m B=0.2kg 的A、B两个物体，用一根长为l=0.1m的细绳将它们连接，物体A、B与盘面间的摩擦因数μ=0.4，g取10m/s2,试求：
（1）A离轴心O的距离r A=0.2m时，如图所示（a）A、B两物体同时相对圆盘发生滑动时，圆盘转动角速度至少多大？
（2）当圆盘转动达到A、B正好不滑动时，烧断细绳，则A、B两物体将怎样运动？
（3）将A放在圆心O,B放在距离圆心l处，如图（b），要使物体与盘面不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多大？
2、一个质量m=200.0kg，长l0=2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部（如图所示），桶内横截面积S=0.500m2（桶容积为l0S），桶本身的体积V0=2.50×10－2m3，桶内封有高度l=0.200m的空气，池深H0=20.00m.大气压P0=10.00m水柱高，水密度
ρ=1.000×103kg/m3，重力加速度g=10.00m/s2.若用图中所示的吊绳将桶上提，使桶底到达水面，则绳拉力需做的功有一最小值。

试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和所有水的机械能改变了多少，不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。

3、如图所示的质量为3kg的均质斜面静止于光滑水平面上，斜面上固定一质量为2kg 的均质板AD，质量为2kg的物A置于斜面底端，它与板间摩擦系数为μ=0.6，一质量为0.2kg的子弹以水平速度V0射入A中，试求能使斜面始终不翻倒的最大速度V0（取g=10m/s2）。

