浙江省2019年中考数学专题复习专题九分类讨论型问题训练2

方法技巧专题(九) 角的存在性问题1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于()图F9-1A.B.6 C.3 D.122.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-78.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE ⊥BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B[解析] 如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P', ∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2[解析] 如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴=ka,k=.∴OB所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.∴点B的坐标为(,a).∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM≌△OAC.∴S△OAB=2S△OAM=2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.又∵BP'=DP=,BP=2,∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴= ,即=,∴AQ=,∴BQ==,∴CQ=BC-BQ=.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.∵OB=OC=4,∴BC=4,∴BE=BC-CE=,∴tan∠PBF=tan∠CBD==.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P(-,).6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF,∴==.又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,∴设点P(x,x2-2x-2),①点P在x轴上方时,=,整理,得3x2-7x-6=0,解得x1=-(舍去),x2=3,∴点P的坐标为(3,1).②点P在x轴下方时,=,整理,得3x2-5x-6=0,解得x1=(舍去),x2=.当x=时,y=x2-2x-2=-,∴点P的坐标为(,-).综上所述,点P的坐标为(3,1)或(,-).7.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,),可得解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设P(m,-m2+m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,过点P作PM⊥CD于点M,过点C作CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=m.解得m1=,m2=0(舍去),∴P(,).当点P在CD下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P(,).8.[解析] (1)由抛物线经过A,B,C三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC的函数关系式,再过点D作DM ⊥x轴交BC于点M,设点D的坐标,表示出点M的坐标,利用相似三角形将线段DE的长转化为DM的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得∴y=-x2+x+3.(2)设直线BC的解析式为y=kx+m,则有解得∴y=-x+3.设D(n,-n2+n+3) (0<n<4).如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,∴M(n,-n+3).∴DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴=.∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.∴DE=-n2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE取最大值,最大值是.(3)假设存在这样的点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等.∵F是AB的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.如图②,过点B作BG⊥BC交CD的延长线于点G,过点G作GH⊥x轴于点H.∵DE⊥BC,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO相等.①∠DCE=∠CFO,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.∵△GBH∽△BCO,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,∴解得∴y=x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).②若∠CDE=∠CFO,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G(,2).同理可得直线CG的解析式为y=-x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).综上所述,存在点D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,其横坐标为或.。

专题一选择题的解题策略与应试技巧类型一直选法(2018·浙江宁波中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A．54° B．40° C．30° D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．得出EO是△DBC的中位线是解题关键．【自主解答】1．(2018·浙江嘉兴中考)2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1 500 000 km.数1 500 000用科学记数法表示为( ) A．15×105B．1.5×106C．0.15×107D．1.5×1052．(2018·浙江湖州中考) 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A.3rB ．(1＋22)r C ．(1＋32)r D.2r类型二 排除法(或筛选法、淘汰法)(2018·甘肃定西中考)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x ＝1.对于下列说法：①ab ＜0；②2a＋b ＝0；③3a＋c ＞0；④a＋b≥m(am＋b)(m 为实数)；⑤当－1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是( )A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a ＋b 与0的关系；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0. 【自主解答】3．(2018·浙江舟山中考)某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A ．甲 B ．甲与丁 C ．丙D ．丙与丁4．(2018·四川南充中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连结HF.下列结论正确的是( )A ．CE ＝ 5B ．EF ＝22C ．cos ∠CEP＝55D ．HF 2＝EF·CF类型三 特殊值法(2018·湖北十堰中考)如图，直线y ＝－x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，过点B 作BD∥x 轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数y ＝k x 的图象于另一点C ，则CBCA 的值为( )A ．1∶3B ．1∶2 2C ．2∶7D ．3∶10【分析】 联立直线AB 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点A ，B 的坐标，由BD∥x 轴可得出点D 的坐标，由点A ，D 的坐标利用待定系数法可求出直线AD 的表达式，联立直线AD 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出CBCA 的值．【自主解答】5．(2018·四川内江中考)已知：1a －1b ＝13，则abb －a 的值是( )A.13B ．－13C ．3D ．－36．(2018·山东聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )A ．γ＝2α＋βB ．γ＝α＋2βC ．γ＝α＋βD ．γ＝180°－α－β类型四 逆推代入法(2018·江苏泰州中考)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(9，6)，AB⊥y 轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方向运动，同时，点Q 从点A 出发向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动，若点P 与点Q 的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是( )A ．线段PQ 始终经过点(2，3)B ．线段PQ 始终经过点(3，2)C ．线段PQ 始终经过点(2，2)D ．线段PQ 不可能始终经过某一定点【分析】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)．设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)，利用待定系数法求出PQ 的表达式即可判断． 【自主解答】将选项中给出的答案或其特殊值代入题干，逐一验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选项．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度．7．(2018·湖北襄阳中考) 下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A ．任意画一个四边形，其内角和为180° B ．经过任意两点画一条直线 C ．任意画一个菱形，是中心对称图形 D ．过平面内任意三点画一个圆 类型五 图解法(2018·贵州毕节中考) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥－3，x ＜1 的解集在数轴上表示正确的是( )A BC D【分析】先解不等式组，再判断其解集在数轴上的正确表示．【自主解答】8．(2018·山东潍坊中考)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或6类型六动手操作法(2017·河北中考)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【分析】画图即可判断．【自主解答】与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地试题热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的．9．(2018·广西南宁中考)如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP ＝OF ，则cos ∠ADF 的值为( )A.1113B.1315C.1517D.1719类型七 整体代入法(2018·浙江宁波中考)在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为( )图1 图2A ．2aB ．2bC ．2a －2bD ．－2b【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1和S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【自主解答】整体思想也是初中数学中的重要思想之一，它是把题目分散的条件整合起来视为一个整体，从而实现整体代入使其运算得以简化．10．(2018·吉林中考改编)若a ＋b ＝4，ab ＝1，则a 2b ＋ab 2＝( ) A ．1B ．3C ．4D ．511．(2018·云南中考)已知x ＋1x ＝6，则x 2＋1x 的值是( )A ．38B ．36C ．34D ．32类型八 构造法(2018·山东枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为( )A.15B ．2 5C ．215D ．8【分析】 作OH⊥CD 于H ，连结OC ，如图，根据垂径定理由OH⊥CD 得到HC ＝HD ，再利用AP ＝2，BP ＝6可计算出半径OA ＝4，则OP ＝OA －AP ＝2，接着在Rt △OPH 中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH ＝12OP ＝1，然后在Rt △OHC 中利用勾股定理计算出CH ＝15，所以CD ＝2CH ＝215. 【自主解答】综合运用各种知识，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造出与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路，是一种思维创造．12．(2018·山西中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC ＝6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB 边上，则点B′与点B 之间的距离为( )A ．12B ．6C ．6 2D ．6 313．(2018·江苏苏州中考)如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E作EF∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连结DF.若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2类型九 转化法(2018·湖南郴州中考)如图，A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】 先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，再过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.根据S四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S梯形ABDC，得出S △AOB ＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式即可得出S △AOB . 【自主解答】常言道：“兵无常势，题无常形”，面对千变万化的中考新题型，当我们在思维受阻时，运用思维转化策略，换一个角度去思考问题，常常能打破僵局，解题中不断调整，不断转化，可以使我们少一些“山穷水复疑无路”的尴尬，多一些“柳暗花明又一村”的喜悦．14. (2018·湖北宜昌中考)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B.12C.13D.14参考答案【专题类型突破】 类型一【例1】 ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.∵对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点， ∴EO 是△DBC 的中位线，∴EO∥BC，∠1＝∠ACB＝40°.故选B. 变式训练 1．B 2.D 类型二【例2】 ①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a，b 异号，∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴x ＝－b2a ＝1，∴2a＋b ＝0，故正确； ③∵2a＋b ＝0，∴b＝－2a ， ∵当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0， ∴a－(－2a)＋c ＝3a ＋c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m ＝1时，有最大值； 当m≠1时，有am 2＋bm ＋c≤a＋b ＋c ， 所以a ＋b≥m(am＋b)(m 为实数)．故正确． ⑤当－1＜x ＜3时，y 不只是大于0.故错误． 故选A. 变式训练 3．B 4.D 类型三【例3】 联立直线AB 及反比例函数表达式组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝k x，解得⎩⎨⎧x 1＝－－k ，y 1＝－k ，⎩⎨⎧x 2＝－k ，y 2＝－－k ，∴点B 的坐标为(－－k ，－k)，点A 的坐标为(－k ，－－k)． ∵BD∥x 轴，∴点D 的坐标为(0，－k)． 设直线AD 的表达式为y ＝mx ＋n.将A(－k ，－－k)，D(0，－k)代入y ＝mx ＋n ，⎩⎨⎧－km ＋n ＝－－k ，n ＝－k ，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝－k ， ∴直线AD 的表达式为y ＝－2x ＋－k. 联立直线AD 及反比例函数表达式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋－k ，y ＝kx， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－－k 2，y 3＝2－k ，⎩⎨⎧x 4＝－k ，y 4＝－－k ， ∴点C 的坐标为(－－k2，2－k)． ∴CBCA＝ [－－k －（－－k 2）]2＋（－k －2－k ）2[－k －（－－k 2）]2＋（－－k －2－k ）2＝13.