黄高预录数学试题 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020绝密★启用前湖北省黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷一．选择题（共11小题）1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且．则（）A．I＞0 B．I＜0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[]=3有正整数解，则正数a的取值范围是（）A．0＜a＜2或2＜a≤3 B．0＜a＜5或6＜a≤7C．1＜a≤2或3≤a＜5 D．0＜a＜2或3≤a＜5个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）A．4种 B．6种 C．10种D．12种4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为分钟、分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学立即离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．分钟D．7分钟5.已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或16．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（） A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE 长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM 上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a 立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．月份用水量（m3）水费（元）1 9 92 15 193 22 3323.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．24.如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．参考答案与试题解析一．选择题1.∴等式成立，∴I=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，故选A．2.解：∵[]=3有正整数解，∴3≤＜4，即6≤3x+a＜8，6﹣a≤3x＜8﹣a，∴≤x＜，∵x是正整数，a为正数，∴x＜，即x可取1、2；①当x取1时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴3≤a＜5；②当x取2时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴0＜a＜2；综上可得a的范围是：0＜a＜2或3≤a＜5．故选D．3.解：∵6个相同的球，放入四个不同的盒子里，∴若有三个盒子里放了1个，一个盒子里放了3个，这种情况下的方法有4种；若有两个盒子里放了2个，两个盒子里放了1个，这种情况下：设四个盒子编号为①②③④，可能放了两个小球的盒子的情况为：①②，①③，①④，②③，②④，③④，所以有6种情况；∴6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有：4+6=10．故选C．4. 这道题可以采用逆推法，我们可以先分析最后一位会用多长时间，很显然不管是谁最后灌水都得用3分钟，所以只需考虑前两个接水的，怎样能够更加节省时间，显然乙第一个灌水会最省时，因为只需分钟．接着是丙，丙灌水的时间加上等乙的时间，也就是分钟，最后是甲．所以只有按乙，丙，甲安排灌水才最省时．【解答】解：按乙，丙，甲安排灌水最省时，这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是+（+1）+（+1+）=5分钟．故选B．【点评】考查了应用类问题，运用了逆推法，按照灌水所需的时间由少到多的顺序安排灌水花费的时间的总和最少．5．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．【解答】解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0解得x﹣=﹣2或1．故选D【点评】本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得=，推出=，即a2+ab﹣b2=0，可得（）2+（）﹣1=0，求出即可解决问题．【解答】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，CE=AD，∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，∵DK∥EC，∴=，∴=，∴a2+ab﹣b2=0，∴（）2+（）﹣1=0，∴=或（舍弃），∴==，故选B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作AH⊥BC，根据折叠的性质得到BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，则∠DEB=90°，再根据等腰梯形的性质得到BH=CE，可计算出CE=2，DE=BE=4，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：作AH⊥BC，如图，∵翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F，∴BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BH=CE，而AD=HE，AD=2，BC=6，∴CE=（6﹣2）=2，∴DE=BE=4，∴△ADB的面积=×2×4=4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰梯形的性质．8．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定【分析】易证△ADE∽△ECF，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF 的长，即可判定△ADE∽△AEF，即可解题．【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，∴AE=2EF，AD=2DE，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE∽△AEF是解题的关键．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=的图象交点的横坐标．【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选B．【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，整理可得x2﹣（y﹣4）2=48，然后将原方程转为 X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，继而可求得答案．【解答】解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．设OB=y，AB=x，∵∠AOM=60°，∴OC=OB?cos60°=y，∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8，∵BC2=OB2﹣OC2，BC2=AB2﹣AC2，∴y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，∴x2﹣（y﹣4）2=48，∵x与y是正整数，且y必为正整数，x﹣4为大于等于﹣4的整数，将原方程转为 X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，∵（X+Y）和（X﹣Y）同奇同偶，∴（X+Y）和（X﹣Y）同为偶数；∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解：，，，解得：，，，∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，当x=7时，y﹣4=±1，y=3或y=5；当x=8时，y﹣4=±4，y=8或y=0（舍去）；当x=13时，y﹣4=±11，y=15或y=﹣7（舍去）；∴共有4组解：或或或．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为1．【分析】本题用换元法解分式方程，由于x2+x是一个整体，可设x2+x=y，可将方程转化为简单的分式方程求y，将y代换，再判断结果能使x为实数．【解答】解：设x2+x=y，则原方程变为﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3．当x2+x=1时，即x2+x﹣1=0，△=12+4×1=5＞0，x存在．当x2+x=﹣3时，即x2+x+3=0，△=12﹣4×3=﹣11＜0，x不存在．∴x2+x=1．【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须验根．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143=0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=025x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．三．解答题（共4小题）16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；（2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20．