故选A. 变式训练 5．C 6.A 类型四【例4】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)． 设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将P(t ，0)，Q(9－2t ，6)代入y ＝kx ＋b ， ⎩⎪⎨⎪⎧kt ＋b ＝0，（9－2t ）k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23－t ，b ＝2t t －3， ∴直线PQ 的表达式为y ＝23－t x ＋2tt －3.∵x＝3时，y ＝2，∴直线PQ 始终经过(3，2)．故选B. 变式训练 7．D 类型五【例5】 解不等式2x ＋1≥－3得x≥－2. ∵x<1，∴不等式组的解集为－2≤x<1. 将其正确表示在数轴上为选项D.故选D. 变式训练 8．B 类型六【例6】 如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的弧线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于2－2小于等于1，故选C.变式训练 9．C 类型七【例7】 S 1＝(AB －a)·a＋(CD －b)(AD －a)＝(AB －a)·a＋(AB －b)(AD －a)， S 2＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)，∴S 2－S 1＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)－(AB －a)·a－(AB －b)(AD －a)＝(AD －a)(AB －AB ＋b)＋(AB －a)(a －b －a)＝b·AD－ab －b·AB＋ab ＝b(AD －AB)＝2b.故选B. 变式训练 10．C 11.C 类型八【例8】 如图，作OH⊥CD 于H ，连结OC.∵OH⊥CD，∴HC＝HD. ∵AP＝2，BP ＝6，∴AB＝8， ∴OA＝4，∴OP＝OA －AP ＝2. 在Rt△OPH 中，∵∠OPH＝30°， ∴∠POH＝60°，∴OH＝12OP ＝1.在Rt △OHC 中，∵OC＝4，OH ＝1， ∴CH＝OC 2－OH 2＝15， ∴CD＝2CH ＝215.故选C. 变式训练 12．D 13.B类型九【例9】 ∵A，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x ＝2时，y ＝2，即A(2，2)， 当x ＝4时，y ＝1，即B(4，1)．如图，过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，则S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.∵S 四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC ， ∴S△AOB ＝S 梯形ABDC .∵S 梯形ABDC ＝12(BD ＋AC)·CD＝12(1＋2)×2＝3，∴S △AOB ＝3.故选B. 变式训练 14．B专题一选择题的解题策略与应试技巧类型一直选法(2018·浙江宁波中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A．54° B．40° C．30° D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．得出EO是△DBC的中位线是解题关键．【自主解答】1．(2018·浙江嘉兴中考)2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1 500 000 km.数1 500 000用科学记数法表示为( ) A．15×105B．1.5×106C．0.15×107D．1.5×1052．(2018·浙江湖州中考) 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A.3rB ．(1＋22)r C ．(1＋32)r D.2r类型二 排除法(或筛选法、淘汰法)(2018·甘肃定西中考)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x ＝1.对于下列说法：①ab ＜0；②2a＋b ＝0；③3a＋c ＞0；④a＋b≥m(am＋b)(m 为实数)；⑤当－1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是( )A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a ＋b 与0的关系；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0. 【自主解答】3．(2018·浙江舟山中考)某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A ．甲 B ．甲与丁 C ．丙D ．丙与丁4．(2018·四川南充中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连结HF.下列结论正确的是( )A ．CE ＝ 5B ．EF ＝22C ．cos ∠CEP＝55D ．HF 2＝EF·CF类型三 特殊值法(2018·湖北十堰中考)如图，直线y ＝－x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，过点B 作BD∥x 轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数y ＝k x 的图象于另一点C ，则CBCA 的值为( )A ．1∶3B ．1∶2 2C ．2∶7D ．3∶10【分析】 联立直线AB 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点A ，B 的坐标，由BD∥x 轴可得出点D 的坐标，由点A ，D 的坐标利用待定系数法可求出直线AD 的表达式，联立直线AD 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出CBCA 的值．【自主解答】5．(2018·四川内江中考)已知：1a －1b ＝13，则abb －a 的值是( )A.13B ．－13C ．3D ．－36．(2018·山东聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )A ．γ＝2α＋βB ．γ＝α＋2βC ．γ＝α＋βD ．γ＝180°－α－β类型四 逆推代入法(2018·江苏泰州中考)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(9，6)，AB⊥y 轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方向运动，同时，点Q 从点A 出发向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动，若点P 与点Q 的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是( )A ．线段PQ 始终经过点(2，3)B ．线段PQ 始终经过点(3，2)C ．线段PQ 始终经过点(2，2)D ．线段PQ 不可能始终经过某一定点【分析】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)．设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)，利用待定系数法求出PQ 的表达式即可判断． 【自主解答】将选项中给出的答案或其特殊值代入题干，逐一验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选项．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度．7．(2018·湖北襄阳中考) 下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A ．任意画一个四边形，其内角和为180° B ．经过任意两点画一条直线 C ．任意画一个菱形，是中心对称图形 D ．过平面内任意三点画一个圆 类型五 图解法(2018·贵州毕节中考) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥－3，x ＜1 的解集在数轴上表示正确的是( )A BC D【分析】先解不等式组，再判断其解集在数轴上的正确表示．【自主解答】8．(2018·山东潍坊中考)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或6类型六动手操作法(2017·河北中考)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【分析】画图即可判断．【自主解答】与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地试题热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的．9．(2018·广西南宁中考)如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP ＝OF ，则cos ∠ADF 的值为( )A.1113B.1315C.1517D.1719类型七 整体代入法(2018·浙江宁波中考)在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为( )图1 图2A ．2aB ．2bC ．2a －2bD ．－2b【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1和S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【自主解答】整体思想也是初中数学中的重要思想之一，它是把题目分散的条件整合起来视为一个整体，从而实现整体代入使其运算得以简化．10．(2018·吉林中考改编)若a ＋b ＝4，ab ＝1，则a 2b ＋ab 2＝( ) A ．1B ．3C ．4D ．511．(2018·云南中考)已知x ＋1x ＝6，则x 2＋1x 的值是( )A ．38B ．36C ．34D ．32类型八 构造法(2018·山东枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为( )A.15B ．2 5C ．215D ．8【分析】 作OH⊥CD 于H ，连结OC ，如图，根据垂径定理由OH⊥CD 得到HC ＝HD ，再利用AP ＝2，BP ＝6可计算出半径OA ＝4，则OP ＝OA －AP ＝2，接着在Rt △OPH 中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH ＝12OP ＝1，然后在Rt △OHC 中利用勾股定理计算出CH ＝15，所以CD ＝2CH ＝215. 【自主解答】综合运用各种知识，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造出与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路，是一种思维创造．12．(2018·山西中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC ＝6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB 边上，则点B′与点B 之间的距离为( )A ．12B ．6C ．6 2D ．6 313．(2018·江苏苏州中考)如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E作EF∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连结DF.若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2类型九 转化法(2018·湖南郴州中考)如图，A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】 先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，再过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.根据S四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S梯形ABDC，得出S △AOB ＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式即可得出S △AOB . 【自主解答】常言道：“兵无常势，题无常形”，面对千变万化的中考新题型，当我们在思维受阻时，运用思维转化策略，换一个角度去思考问题，常常能打破僵局，解题中不断调整，不断转化，可以使我们少一些“山穷水复疑无路”的尴尬，多一些“柳暗花明又一村”的喜悦．14. (2018·湖北宜昌中考)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B.12C.13D.14参考答案【专题类型突破】 类型一【例1】 ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.∵对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点， ∴EO 是△DBC 的中位线，∴EO∥BC，∠1＝∠ACB＝40°.故选B. 变式训练 1．B 2.D 类型二【例2】 ①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a，b 异号，∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴x ＝－b2a ＝1，∴2a＋b ＝0，故正确； ③∵2a＋b ＝0，∴b＝－2a ， ∵当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0， ∴a－(－2a)＋c ＝3a ＋c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m ＝1时，有最大值； 当m≠1时，有am 2＋bm ＋c≤a＋b ＋c ， 所以a ＋b≥m(am＋b)(m 为实数)．故正确． ⑤当－1＜x ＜3时，y 不只是大于0.故错误． 故选A. 变式训练 3．B 4.D 类型三【例3】 联立直线AB 及反比例函数表达式组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝k x，解得⎩⎨⎧x 1＝－－k ，y 1＝－k ，⎩⎨⎧x 2＝－k ，y 2＝－－k ，∴点B 的坐标为(－－k ，－k)，点A 的坐标为(－k ，－－k)． ∵BD∥x 轴，∴点D 的坐标为(0，－k)． 设直线AD 的表达式为y ＝mx ＋n.将A(－k ，－－k)，D(0，－k)代入y ＝mx ＋n ，⎩⎨⎧－km ＋n ＝－－k ，n ＝－k ，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝－k ， ∴直线AD 的表达式为y ＝－2x ＋－k. 联立直线AD 及反比例函数表达式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋－k ，y ＝kx， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－－k 2，y 3＝2－k ，⎩⎨⎧x 4＝－k ，y 4＝－－k ， ∴点C 的坐标为(－－k2，2－k)． ∴CBCA＝ [－－k －（－－k 2）]2＋（－k －2－k ）2[－k －（－－k 2）]2＋（－－k －2－k ）2＝13.故选A. 变式训练 5．C 6.A 类型四【例4】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)． 设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将P(t ，0)，Q(9－2t ，6)代入y ＝kx ＋b ， ⎩⎪⎨⎪⎧kt ＋b ＝0，（9－2t ）k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23－t ，b ＝2t t －3， ∴直线PQ 的表达式为y ＝23－t x ＋2tt －3.∵x＝3时，y ＝2，∴直线PQ 始终经过(3，2)．故选B. 变式训练 7．D 类型五【例5】 解不等式2x ＋1≥－3得x≥－2. ∵x<1，∴不等式组的解集为－2≤x<1. 将其正确表示在数轴上为选项D.故选D. 变式训练 8．B 类型六【例6】 如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的弧线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于2－2小于等于1，故选C.变式训练 9．C 类型七【例7】 S 1＝(AB －a)·a＋(CD －b)(AD －a)＝(AB －a)·a＋(AB －b)(AD －a)， S 2＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)，∴S 2－S 1＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)－(AB －a)·a－(AB －b)(AD －a)＝(AD －a)(AB －AB ＋b)＋(AB －a)(a －b －a)＝b·AD－ab －b·AB＋ab ＝b(AD －AB)＝2b.故选B. 变式训练 10．C 11.C 类型八【例8】 如图，作OH⊥CD 于H ，连结OC.∵OH⊥CD，∴HC＝HD. ∵AP＝2，BP ＝6，∴AB＝8， ∴OA＝4，∴OP＝OA －AP ＝2. 在Rt△OPH 中，∵∠OPH＝30°， ∴∠POH＝60°，∴OH＝12OP ＝1.在Rt △OHC 中，∵OC＝4，OH ＝1， ∴CH＝OC 2－OH 2＝15， ∴CD＝2CH ＝215.故选C. 变式训练 12．D 13.B类型九【例9】 ∵A，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x ＝2时，y ＝2，即A(2，2)， 当x ＝4时，y ＝1，即B(4，1)．如图，过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，则S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.∵S 四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC ， ∴S△AOB ＝S 梯形ABDC .∵S 梯形ABDC ＝12(BD ＋AC)·CD＝12(1＋2)×2＝3，∴S △AOB ＝3.故选B. 变式训练 14．B专题二 填空题的解题策略与应试技巧类型一 直接推演法(2018·湖北黄石中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为________．【分析】先利用勾股定理计算出AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的周长公式求解． 【自主解答】直接推演法是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发，利用定义、定理、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，它是解填空题的最基本、最常用的方法．1．(2018·浙江舟山中考)小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”小红赢的概率是____，据此判断该游戏__________(填“公平”或“不公平”)．2．(2016·浙江衢州中考)如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，点C ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，当k 的值改变时，正方形ABCD 的大小也随之改变． (1)当k ＝2时，正方形A′B′C′D′的边长等于____．(2)当变化的正方形ABCD 与(1)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k 的取值范围是______________．类型二 特殊元素法(2018·江苏连云港中考改编)已知A(－4，y 1)，B(－1，y 2)是反比例函数y ＝kx (k ＜0)图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为________．【分析】可用特殊值法，根据反比例函数的表达式可以求出y 1与y 2的大小，从而可以解答本题． 【自主解答】当填空题的结论唯一或题目条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊方案、特殊模型等)进行处理，从而得到探求的结论，这样可大大地简化推理、论证的过程．3．(2018·广西玉林中考)已知ab ＝a ＋b ＋1，则(a －1)(b －1)＝______．4．(2018·陕西中考)若一个反比例函数的图象经过点A(m ，m)和B(2m ，－1)，则这个反比例函数的表达式为_______． 类型三 数形结合法(2018·山东枣庄中考)如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．【分析】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出BC 与AC 的长度． 【自主解答】“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数学中大量数的问题后面都隐藏着图形的信息，图形的特征也体现许多数量关系．我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观地揭示出来，以达到“形帮数”的目的；同时我们又要运用数的规律和数值的计算来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的．对于含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简化问题，得出准确的结果．类型四等价转化法(2018·吉林长春中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1，则A′C的长为________．【分析】解方程x2＋mx＝0得A(－m，0)，再利用对称的性质得到点A的坐标为(－1，0)，所以抛物线表达式为y＝x2＋x，再计算自变量为1的函数值得到A′(1，2)，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【自主解答】5．(2018·天津中考) 如图，在边长为4的等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，EF⊥AC 于点F ，G 为EF 的中点，连结DG ，则DG 的长为___________．参考答案类型一【例1】 ∵∠C＝90°，CA ＝8，CB ＝6， ∴AB＝62＋82＝10， ∴△ABC 的内切圆的半径＝6＋8－102＝2， ∴△ABC 内切圆的周长＝2×π×2＝4π. 故答案为4π. 变式训练1.14 不公平2.(1) 2 (2)29<k<18 类型二【例2】 不妨取k ＝－4 ，则反比例函数为y ＝－4x，∴当x ＝－4时，y 1＝1；当x ＝－1时，y 2＝4， ∴y 1＜y 2.故答案为y 1＜y 2. 变式训练 3．2 4.y ＝4x类型三【例3】 根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大， 由图象可知点P 从B 向C 运动时，BP 的最大值为5，即BC ＝5. 由于M 是曲线部分的最低点， ∴此时BP 最小，即BP⊥AC，BP ＝4， ∴由勾股定理可知PC ＝3.由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA＝3，∴AC＝6，∴S △ABC ＝12×4×6＝12.故答案为12.类型四【例4】 当y ＝0时，x 2＋mx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－m ，则A(－m ，0)． ∵点A 关于点B 的对称点为A′，点A′的横坐标为1， ∴点A 的坐标为(－1，0)， ∴抛物线表达式为y ＝x 2＋x.当x ＝1时，y ＝x 2＋x ＝2，则A′(1，2)， 当y ＝2时，x 2＋x ＝2，解得x 1＝－2，x 2＝1，则C(－2，2)， ∴A′C 的长为1－(－2)＝3.故答案为3. 变式训练 5.192专题二 填空题的解题策略与应试技巧类型一 直接推演法(2018·湖北黄石中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为________．【分析】先利用勾股定理计算出AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的周长公式求解． 【自主解答】直接推演法是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发，利用定义、定理、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，它是解填空题的最基本、最常用的方法．1．(2018·浙江舟山中考)小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”小红赢的概率是____，据此判断该游戏__________(填“公平”或“不公平”)．2．(2016·浙江衢州中考)如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，点C ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，当k 的值改变时，正方形ABCD 的大小也随之改变． (1)当k ＝2时，正方形A′B′C′D′的边长等于____．(2)当变化的正方形ABCD 与(1)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k 的取值范围是______________．类型二 特殊元素法。

专题九分类讨论型问题姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是( )A．27 B．36 C．27或36 D．182．(2016·天津中考)已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( ) A．1或－5 B．－1或5 C．1或－3 D．1或33．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝______________．4．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为___________．5．(2017·湖南怀化中考)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为______________cm.6．(2017·青海西宁中考)若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数表达式为____________________．7．正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PCA都是等腰三角形，则这样的点P有( )A．1个B．4个C．7个D．10个8．(2016·浙江绍兴中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为______________．9．(2018·贵州遵义中考)如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连结DA，DC.已知半圆O的半径为3，BC＝2.(1)求AD的长；(2)点P是线段AC上一动点，连结DP，作∠DPF＝∠DAC，PF交线段CD于点F.当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．10．(2017·浙江丽水中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF⊥AF 交AD 于点G ，设ADAE ＝n.(1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ADAB的值；(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．参考答案【基础训练】1．B 2.B 3.3或33或37 4.355或3225．103－10 6.y ＝x 或y ＝－x 【拔高训练】7．D 8.22或4－2 2 9．解：(1)如图1，连结OD. ∵OA＝OD ＝3，BC ＝2，图1∴AC＝8.∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴AE＝12AC ＝4，∴OE＝AE －OA ＝1.在Rt△ODE 中，DE ＝OD 2－OE 2＝2 2. 在Rt△ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝2 6. (2)如图2，当DP ＝DF 时，图2点P 与A 重合，F 与C 重合，则AP ＝0； 如图3，当DP ＝PF 时，图3 ∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF＝∠DAC，∴∠DPF＝∠C.∵∠PDF＝∠CDP，∴△PDF∽△CDP，∴∠DFP＝∠DPC，∴∠CDP＝∠CPD，∴CP＝CD，∴AP＝AC－CP＝AC－CD＝AC－AD＝8－26；如图4，当PF＝DF时，图4 ∴∠FDP＝∠FPD.∵∠DPF＝∠DAC＝∠C，∴△DAC∽△PDC，∴PCCD＝CDAC，∴8－AP26＝268，∴AP＝5.综上所述，当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8－2 6. 【培优训练】10．解：设AE＝a，则AD＝na.(1)由对称知AE＝FE，∵GF⊥AF，∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°， ∴∠FGA＝∠EFG，∴EG＝EF ， ∴AE＝EG.(2)如图1，当点F 落在AC 上时，图1由对称知，BE⊥AF， ∴∠ABE＋∠BAC＝90°， ∵∠DAC＋∠BAC＝90°. ∴∠ABE＝∠DAC. ∵∠BAE＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DAC， ∴AB DA ＝AE DC. ∵AB＝DC ，∴AB 2＝AD·AE＝na 2. ∵AB＞0，∴AB＝na ，∴AD AB ＝nana ＝n.(3)若AD ＝4AB ，则AB ＝n4a.如图2，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a ，此时n4a ＝a ，图2∴n＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4. ∵点F 落在矩形内部，点G 在AD 上， ∴∠FCG＜∠BCD， ∴∠FCG＜90°. ①当∠CFG＝90°时， 如图3，则点F 落在AC 上．图3由(2)得ADAB＝n ，∴n＝16.②当∠CGF＝90°时，则∠CGD＋∠AGF＝90°. ∵∠FAG＋∠AGF＝90°， ∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE. ∵∠BAE＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DGC，∴AB DG ＝AEDC ，∴AB·DC＝DG·AE. ∵DG＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ， ∴(n4a)2＝(n －2)a·a， ∴n＝8＋42或n ＝8－42(由于n ＞4，舍去)．综上所述，当n＝16或n＝8＋42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．。

分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

故顶角可能是50°或80°.答案：D .同步测试：1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:数与式（2）一、单选题1.计算2a-3a，结果正确的是（）A. -1B. 1C. -aD. a【答案】C【考点】合并同类项法则及应用【解析】【解答】解：∵原式=（2-3）a=-a.故答案为：C.【分析】根据合并同类项法则：相同字母不变，系数相加减，由此即可得出答案.2.若分式有意义，则x的取值范围是（）A. x>2B. x≠2C. x≠0D. x≠-2【答案】B【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得：x-2≠0，解得：x≠2.故答案为：B【分析】分式有意义的条件是：分母不为0，从而列出不等式，求解即可。

3.下列运算一定正确的是（）A. 2a+2a=2a2B. a2·a3=a6C. (2a2)3=6a6D. (a+b)(a-b)=a2-b2【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，平方差公式及应用，合并同类项法则及应用，积的乘方【解析】【解答】解：A、2a+2a=4a ，故A不符合题意；B、a2·a3=a5，故B不符合题意；C、(2a2)3=8a6 ，故C不符合题意；D、（a+b）（a-b）=a2-b2,故D符合题意；故答案为：D【分析】利用合并同类项的法则，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B 作出判断；利用积的乘方运算法则可以C作出判断；根据平方差公式的计算方法，可对D作出判断。

4.计算，正确的结果是（）A. 1B.C. aD.【答案】A【考点】分式的加减法【解析】【解答】解：= ，故答案为：A.【分析】根据分式加减法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，依此即可得出答案.5.下列计算正确的是（）A. a6+a6=a12B. a6×a2=a8C. a6÷a2=a3D. （a6）2=a8【答案】B【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A.∵a6+a6=2a6，故错误，A不符合题意；B.∵a6×a2=a6+2=a8，故正确，B符合题意；C.∵a6÷a2=a6-2=a4，故错误，C不符合题意；D.∵（a6）2=a2×6=a12，故错误，D不符合题意；故答案为：B.【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误；B.根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，依此计算即可判断正确；C.根据同底数幂的除法：底数不变，指数相减，依此计算即可判断错误；D.根据幂的乘方：底数不变，指数相乘，依此计算即可判断错误.6.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A、∵a²和a³不是同类项，∴不能加减，故此答案错误,不符合题意；B、∵，∴此答案错误，不符合题意；C、∵，∴此答案错误，不符合题意；D、∵，∴此答案正确，符合题意。