【解答】解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；分两种情况：①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，∴=，∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）x=﹣x2+8x（0＜x≤3），②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，∴=，即：=，解得：QH′=（14﹣2x），∴y=PB?QH′=（10﹣x）（14﹣2x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；（2）①当0＜x≤3时，y=﹣（x﹣5）2+20．∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5，=．∴当x=3时，y取最大值，y最大当3＜x＜7时，y=x2﹣x+42=（x﹣）2+（3＜x＜7）；∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=，∴当x=3时，y取最大值，但是x=3不符合题意．综上所述，△PBQ的面积的最大值是．（3）存在．理由如下：设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c．∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴AB?a=AC?c=BC?c，即5a=4b=3c，故a：b：c=12：15：20．∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE 长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，∴EN=PE=30米，在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=，∴ME=≈50（米），∴MN=EM﹣EN=20米，答：两渔船M，N之间的距离约为20米；（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L，则四边形DFKA为平行四边形，∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=，在Rt△FLH中，LH==36，在Rt△FLK中，KL==6，∴HK=30，AH=33，梯形DAHF的面积为：×DL×（DF+AH）=432，所以需填土石方为432×100=43200，设原计划平均每天填x立方米，由题意得，12x+（﹣12﹣20）×=43200，解得，x=600，经检验x=600是方程的解．答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．【点评】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．【分析】（1）由关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，可知此一元二次方程的判别式△＞0，即可得不等式，又由x1＜0＜x2，可得x1x2＜0，根据根与系数的关系，可得不等式=m﹣1＜0，解此不等式组即可求得答案；（2）由一元二次方程根与系数的关系即可得 4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1x2==m﹣1，然后将6x12+mx1+m+2x22﹣8=0变形，可得4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1x2]=4，则可得方程（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，∴△=m2﹣4×4×（m﹣4）=m2﹣8m+64=（m﹣4）2+48＞0，∵两根x1，x2满足x1＜0＜x2，∴x1x2==m﹣1＜0，∴m＜8，（2）∵x1、x2是方程的根，∴4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1x2==m﹣1，∵6x12+mx1+m+2x22﹣8=0，∴4x12+mx1+m﹣4+2（x12+x22）﹣4=0∴4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1x2]=4，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=2，即（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，化简得：m2﹣4m=0，解得：m=0 或m=4，∴m的值为0或4．【点评】此题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意利用根与系数的关系将原方程变形求解，注意方程思想的应用．20.【解答】解：∵m+n=mn且m，n是正实数，∴+1=m，即=m﹣1，∴P（m，m﹣1），即“完美点”B在直线y=x﹣1上，∵点A（0，5）在直线y=﹣x+b上，∴b=5，∴直线AM：y=﹣x+5，∵“完美点”B在直线AM上，∴由解得，∴B（3，2），∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=﹣x，而直线y=x﹣1与直线y=x平行，直线y=﹣x+5与直线y=﹣x平行，∴直线AM与直线y=x﹣1垂直，∵点B是直线y=x﹣1与直线AM的交点，∴垂足是点B，∵点C是“完美点”，∴点C在直线y=x﹣1上，∴△MBC是直角三角形，∵B（3，2），A（0，5），∴AB=3，∵AM=4，∴BM=，又∵CM=，∴BC=1，=BM?BC=．∴S△MBC【点评】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．21.解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”，理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，所以，当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（3）∵y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．①当c＜2＜d时，此时二次函数y=x2﹣2x的最小值是﹣2=c，根据“闭函数”的定义知，d=c2﹣2c或d=d2﹣2d；Ⅰ）当d=c2﹣2c时，由于d=×（﹣2）2﹣2×（﹣2）=6＞2，符合题意；Ⅱ）当d=d2﹣2d时，解得d=0或6，由于d＞2，所以d=6；②当c≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵c＜d，∴不合题意，舍去．综上所述，c，d的值分别为﹣2，6．【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．22.【解答】解：月用水量为x立方米，支付费用为y元，则有：y=；（2）由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，于是就有，解得b=2，从而2a=c+19，再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am3，不妨设9＞a，将x=9代入x＞a的关系式，得9=8+2（9﹣a）+c，即2a=c+17，这与2a=c+19矛盾．∴9≤a．从而可知一月份的付款方式应选0≤x≤a的关系式，因此就有8+c=9，解得c=1．故a=10，b=2，c=1．23.【解答】解：（1）由题意可知，当废弃处理量x满足0＜x＜40时，每天利用设备处理废气的综合成本y=40x+1200，∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨，即x=20时，每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元，又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元，∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元；（2）由题意可知，y=，①当0＜x＜40时，令80x﹣（40x+1200）≥0，解得30≤x＜40，②当40≤x≤80时，令80x﹣（2x2﹣100x+5000）≥0，即2x2﹣180x+5000≤0，∵△=1802﹣4×2×5000＜0，∴x无解．综合①②，x的取值范围为30≤x＜40，故当该制药厂每天废气处理量计划为[30，40）吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；（3）∵当40≤x≤80时，投入资金为80x﹣（2x2﹣100x+5000），又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，∴当40≤x≤80时，不等式80x+ax﹣（2x2﹣100x+5000）≥0恒成立，即2x2﹣（180+a）x+5000≤0对任意x∈[40，80]恒成立，令g（x）=2x2﹣（180+a）x+5000，则有，即，即解得，答：市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．24.【解答】解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6则：D到y轴的距离=AB=3、D到x轴的距离=DA?sin∠DAB=3；∴D（3，3）；由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3）；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，有：，解得∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x．（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，∵点P在BC上时，PQ与AC始终相交，和PQ∥AC矛盾，∴点P在BC上时不存在符合要求的t值，当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，所以四边形PCAQ是平行四边形，则PC=AQ，有6﹣2t=t，得t=2．（3）①如图1，当点P在DC上，即0＜t≤3时，有△EDP∽△EAQ，则===，那么AE=AD=2，即y=2；②如图2，当点P在CB上，即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，则=，即=，得y=，。