微专题一 数形结合与实数的运算姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A 、点B ，则下列说法正确的是( ) A ．原点在点A 的左边 B ．原点在线段AB 的中点处 C ．原点在点B 的右边D ．原点可以在点A 或点B 上2．(2018·浙江绍兴模拟)计算－(2)2＋(2＋π)0＋(－12)－2的结果是( )A ．1B ．2C.114D ．33．定义一种新运算☆，其规则为a☆b＝1a ＋1b ，根据这个规则，计算2☆3的值是( )A.56B.15C ．5D ．64．如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四点中，与表示数－3的点最接近的是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D5．若实数a 满足|a －12|＝32，则a 对应于图中数轴上的点可以是A ，B ，C 三点中的点______.6．计算：8－|2－22|＋2tan 45°＝______．7．(2019·创新题)按所给程序计算：输入x ＝3，则输出的答案是________.输入x →立方→－x →÷2→答案8．观察下列各式： 11×2＝1－12＝12； 11×2＋12×3＝1－12＋12－13＝23； 11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝34； …按以上规律，写出第n 个式子的计算结果(n 为正整数)____．(写出最简计算结果即可) 9．设S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…，S n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2.设S ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则S ＝____(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数). 10．设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6.则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝______________．11．(2019·创新题)有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是5，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4…则第2 018次输出的结果是______.12．(2019·改编题)计算：2－2＋(327－146)÷6－3sin 45°.13．计算：(13)－1－|－2＋3tan 45°|＋(2－2 018)0－(2－3)(2＋3)．14．如图，点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，且A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|.回答下列问题：(1)在数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，在数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；(2)在数轴上表示x 和－5的两点之间的距离是________；(3)若x 表示一个有理数，则|x －1|＋|x ＋3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．15．我们知道，一元二次方程x 2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2＝－1(即方程x 2＝－1有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ，i2＝－1，i 3＝i 2·i ＝(－1)·i ＝－i ，i 4＝(i 2)2＝(－1)2＝1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i4n ＋1＝i 4n ·i ＝(i 4)n ·i ＝i ，同理可得i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1.求i ＋i 2＋i3＋i 4＋…＋i 2 018＋i 2 019的值．参考答案1．D 2.D 3.A 4.B5．B 6.4 7.12 8.nn＋19.n2＋2nn＋110．6 666 11.412．解：原式＝4＋3276－14－3×22＝4＋922－14－322＝154＋3 2.13．解：原式＝3－(2－3)＋1－(2－3)＝3－2＋3＋1－(－1)＝3＋ 3.14．解：(1)3 4(2)|x＋5|(3)根据绝对值的定义知|x－1|＋|x＋3|可表示点x到表示1与－3的两点的距离之和．根据几何意义分析可知当x在－3与1之间时，|x－1|＋|x＋3|有最小值4.15．解：由题意得，i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝i5·i＝－1，故可发现4个一循环，一个循环内的和为0.∵2 019÷4＝504 (3)∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 018＋i2 019＝504×0＋(i－1－i)＝－1.微专题二 代数式的化简与求值姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列运算正确的是( ) A ．x －2x ＝－x B ．2x －y ＝－xy C ．x 2＋x 2＝x 4D ．(x －1)2＝x 2－12．(2018·浙江丽水模拟)已知1a －1b ＝13，则2aba －b 的值是( )A.16B ．－16C ．6D ．－63．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为( )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定4．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( ) A ．9B ．±3C ．3D ．55．已知2a －3b ＝7，则8＋6b －4a ＝________. 6．已知a<0，化简：4－（a ＋1a）2－4＋（a －1a）2＝________.7．若1（2n －1）（2n ＋1）＝a 2n －1＋b2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝____，b ＝______；计算：m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝____.8．(2019·改编题)若m 2＝n ＋2，n 2＝m ＋2(m≠n)，则m 3－2mn ＋n 3的值为________. 9. 先化简，再求值：(x ＋2)(x －2) ＋x(1－x)，其中x ＝－1.10．化简：(a ＋1a －1－a a ＋1)÷3a ＋1a 2＋a11．已知A ＝x 2＋2x ＋1x －1－xx －1.(1)化简A.(2)当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0，且x 为整数时，求A 的值．12．先化简，再求值：m 2－4m ＋4m －1÷(3m －1－m －1)，其中m ＝2－2.13．为鼓励学生努力学习，某校拿出了b 元资金作为奖学金，其中一部分作为奖学金发给了n 个学生．奖金分配方案如下：首先将n 个学生按学习成绩、思想道德评价(假设n 个学生的综合评分均不相同)从高到低，由1到n 排序，第1位学生得奖金bn 元，然后再将余额除以n 发给第2位学生，按此方法将奖金逐一发给了n 个学生．(1)假设第k 个学生得到的奖金为a k 元(1≤k≤n)，试用k ，n 和b 表示a k .(2)比较a k 和a k ＋1的大小(k ＝1，2，…，n －1)，并解释此结果就奖学金设置原则的合理性．参考答案1．A 2.D 3.A 4.C 5．－6 6.－2 7.1021 8.－29．解：原式＝x 2－4＋x －x 2＝x －4. 当x ＝－1时，原式＝－1－4＝－5. 10．解：原式＝[（a ＋1）2（a －1）（a ＋1）－a （a －1）（a －1）（a ＋1）]·a 2＋a 3a ＋1 ＝a 2＋2a ＋1－a 2＋a （a －1）（a ＋1）·a （a ＋1）3a ＋1＝3a ＋1（a －1）（a ＋1）·a （a ＋1）3a ＋1＝aa －1. 11．解：(1)A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1＝（x ＋1）2（x ＋1）（x －1）－xx －1 ＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1. (2)解x －1≥0，得x≥1； 解x －3<0，得x<3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0的解为1≤x<3. ∵x 为整数，∴x＝1，2. 当x ＝1时，分式无意义． 当x ＝2时，A ＝12－1＝1. 12．解：原式＝（m －2）2m －1÷3－m 2＋1m －1＝（m －2）2m －1÷（2＋m ）（2－m ）m －1＝（m －2）2m －1×m －1（2＋m ）（2－m ）＝2－m 2＋m .当m ＝2－2时，原式＝2－2＋22＋2－2＝4－22＝22－1.13．解：(1)a k ＝b n (1－1n )k －1.(2)∵a k ＝b n (1－1n )k －1，a k ＋1＝b n (1－1n )k，∴a k ＋1＝(1－1n)a k <a k ，说明排名越靠前获得的奖学金越多．微专题三 列方程(组)解应用题姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是( ) A ．100元 B ．90元C ．810元D ．819元2．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店( ) A ．不盈不亏 B ．盈利20元 C ．亏损10元D ．亏损30元3．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于( )个正方体的重量．A ．2B ．3C ．4D ．54．夏季来临，某超市试销A ，B 两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A 型风扇每台200元，B 型风扇每台150元，问A ，B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，则根据题意列出方程组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5 300200x ＋150y ＝30B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5 300150x ＋200y ＝30 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30200x ＋150y ＝5 300 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30150x ＋200y ＝5 300 5．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差( ) A ．10分钟 B ．13分钟 C ．15分钟D ．19分钟6．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为__________________________．7．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为________尺，竿子长为________尺．8．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．9．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求两种型号粽子各多少千克．10．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．(1)原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？(2)到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2，且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a ＞0)，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a 的值．参考答案1．A 2.C 3.D 4.C 5.D 6．2x ＋56＝589－x 7.20 15 8．解：设城中有x 户人家． 依题意得x ＋x3＝100，解得x ＝75.答：城中有75户人家．9．解：设订购了A 型粽子x 千克，B 型粽子y 千克，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －20，28x ＋24y ＝2 560，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝60.答：订购了A 型粽子40千克，B 型粽子60千克．10．解：(1)设道路硬化的里程数是x 千米，则道路拓宽的里程数是(50－x)千米． 根据题意得x≥4(50－x)，解得x≥40.答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．(2)设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x 千米，x 千米，2x ＋x ＝45，x ＝15，2x ＝30，设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y 万元，2y 万元， 30y ＋15×2y＝780，y ＝13， 2y ＝26，由题意得13(1＋a%)·40(1＋5a%)＋26(1＋5a%)·10(1＋8a%)＝780(1＋10a%)， 设a%＝m ，则520(1＋m)(1＋5m)＋260(1＋5m)(1＋8m)＝780(1＋10m)， 10m 2－m ＝0，m 1＝0.1，m 2＝0(舍去)， ∴a＝10.微专题四 反比例函数、二次函数图象与性质的综合应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则 ①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ； ②a－b ＋c ＜0； ③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点D 为矩形OABC 的AB 边的中点，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点D ，交BC边于点E.若△BDE 的面积为1，则k ＝______．3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间x(单位：s )之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？4．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝x －2x 的图象与性质．因为y ＝x －2x ＝1－2x ，即y ＝－2x ＋1，所以我们对比函数y ＝－2x 来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y ＝x －2x 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：(1)请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连结起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而________；(填“增大”或“减小”) ②y＝x －2x 的图象是由y ＝－2x 的图象向______平移______个单位而得到；③图象关于点______________中心对称．(填点的坐标)(3)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数y ＝x －2x 的图象上的两点，且x 1＋x 2＝0，试求y 1＋y 2＋3的值．5.为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？6．如图，四边形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数y ＝m x 与y ＝nx (x ＞0，0＜m ＜n)的图象上，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC 于点P.已知点B 的横坐标为4. (1)当m ＝4，n ＝20时．①若点P 的纵坐标为2，求直线AB 的函数表达式；②若点P 是BD 的中点，试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；(2)四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m ，n 之间的数量关系；若不能，试说明理由．参考答案1．B 2.43．解：(1)当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝1，x 2＝3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是1 s 或3 s. (2)当y ＝0时，0＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝0，x 2＝4 ∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s. (3)y ＝－5x 2＋20x ＝－5(x －2)2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时，y ＝20，答：在飞行过程中，小球飞行高度在第2 s 时最大，最大高度是20 m. 4．解：(1)画出函数图象如图所示．(2)①增大 ②上 1 ③(0，1) (3)∵x 1＋x 2＝0，∴x 1＝－x 2.∴A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于(0，1)对称， ∴y 1＋y 2＝2， ∴y 1＋y 2＋3＝5.5．解：(1)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，代入A(4，4)，B(6，2)得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝4，6k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝8，∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋8.同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋5.∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3(万元)，∴当4≤x≤6时，w 1＝(x －4)(－x ＋8)－3＝－x 2＋12x －35， 当6<x≤8时，w 2＝(x －4)(－12x ＋5)－3＝－12x 2＋7x －23.(2)当4≤x≤6时，w 1＝－x 2＋12x －35＝－(x －6)2＋1， ∴当x ＝6时，w 1取最大值是1. 当6<x≤8时，w 2＝－12x 2＋7x －23＝－12(x －7)2＋32，当x ＝7时，w 2取最大值是32.∴1032＝203＝623， 即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款． 6．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数为y ＝4x .当x ＝4时，y ＝1，∴B(4，1)． 当y ＝2时，2＝4x ，∴x＝2，∴A(2，2)．设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝3，∴直线AB 的表达式为y ＝－12x ＋3.②四边形ABCD 是菱形．理由如下：如图，由①知，B(4，1)．∵BD∥y 轴，∴D(4，5)．∵点P 是线段BD 的中点，∴P(4，3)． 当y ＝3时，由y ＝4x 得x ＝43，由y ＝20x 得x ＝203，∴PA＝4－43＝83，PC ＝203－4＝83，∴PA＝PC.∵PB＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD⊥AC，∴四边形ABCD 是菱形． (2)四边形ABCD 能是正方形．理由如下：当四边形ABCD 是正方形时， PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝t(t≠0)． 当x ＝4时，y ＝m x ＝m4，∴B(4，m4)，∴A(4－t ，m 4＋t)，∴(4－t)(m4＋t)＝m ，∴t＝4－m 4，∴点D 的纵坐标为m 4＋2t ＝m 4＋2(4－m 4)＝8－m4，∴D(4，8－m 4)，∴4(8－m4)＝n ，∴m＋n ＝32.微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE，连结AD ，CD. (1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值．2．如图，在等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别同时从点A ，B ，C 出发，以相同的速度在AB ，BC ，CA 上运动，连结DE ，EF ，DF. (1)证明：△DEF 是等边三角形；(2)在运动过程中，当△CEF 是直角三角形时，试求S △DEFS △ABC的值．3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．5．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：(1)求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；(2)求△PQR面积的最小值；(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间，是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．6．问题：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________；探索：(2)如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠A DC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．参考答案1．(1)证明：在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点， ∴BC＝EA ，∠ABC＝60°. ∵△DEB 为等边三角形，∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°， ∴∠DEA＝∠DBC， ∴△ADE≌△CDB.(2)解：如图，作点E 关于直线AC 对称点E′，连结BE′交AC 于点H ，连结EH ，AE′， 则点H 即为符合条件的点．由作图可知，EH ＝HE′，AE′＝AE ，∠E′AC＝∠BAC＝30°， ∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形， ∴EE′＝EA ＝12AB ，∴∠AE′B＝90°.在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC ＝3， ∴AB＝23，AE′＝AE ＝3，∴BE′＝AB 2－AE′2＝（23）2－（3）2＝3， ∴BH＋EH 的最小值为3.2．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB ＝BC ＝CA. ∵AD＝BE ＝CF ，∴BD＝CE ＝AF. 在△ADF，△BED 和△CFE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BE ＝CF ，∠A＝∠B＝∠C，AF ＝BD ＝CE ，∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴FD＝DE ＝EF ， ∴△DEF 是等边三角形．(2)解：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形，∴△DEF∽△ABC.当DE⊥BC 时(EF⊥BC 时，同理)，∠BDE＝30°， ∴BE＝12BD ，即BE ＝13BC ，CE ＝23BC.∵EF＝EC·sin 60°＝23BC·32＝33BC ，∴S △DEF S △ABC ＝(EF BC )2＝(33)2＝13. 3．(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD 为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC，∴CD 是△ABC 的完美分割线． (2)解：①当AD ＝CD 时，如图，则∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°. ②当AD ＝AC 时，如图，则∠ACD＝∠ADC＝180°－48°2＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°. ③当AC ＝CD 时，如图，则∠ADC ＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°. ∵∠ADC＝∠BCD＝48°与∠ADC>∠BCD 矛盾， ∴AC＝CD 不成立．综上所述，∠ACB＝96°或114°. (3)解：由已知得AD ＝AC ＝2. ∵△BCD∽△BAC，∴BC BA ＝BD BC ＝CDAC .设BD ＝x(x>0)， 则(2)2＝x(x ＋2)， 解得x ＝3－1(负值舍去)， ∴CD AC ＝BD BC ＝3－12， ∴CD＝3－12×2＝6－ 2. 4．(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE.(2)解：如图，①当点E 在AB 上时，BE ＝AB －AE ＝1.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA.∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC， ∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝15，∴PB＝255. ②如图，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝3.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA.∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC， ∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝35，∴PB＝655. 综上所述，PB 的长为255或655.5．(1)证明：在Rt△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8， ∴BC＝10，sin∠B＝AC BC ＝810＝45，sin∠C＝35.如图，过点Q 作QE⊥AB 于点E ，作QD⊥AC 于点D.在Rt△BQE 中，BQ ＝5t ， ∴sin∠B＝QE BQ ＝45，∴QE＝4t.在Rt△CDQ 中，CQ ＝BC －BQ ＝10－5t ， ∴QD＝CQ·sin∠C＝35(10－5t)＝3(2－t)，QE ＝BQ·sin∠B＝5t·45＝4t.由运动知AP ＝3t ，CR ＝4t ，∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)，AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)， ∴S △APR ＝12AP·AR＝12×3t×4(2－t)＝6t(2－t)，S △BPQ ＝12BP·QE＝12×3(2－t)×4t＝6t(2－t)，S △CQR ＝12CR·QD＝12×4t×3(2－t)＝6t(2－t)，∴S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ，∴△APR，△BPQ，△CQR 的面积相等．(2)解：由(1)知，S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ＝6t(2－t)． ∵AB＝6，AC ＝8，∴S △PQR ＝S △ABC －(S △APR ＋S △B PQ ＋S △CQR ) ＝12×6×8－3×6t(2－t)＝24－18(2t －t 2) ＝18(t －1)2＋6.∵0≤t≤2，∴当t ＝1时，S △PQR 最小＝6.(3)解：存在．由(1)知QE ＝4t ，QD ＝3(2－t)，AP ＝3t ，CR ＝4t ，AR ＝4(2－t)， ∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)， AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)． ∵∠A＝90°，∴四边形AEQD 是矩形， ∴AE＝DQ ＝3(2－t)，AD ＝QE ＝4t ， ∴DR＝|AD －AR|＝|4t －4(2－t)| ＝|4(2t －2)|，PE ＝|AP －AE|＝|3t －3(2－t)| ＝|3(2t －2)|.∵∠DQE＝90°，∠PQR＝90°， ∴∠DQR＝∠EQP， ∴tan∠DQR＝tan∠EQP. 在Rt△DQR 中，tan∠DQR＝DR DQ ＝4|2t －2|3（2－t ），在Rt△EQP 中，tan∠EQP＝PE QE ＝3|2t －2|4t ，∴4|2t －2|3（2－t ）＝3|2t －2|4t ， ∴t＝1825或1.6．解：(1) BC ＝DC ＋EC (2)BD 2＋CD 2＝2AD 2，理由如下： 如图，连结CE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD 与△CAE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE ，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°，∴CE 2＋CD 2＝ED 2. 在Rt△ADE 中，AD 2＋AE 2＝ED 2，AD ＝AE ， ∴BD 2＋CD 2＝ED 2，ED ＝2AD ， ∴BD 2＋CD 2＝2AD 2.(3)如图，作AE⊥AD，使AE ＝AD ，连结CE ，DE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD 与△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ＝9. ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝CE 2－CD 2＝6 2. ∵∠DAE＝90°，∴AD ＝AE ＝22DE ＝6.微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．2．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连结CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN.(1)求证：OM＝ON；(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．4．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC.(1)求证：点F为AB的中点；(2)延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值．5．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm.操作发现：(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连结CC′，取CC′的中点F，连结AF并延长至点G，使FG＝AF，连结CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论；实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连结CC′，试求tan∠C′CH的值．参考答案1．证明：(1)如图，延长AO 到E. ∵OA＝OB ，∴∠ABO＝∠BAO. 又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)， 即∠BOD＝2∠BAD.又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)如图，连结OC.∵OB＝OD ，CB ＝CD ，OC ＝OC ， ∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC， ∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，∴∠BOC＝12∠BOD，∠BCO＝12∠BCD.又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC. 又OB ＝OD ，BC ＝CD ， ∴OB＝BC ＝CD ＝DO ， ∴四边形OBCD 是菱形．2．证明：(1)∵E 是AD 的中点，∴AE＝DE. ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB， ∴△AEF≌△DEB (AAS)． (2)如图，连结DF.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE.∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB.∵AB＝AC，∴DF＝AC，∴四边形ADCF是矩形．3．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°.∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON. (2)解：如图，过点O作OH⊥AD于点H.∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2.∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM＝22＋42＝25，∴MN＝2OM＝210.4．(1)证明：∵EF⊥EC，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC.∵AE＝DC ，∴△AEF≌△DCE. ∴ED＝AF.∵AE＝DC ＝AB ＝2DE ，∴AB＝2AF ，∴F 是AB 的中点． (2)解：由(1)得AF ＝FB ，且AE∥BH， ∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB， ∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE. ∵ED＝2，且AE ＝2ED ，∴AE＝4， ∴HB＝AB ＝AE ＝4，∴AH 2＝AB 2＋BH 2＝16＋16＝32， ∴AH＝4 2. 5．解：(1)菱形(2)在图1中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°.在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠DAC′， ∴∠BAC＋∠DAC′＝90°. ∵点D ，A ，B 在同一条直线上， ∴∠CAC′＝90°. 由旋转知，AC ＝AC′.∵点F 是CC′的中点，∴AG⊥CC′，CF ＝C′F. ∵AF＝FG ，∴四边形ACGC′是平行四边形． ∵AG⊥CC′，∴四边形ACGC′是菱形． ∵∠CAC′＝90°， ∴菱形ACGC′是正方形．(3)在Rt△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4， ∴BC′＝AC ＝4，BD ＝BC ＝23， sin ∠ACB＝AB AC ＝12，∴∠ACB＝30°.由(2)结合平移知，∠CHC′＝90°.在Rt△BCH 中，∠ACB＝30°， ∴BH＝BC·sin 30°＝3， ∴C′H＝BC′－BH ＝4－ 3. 在Rt△ABH 中，AH ＝12AB ＝1，∴CH＝AC －AH ＝4－1＝3， 在Rt△CHC′中，tan ∠C′CH＝C′H CH ＝4－33.微专题七 与圆有关的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．若将半径为12 cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( ) A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°得到△BOD，则AB ︵的长为( )A ．πB.32πC ．3πD ．6π3. 如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分的面积为( )A.23π－2 3 B.23π－ 3 C.43π－2 3D.43π－ 3 4．