（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。

填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只需思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合区分品位评分。

一、填空题（此题满分64 分，每题8 分。

直接将答案写在横线上。

）1．函数 f ( x) x 1 的值域为 ________________ ．x 2 4x 72 ．已知 3sin 2 2 sin 2 1 ，3(sin cos ) 2 2(sin cos )2 1 ，则cos2( ) _______________ ．3．已知数列 { a n } 知足： a1为正整数，a n 1 a n, a n 为偶数 ,假如 a1 a 2 a 3 29 ，则21, a n为奇数 ,3a na1 ．4．设会合 S {1,2,3, ,12} ， A { a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集，且知足 a1 a 2 a 3， a3 a2 5 ，那么知足条件的子集 A 的个数为．5．过原点 O 的直线 l 与椭圆 C ：x2 y2 1(a b 0)交于 M,N 两点，P是椭圆 C 上异a 2 b2于 M , N 的任一点．若直线 PM , PN 的斜率之积为1，则椭圆 C 的离心率为 _______________．36．在△ ABC 中， AB BC 2， AC 3 ．设 O 是△ ABC 的心里，若AO p AB qAC ，则p的值为_______________． q7．在长方体 ABCD A1 B1C1 D1中，已知AC 1, B1C 2, AB1 p ，则长方体的体积最大时，p 为 _______________ ．2012 2012 2k．8．设 [ x] 表示不超出x的最大整数，则[ ]k 0 2k 1二、解答题（本大题满分56 分，第 9 题 16 分，第10题 20分，第 11题 20分）9 ．已知正项数列{ a n } 知足anan 1anan 24 anan 1 a n2 13 a n a n 1且a1 1 ，a2 8 ，求{ a n}的通项公式．10．已知正实数a, b 知足 a 2b2 1 ，且a3 b 3 1 m(a b 1)3，求 m 的取值范围．11．已知点 E(m, n) 为抛物线y2 2 px( p 0) 内必定点，过 E 作斜率分别为k1, k2的两条直线交抛物线于A, B,C, D ，且 M , N 分别是线段 AB,CD 的中点．（ 1）当n 0 且 k1 k2 1 时，求△ EMN 的面积的最小值；（ 2）若k1 k2 （0, 为常数），证明：直线 MN 过定点．2012 年全国高中数学结合比赛湖北省初赛试题参照答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）姓名： 班级 ： 分数 ：一、填空题（本题满分56分，每小题7分。

）1．已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081mm ． 2．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为 ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是 ． 4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos ．5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为 ．6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为 ．8．设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是 ．二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。

）9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ．（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ；（2）证明：1111200921<+++a a a ．10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．11．已知抛物线C ：221x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；12．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++．湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）参考答案一、填空题（本题满分56分，每小题7分。