一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，并用A 表示“试验结果落在区域D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率为P A ＝MD .如图，现在往等边三角形ABC 内投入一个点，则该点落在△ABC 的内切圆中的概率是______.5．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a ，则勒洛三角形的周长为________．6．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d.如图所示，当n ＝6时，π≈l d ＝6r 2r ＝3，那么当n ＝12时，π≈ld ＝____________．(结果精确到0.01，参考数据：sin 15°＝cos 75°≈0.259)7．如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，M ，N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是______.8．如图1是小明制作的一副弓箭，点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝60cm .沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝30 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°. (1)图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为________cm .(2)如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为______________cm .9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE⊥AC 分别交AC 、AB 的延长线于点E ，F.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝4，CE ＝2，求BD ︵的长度．(结果保留π)10.如图，已知AB 是圆O 的直径．弦CD⊥AB，垂足为H.与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连结AF 交CD 于点N.(1)求证：CA ＝CN ；(2)连结DF ，若cos ∠DFA＝45，AN ＝210，求圆O 的直径的长度．11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x －23与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1.(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．参考答案1．D 2.B 3.C 4.39π 5.πa 6.3.11 7.4 2 8．(1)30 3 (2)105－10 9．解：(1)证明：如图，连结OD.∵OA＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD 平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO， ∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE. ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF， ∴EF 是⊙O 的切线．(2)如图，作OG⊥AE 于点G ，连结BD ，则AG ＝CG ＝12AC ＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG 是矩形，∴OA＝OB ＝OD ＝CG ＋CE ＝2＋2＝4，∠DOG＝90°. ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°， ∴△ADE∽△ABD， ∴AE AD ＝AD AB ，即6AD ＝AD 8， ∴AD 2＝48.在Rt△ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝4. 在Rt△ABD 中，∵AB＝2BD ， ∴∠BAD＝30°， ∴∠BOD＝60°，则BD ︵的长度为60·π·4180＝4π3.10．(1)证明：如图，连结OF. ∵ME 与圆O 相切于点F ，∴OF⊥ME， 即∠OFN＋∠MFN＝90°.∵∠OFN＝∠OAN，∠OAN＋∠ANH＝90°， ∴∠MFN＝∠ANH.(等量代换) 又∵ME∥AC，∴∠MFN＝∠NAC， ∴∠ANH＝∠NAC.∴CA＝CN.(2)解：如图，连结OC ， ∵cos ∠DFA＝45，∴cos C＝45.在直角△AHC 中，设AC ＝5a ，HC ＝4a ， 则AH ＝3a.由(1)知，CA ＝CN ，∴NH＝a.在直角△ANH 中，利用勾股定理得AH 2＋NH 2＝AN 2， 即(3a)2＋a 2＝(210)2，解得a ＝2.如图，连结OC ，在直角△OHC 中，利用勾股定理得OH 2＋HC 2＝OC 2. 设圆O 的半径为R ，则(R －6)2＋82＝R 2，解得2R ＝503，∴圆O 的直径长度为2R ＝503.11．解：(1)原点O 在⊙P 外．理由：∵直线y ＝3x －23与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点， ∴点A(2，0)，点B(0，－23)． 在Rt△OAB 中，tan∠OBA＝OA OB ＝33，∴∠OBA＝30°.如图，过点O 作OH⊥AB 于点H.在Rt△OBH 中，OH ＝OB·sin∠OBA＝ 3. ∵3>1，∴原点O 在⊙P 外．(2)如图，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴右侧时，∵PB＝PC ，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P 被y 轴所截得的劣弧所对的圆心角为180°－30°－30°＝120°， ∴弧长为120π×1180＝2π3.同理，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为2π3.∴当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧长为2π3.(3)如图，当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴下方时，设切点为D ，连结DP ，则PD⊥x 轴，∴PD∥y 轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°，∴在Rt△DAP中，AD＝DP·tan ∠DPA＝1×tan 30°＝33，∴OD＝OA－AD＝2－33，∴此时点D的坐标为(2－33，0)．当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为(2＋33，0)．综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为(2－33，0)或(2＋33，0)．微专题八巧用图形变换进行计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是( )2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 33．如图，已知⊙O的半径为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分的面积为_________.4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C 处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m.5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝______cm.6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题：(1)请简述由图①变成图②的形成过程：______________________________________________________.(2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______.7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________．8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2 019次后，点P的坐标为______________________.9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN＝MN.10．问题背景：如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．(1)实践运用：如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________．(2)知识拓展：如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．。

专题09分类讨论型问题【考点综述评价】在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．【考点分类总结】考点1字母的不同取值引起分类讨论【典型例题】（2017浙江省宁波市）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3yx=的图象上，则m的值为．【答案】4或12．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数3yx=的图象上，二是AC边的中点在反比例函数3yx=的图象上，进而算出m的值．【方法归纳】解答绝对值化简、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等问题时，由于字母的不同取值可能会引起分类讨论。

【变式训练】（2017黑龙江省齐齐哈尔市）若关于x的方程29304kx x--=有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【答案】C．【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣94）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．考点2研究对象对应关系的不确定性引起分类讨论【典型例题】（2017湖南省郴州市）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣12x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）试求该抛物线表达式；学+科-网（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？【答案】（1）218455y x x =+-；（2）P 的坐标为（﹣52，﹣274）或（﹣8，﹣4）；（3）①证明见解析；②点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18．【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a 、c 的方程组，然后解方程组求得a 、c 的值即可；（2）设P （m ，218455m m +-），则F （m ，﹣12m ﹣4），则PF =2121510m m --，当PF =OC 时，四边形PCOF 是平行四边形，然后依据PF =OC 列方程求解即可；（3）①先求得点D 的坐标，然后再求得AC 、DC 、AD 的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD ∽△CHP 、△ACD ∽△PHC 两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可【解答】（1）由题意得：842054a c c ⎧+⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：154a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的表达式为218455y x x =+-．（2）设P （m ，218455m m +-），则F （m ，﹣12m ﹣4），∴PF =（﹣12m ﹣4）﹣（218455m m +-）=2121510m m --．∵PE ⊥x 轴，∴PF ∥OC ，∴PF =OC 时，四边形PCOF 是平行四边形，∴2121510m m --=4，解得：m =﹣52②由①得∠ACD =90°．当△ACD ∽△CHP 时，AC CH CD HP =218255545n n n --=-218255545n n n +=-，解得：n =0（舍去）或n =﹣5.5或n =﹣10.5． 当△ACD ∽△PHC 时，AC PHCD CH =25184555n n n -=--25184555n n n -=+．解得：n =0（舍去）或n =2或n =﹣18．综上所述：点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD相似．【方法归纳】解答未明确底和腰的等腰三角形、未明确直角顶点的直角三角形、两角未明确对应关系的全等或相似等问题时，需要分类讨论．【变式训练】（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．综上所述：当△ABM为直角三角形时，AM的长为4374．故答案为：43474．考点3 图形的不同位置引起分类讨论【典型例题】（2017黄冈）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t （s ）．（1）当t =1s 时，求经过点O ，P ，A 三点的抛物线的解析式； （2）当t =2s 时，求tan ∠QP A 的值；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM =2AM 时，求t （s ）的值；（4）连接CQ ，当点P ，Q 在运动过程中，记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．【答案】（1）2334y x x =-+；（2）23；（3）t =3s ；（4）3 (02)24324(24)24(4)t t S t t t t t⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩．【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QP A的值；（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．【解答】（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，则CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴BP BM AQ AM=，且BM=2AM，∴244tt--=2，解得t=3，∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；（4）当0≤t ≤2时，如图3，由题意可知CP =2t ，∴S =S △PCQ =12×2t ×3=3t ；学+-科/+网43AM t t -=，解得AM =312t t -，∴BM =3﹣312t t -=12t ，∴S =S △BCM =12×4×12t =24t ； 综上可知：3 (02)24324(24)24(4)t t S t t t t t⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩．【方法归纳】解答此类问题时，由于图形的不同位置导致结果不同，需要分类讨论．【变式训练】（2017辽宁省辽阳市）如图1，抛物线213y x bx c =++经过A （23-，0）、B （0，﹣2）两点，点C 在y 轴上，△ABC 为等边三角形，点D 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），过点D 作DE ⊥AC 于点E ，以DE 为边作矩形DEGF ，使点F 在x 轴上，点G 在AC 或AC 的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF 沿GF 所在直线翻折，得矩形D 'E 'GF ，当点D 的对称点D '落在抛物线上时，求此时点D '的坐标；（3）如图2，在x 轴上有一点M （230），连接BM 、CM ，在点D 的运动过程中，设矩形DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）213233y x x =+-；（2）D ′（433，109）；（3）22423(0)353412383(2)3t t S t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩．【分析】（1）把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）由等边三角形的性质可知∠BAC =60°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE =t ，DE =3t ，AF=23t ，然后再证明AD =DF =2t ，过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ，接下来，再求得点D ′的坐标，最后将点D ′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；学.+科+网 （3）当0＜t ≤43时，S =ED •DF ；当43＜t ≤2时，S =矩形DEGF 的面积﹣△CGN 的面积． 【解答】（1）把A （23-，0）、B （0，﹣2）代入抛物线的解析式得：21122303c b c =-⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩，解得：32b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ．（3）由（2）可知：DE =3t ，DF =2t ，AE =t ． 如图2所示：当AE +EG ≤AC 时，即t +2t ≤4，解得：t ≤43．∴当0＜t ≤43时，S =ED •DF =223t ． 当43＜t ≤2时，如图3所示：∵CG =AG ﹣AC ，∴CG =3t ﹣4，∴GN =3343t -∴S =ED •DF ﹣12CG •GN =223t ﹣12（3t ﹣4）3（3t ﹣4）=25312383t +-+-科.网综上所述，S与t的函数关系式为22423(0)353412383(2)23t tSt t t⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．考点4数学概念、定理本身引发分类讨论【典型例题】已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣4≤y≤8，则kb的值为．【答案】﹣24或﹣48．【分析】根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【方法归纳】在解答此类问题时，由于数学概念、定理本身的规定导致需要分类讨论。