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）姓名： 班级 ： 分数 ：一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，则=100S ．2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为 ．3．设100<n ，则使得nb a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 ．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．5．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．6．设椭圆1422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI ．7．对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知数列}{n a 中，41,121==a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．10．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．11．已知直线x y =与椭圆C ：1111622=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,． （1）用α表示四边形MANB 的面积；（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）详细解答一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（四）姓名：班级：分数：一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知,a b R+∈，集合{||1|,}A x x a x R=+<∈，{||2|,}B x x b x R=->∈，且A B⊆，则a b+的最大值为（ )(A) 3 . (B)2. (C)3. (D)4.2．已知()y f x=是定义在R上的函数，且(2)y f x=+是偶函数，则(2)y f x=图象的一条对称轴是直线（ )(A)1x=. (B）4x=. (C）1x=-. (D）4x=-.3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线()y f x=，一种是平均价格曲线()y g x=（如(2)3f=表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；(2)4g=表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为1元）．下面给出的四个图象中，实线表示()y f x=的图象，虚线表示()y g x=的图象，其中可能正确的是（ )4．设nS是等比数列｛na｝的前n项的和，若3620a a+=，则63SS的值是（）(A)12-. (B)12. (C) -2. (D) 2.5．一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是（）（A）102659+． (B) 84142+．(C) 8412017+． (D) 150.6．已知,x y满足条件1,23,2,1,x yx yxy-≥-⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪≥⎩则x y+的最小值是（ )(A)3. （B）72. (C)2. (D)73.7. If (0,)aπ∈,1lg(1cos),lg()1cosm nαα-==+, then lgsinα=( )(A) m n -. (B ）1m n +． (C) 1()2m n -．(D ）11()2m n+． 8．已知椭圆22143x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ )(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞． 9．如图2，已知三点A 、B 、E 在平面α内，点C 、D 在α外，并且AC 、 DE 都⊥α, BD ⊥AB ．若AB=3, AC=BD=4, CD=5，则BD 与平面α所成的角等于（ )(A) 15o. (B)30o. (C)45o. (D)60o.10．椭圆22194x y +=上到直线2310x y ++=的距离等于332+的点的个数是（ ）(A)1. (B)2. （C ）3. （D ）4.二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．当x 在区间［0,1］上时，函数()2xxf x e e -=+的值域是__________．12．不等式1|1|||x x -<的解集是__________． 13．某商场在中秋节前30天内月饼的销售总量()f t （单位：盒）与时间(030)t t <≤（单位：天）的关系大致满足2()1016f t t t =++，则该商场前t 天平均售出（如前10天的平均售出为(10)10f 盒）的盒数最少为__________． 14．已知△ABC 的三条边的长分别是221,2,21a x x b x x c x =-+=-=-，则△ABC 的内角的最大值是__________．15．已知数列｛n a ｝对任意正整数n 都有12n n n a a a ++=+，若231,1a a =-=，则2011a =_________．16．如图3，直线MN 过△ABC 的重心G ，且,AM mAB AN nAC==u u u u r u u u r u u u r u u u r（其中0,0m n >>),则mn 的最小值是 __________． 17．若tan ,tan αβ是方程图 2237372(log 21log 21)log 21log 210x x ++-⋅=的两个根，则sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ+-的值等于__________．18．已知四面体,四该四面体的内切球半径等于______． 19．从直线:184x yl +=上的任意一点P 作圆22:8O x y +=的两条切线，切点为A 和B ，则弦AB 长度的最小值为__________．20．定义一个对应法则'(,)0,0)P m n P m n →≥≥．现有直角坐标平面内的点 A(2,6）与点B(6,2)，点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则':f M M →．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点'M 经过的路线的长度为__________．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．已知曲线22440y y x +-+=是一条抛物线，则它的焦点坐标是_____，准线方程是_________．22．函数32()331f x x x x =-++图象的对称中心的坐标是_____，现将()f x 的图象按向量a 平移后，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =是奇函数，则向量a =_________．23．已知数列｛n a ｝满足22*,5,4(),5, 5.n n n n na a n a n N y n a a ⎧<+⎪=∈=⎨≥⎪⎩，则y 的最小值是_________，此时n =_________．24．在半径为1的大球内放入6个半径相等的小球，当小球的体积最大时，小球的半径等于____，此时在 6 个小球之间的空隙里还可以放人一小球，该小球的最大半径等于______． 25. If the solution set of x for the inequality21(,,21mx n m a n x ax +≥+-areconstants ) is 1[2,1)(,1]2--U then a = ______,m =_____．湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（四）参考答案（11）2]e e+ （12）11(,0)(0,22U （13）18 （14）120o（15）-2 （16）49（17）0 （18） 19） （20三、B 组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空， 每空4分）（21）1715(,1),88x -= （22）（1,2）；（-1，-2）（23）16；2（241;3-25）11;3-。