2019-2020年初三数学《分类讨论题》复习（含练习及答案）（苏科版）在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型一 概念型分类讨论题有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如a 的定义分a ＜0、a ＝0和a ＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概念型分类讨论题．【例1】若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ．类型二 性质型分类讨论题 有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之为性质型分类讨论题．【例2】已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2 【例3】已知函数1y x=的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（ ）A ．1y <-B ．1y ≤-C ．1y ≤- 或0y >D ．1y <-或0y ≥类型三 参数型分类讨论题 解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题． 【例4】若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）【例5】对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例6】关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为 ( )O-1-1X(A)a=0． (B)a=2． (C)a=1． (D)a=0或a=2．类型四解集型分类讨论题求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解．我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题．【例7】先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x->.解：∵29(3)(3)x x x-=+-，∴(3)(3)0x x+->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）3030xx+>⎧⎨->⎩（2）3030xx+<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x>，解不等式组（2），得3x<-，故(3)(3)0x x+->的解集为3x>或3x<-，即一元二次不等式290x->的解集为3x>或3x<-.问题：求分式不等式5123xx+<-的解集.类型五统计型分类讨论题有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．这一类问题我们称之为统计型分类讨论题．【例8】已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为．类型六方案设计型分类讨论题在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案，这一类问题我们称之为方案设计型分类讨论题．【例9】一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( )A．4种 B．3种 C．2种 D．1种类型七综合型分类讨论题【例10】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数2yx=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为( )A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个.几何中的分类讨论类型之一：与等腰三角形有关的分类讨论与角有关的分类讨论：1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________考点1 与边有关的分类讨论2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.与高有关的分类讨论3.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，5.为美化环境，计划在某小区内用2请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.6. 如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为1）．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；（2）在图2中，点D，E为格点（小正方形的顶点），则线段DE=；若点F也是格点且使得△DEF是等腰三角形，标出所有的点F．综合应用7.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标类型之二：与直角三角形有关的分类讨论8. 已知x轴上有两点A（﹣3，0），B（1，0），在直线l：x+y+1=0上取一点C（x，y），使得△ABC为直角三角形．求点C的坐标．9.如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是 。

中考数学分类讨论题型整编【知识整合创新】整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。

目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.中考高分解密：题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对52k -分类讨论.解：（1）当502k -=时，即52k =时，此函数为1122y x =-+，故其与x 轴只有一个交点（1，0） （2）当55022k k -≠≠，即时，此函数为二次函数，2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-.①当2k =时，Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===，交点坐标为（1，0）②当2k ≠时，Δ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k-和. 综合所述：当52k =或2k =时，函数图像与x 轴只有一个交点（1，0）；当52k ≠且2k ≠时，函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k -. 变式思考1已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，易知ΔDMN 是等腰Rt Δ，只有当MD ＝2时，1MDN S ∆=，那么3ABCD MDN S S S =-=，此时求得42t =-，第（2）问中，随着t 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式，进而作出图像.解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，∵l 的解析式y x t =+，在x 轴，y 轴上所截线段相等.∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3，∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-=又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅= ∴MD ＝ND ＝2，∴ON ＝OD －DM ＝4－2，即D 点的坐标为（0，4－2）∴42t =-，即当42t =-时，S ＝3.（2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时，21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时，21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+ 当t ≥4时，S ＝4根据以上解析式，作图如下图（图2）变式思考2 如图所示，在平行四边形ABCD 中， 4AD cm =， ∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE的面积；（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C→→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN ，使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤10），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2.①求S 关于t 的函数关系式；②（附加题）求S 的最大值.易误点睛：讨论变量t 的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.考题3．在ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，圆A 的半径为1，如图所示，若点O 在BC 边上运动，（与点B 和C 不重合），设BO ＝x ，ΔAOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作圆O ，求当圆O与圆A 相切时ΔAOC 的面积.名师点拔：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22∴AD ＝AB sin 45⋅︒=2图（2）445AB BC Sin ==︒ ∴OC=BC －BO=4－x ，故ΔAOC 的面积y 与x 的函数解析式为12y OC AD =⋅即1(4)242y x x =-⨯=- （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵∠BAC=90° AB=AC=22 ∴BC=4 AD ＝12BC ＝2 ∴112(4)422AOC S OC AD x x ∆=⋅=⨯⨯-=- 即4(04)y x x =-+<<（2）当点O 与点D 重合时，圆O 与圆A 相交，不合题意；当点O 与点D 不重合时，在Rt ΔAOD 中，222224248AO AD OD x x x =+=+-=-+∵⊙A 的半径为1，⊙O 的半径为x∴①当⊙A 与⊙O 外切时 22(1)48x x x +=-+ 解得76x =此时，ΔAOC 的面积717466y =-= ②当⊙A 与⊙O 内切时，22(1)48x x x +=-+ 解得72x =此时ΔAOC 的面积71422y =-= ∴当⊙A 与⊙O 相切时，ΔAOC 的面积为17162或. 变式思考3如图，直线443y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N （1）求M ，N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线443y x =-+相切，求点P 的坐标. 易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.考题4如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，直线:33l y x m =-与y 轴的交点为B ，其中m ＞0. （1）写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标 （用含有m 的代数式表示）（2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数.（3）动点Q 在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.名师点拨：（1）对称轴x m =，顶点A （m,0）（2）把x ＝m 代入33y x m =-得330y m m =-= ∴点A （m,0）在直线l 上，直线l 与y 轴相交，则B 点的横坐标为：3y m =-；B 点坐标为(0,3)m -，由三角函数知识可得：3tan 3OB m OAB OA m∠=== 即∠OAB ＝60° （3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。

方法技巧专题二分类讨论思想训练当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．一、选择题1．⊙O中，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为( ) A．50° B．80°或50°C．130° D．50°或130°2．[2019·荆门] 已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )A．7 B．10C．11 D．10或113．[2019·聊城] 如图F2－1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )图F2－1A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题4．[2019·西宁] 若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．5．[2019·西宁] ⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．图F2－27．[2019·江西]如图F2－2是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．8．[2019·齐齐哈尔] 如图F2－3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是________．图F2－39．[2019·鄂州] 如图F2－4，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB 为直角三角形时，AP ＝________．图F2－410．[2019·荆门] 如图F2－5，已知点A(1，2)是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，连结AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，点P 是x 轴上一动点，若△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标是________．图F2－511．[2019·义乌] 如图F2－6，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，点P 是边OB 上的点，若使P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是________．图F2－6参考答案1．D 2.D 3.B 4．y ＝x 或y ＝－x 5．75°或15°6．2 3或4 3或6 [解析] ①当∠ABC＝60°时，如图①，求得CP ＝2 3或4 3；②当∠ACB＝60°时，如图②，此时CP ＝6.7．5 2或4 5或5 [解析] 如图所示．①当点P 在AD 边上时，△AEP 是等腰直角三角形，底边PE ＝2AE ＝5 2； ②当点P 在BC 边上时，P 1E ＝AE ＝5，BE ＝AB －AE ＝8－5＝3， ∴P 1B ＝P 1E 2－BE 2＝4.∴AP 1＝AB 2＋P 1B 2＝82＋42＝4 5； ③当点P 在DC 边上时，P 2A ＝P 2E ，底边AE ＝5.综上所述，等腰三角形AEP 的底边长为5 2或4 5或5.8．10或4 13或2 73 [解析] ∵AB＝AC ＝10，BC ＝12，底边BC 上的高是AD ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，BD ＝CD ＝12BC ＝12×12＝6，∴AD ＝102－62＝8.∴用这两个三角形拼成平行四边形，可以分三种情况：(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是82＋122＝4 13.(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是62＋162＝2 73.综上所述，这个平行四边形较长的对角线的长是10或4 13或2 73.9．3或3 3或3 7 [解析] 如图，分类讨论如下：(1)当∠APB＝90°时，以AB为直径作⊙O，与直线l交于点P1，P2，则AP1＝3，AP2＝3 3；(2)当∠PAB＝90°时，AP3＝3 3；(3)当∠ABP＝90°时，BP4＝3 3，AP4＝AB2＋BP42＝62＋（3 3）2＝3 7.综上所述，当△APB为直角三角形时，AP＝3或3 3或3 7.10．(－5，0)或(－3，0)或(3，0)或(5，0)①11．x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2 [解析] 分三种情况：①如图①，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；②如图②，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，②∴MC⊥OB，∵∠AOB＝45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC＝OC＝4，∴OM＝4 2，当M与D重合时，即x＝OM－DM＝4 2－4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图③，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，③则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N为圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4 2时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，使P，M，N构成等腰三角形，此时，满足条件的点P恰好有三个．综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.故答案为x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图所示，将两根钢条,AA BB ''的中点O 连在一起，使,AA BB ''可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OA B ≅''的理由是：（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A 所代表的正方形的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．643．有理数﹣12的倒数是（ ） A ．12B ．﹣2C ．2D ．14．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 在坐标轴上，顶点B 的坐标是（4，2），若直线y ＝mx ﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m 的值为（ ）A ．1B ．0.5C ．0.75D ．25 （ ） A ．16的平方根B ．16的算术平方根C ．±4D ．±26．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．D ．87．如图，四边形AOBC 和四边形CDEF 都是正方形，边OA 在x 轴上，边OB 在y 轴上，点D 在边CB 上，反比例函数8y x=，在第二象限的图像经过点E ,则正方形AOBC 与正方形CDEF 的面积之差为（ ）A.6B.8C.10D.128．如图，矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝4，按以下步骤作图：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB ，BC 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点H ，作射线BH ，交DC 于点G ，则DG 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧，交对角线AC 于点E ，再分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于图中的点F 处，连接AF 并延长，与BC 的延长线交于点P ，则∠P ＝( )A ．90°B ．45°C ．30°D ．22.5°10．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下：则这15名同学一周在校参加体育锻炼的时间的中位数和众数分别为( ) A.6，7B.7，7C.7，6D.6，611．从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ） A.12B.13C.14D.1512．在同一直角坐标平面内，如果直线y ＝k 1x 与双曲线2k y x=没有交点，那么k 1和k 2的关系一定是（ ） A.k 1+k 2＝0B.k 1•k 2＜0C.k 1•k 2＞0D.k 1＝k 2二、填空题13．长春市农博产业园占地2150000平方米，数字2150000用科学记数法表示为（ ）A ．21.5×105B ．2.15×105C ．2.15×106D ．0.215×107 14．64的算术平方根是______．15．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：如果__________，那么_______． 16．如图，n 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点1M ，2M ，3M ，n M 分别为边1B 2B ，23B B ，34B B ，，1n n B B +的中点，111B C M △的面积为1S ，222B C M △的面积为2S ，，n n nB C M △的面积为n S ，则n S =________．（用含n 的式子表示）17．如图，已知直线AB ∥CD ，∠1＝60°，∠2＝45°，则∠CBD 的度数为_____．18．分解因式(x －1)2－4的结果是______． 三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y （立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x 的取值范围．20．已知2222x 4x 4x 11T x 2x x x x⎛⎫-+-=+÷ ⎪-+⎝⎭ （1）化简T ；（2）若x 为△ABC 的面积，其中∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，求T 的值．21．有三面小旗，分别为红、黄、蓝三种颜色．（1）把三面小旗按不同顺序排列，共有多少种不同排法？用树状图表示，并把它们排列出来．（2）如果把小旗从左至右排列，红色小旗排在最左端的概率是多少？22．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国．十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现．森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键．截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1全国森林面积和森林覆盖率1220表2北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：（1）从第次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；（2）补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；（3）第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a，全国森林覆盖率21.63%记为b，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到 万公顷（用含a 和b 的式子表示）．23．二孩政策出台后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同 （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生育一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ． （2）乙家庭没有孩子，准备生育两个孩子，请利用列表或画树状图求至少有一个男孩的概率． 24．中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护伞”如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近．为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距20海里的船队首（O 点）尾（A 点）前去拦截，4分钟后同时到达B 点将可疑快艇驱离．已知甲直升机每小时飞行180海里，航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，求乙直升机的飞行速度．25．一般轮船在A 、B 两个港口之间航行，顺流需要4个小时，逆流需要5个小时，已知水流通度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．C 14．815．四边形的对角线互相平分 这个四边形是平行四边形 16．()142n 1-17．75°18．(x －3)( x ＋1) 三、解答题19．（1）每小时的进水量为5立方米；（2）当8≤x≤12时，y ＝3x+1；（3）3792x 剟. 【解析】 【分析】（1）由4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米即能求每小时进水量；（2）由图象可得，8≤x≤12时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；（3）由（2）的函数关系式即能求在8到12点时，哪个时间开始贮水量不小于28立方米，且能求出每小时的出水量；14点后贮水量为37立方米开始每小时减2立方米，即能求等于28立方米的时刻【详解】解：（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时）∴每小时的进水量为5立方米．（2）设函数y ＝kx+b 经过点（8，25），（12，37）8251237k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：31k b =⎧⎨=⎩∴当8≤x≤12时，y ＝3x+1 （3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升3立方米∴每小时出水量为：5﹣3＝2（立方米）当8≤x≤12时，3x+1≥28，解得：x≥9当x ＞14时，37﹣2（x ﹣14）≥28，解得：x≤372∴当水塔中的贮水量不小于28立方米时，x 的取值范围是9≤x≤372 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数．20．（1）2x ﹣3；（2）3.【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）根据直角三角形的性质求出x 的值，代入计算可得．【详解】解（1）222244112x x x T xx x x x ⎛⎫-+-=+÷ ⎪-+⎝⎭ ＝2(2)(1)(1)(2)(1)x x x x x x x x ⎛⎫-+-+⋅ ⎪-+⎝⎭， ＝12x x x x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2x ﹣3；（2）∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，∴tan BC A AC ==，∴AC ＝∴122x =⨯⨯=当x =23233T x =-=⨯=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及直角三角形的性质．21．（1）共有6种不同排法：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红；（2）红色小旗排在最左端的概率是13． 【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）首先由（1）中的树状图即可求得红色小旗排在最左端的情况，然后由概率公式求得答案．【详解】（1）画树状图得：则共有6种不同排法：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红；（2）∵由（1）中的树状图得：红色小旗排在最左端的有2种情况， ∴红色小旗排在最左端的概率是：2163=． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）四；（2）见解析；（3）0.2715a b. 【解析】【分析】（1）比较两个折线统计图，找出满足题意的调查次数即可；（2）描出第四次与第五次北京森林覆盖率，补全折线统计图即可；（3）根据第八次全面森林面积除以森林覆盖率求出全国总面积，除以第九次的森林覆盖率，即可得到结果．【详解】解：（1）观察两折线统计图比较得：从第四次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率； 故答案为：四；（2）补全折线统计图，如图所示：（3）根据题意得：ab×27.15%＝0.2715ab，则全国森林面积可以达到0.2715ab万公顷，故答案为：0.2715ab.【点睛】此题考查了折线统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．23．（1）12；（2）34【解析】【分析】(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是男孩的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】(1)第二个孩子是女孩的概率＝12，故答案为：12；(2)画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是男孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是男孩的概率＝34．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．【解析】【分析】根据已知条件得到∠ABO=25°+65°=90°，根据勾股定理即可得到结论．【详解】∵甲直升机航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，∴∠ABO=25°+65°=90°，∵OA=20，OB=180×460=12，∴，∵16÷460=240海里，答：乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的理解题意是解题的关键．25．18千米/小时【解析】【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则顺流的速度为（x+2）千米/小时，逆流的速度为（x﹣2）千米/小时，根据路程＝速度×时间结合A、B两个港口之间的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则顺流的速度为（x+2）千米/小时，逆流的速度为（x﹣2）千米/小时，依题意，得：4（x+2）＝5（x﹣2），解得：x＝18．答：轮船在静水中的速度为18千米/小时．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于表示顺流速度和逆流速度.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，两个小正方形的边长都是1，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D.2．方程组21230x y x y -=⎧⎨++=⎩①②的解是（ ） A ．12x y =-⎧⎨=⎩ B ．12x y =-⎧⎨=-⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．21x y =⎧⎨=-⎩3．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），给出以下五个结论：①AE ＝CF ；②∠APE ＝∠CPF ；③连接EF ，△EPF 是等腰直角三角形；④EF ＝AP ；⑤S 四边形AFPE ＝S △APC ，其中正确的有几个（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4．如图，,,AB AC BD 是O 的切线，切点分别是,,P C D ．若5,3AC BD ==，则AB 的长是( )A ．2B ．4C ．6D ．85．下列计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．()2326a a =C ．()23533a a a -=-gD ．623422a a a ÷= 6．将抛物线221y x x =--向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）A ．22y x x =-B ．222y x x =--C ．21y x x =--D ．231y x x =--.7．图为歌神KTV的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱6小时，经服务员试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有( )A．6人B．7人C．8人D．9人8．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数为( )A．60°B．120°C．72°D．108°9．书店、学校、食堂在平面上分别用A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC的度数应该是( )A．65°B．35°C．165°D．135°10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为( )A．54°B．64°C．74°D．26°12( )A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 二、填空题13．同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是______．14．在函数y=中，自变量x的取值范围是__________．15．（3分）分解因式：= ．16．分式方程2111xx x+=-+的解为_____．17．若x+3＝5﹣y，a，b互为倒数，则代数式12(x+y)+5ab＝_____．18．多项式1+x+2xy-3xy2的次数是______．三、解答题19．（1）化简：22242a aa a÷--；（2）若二次函数y＝x2+（c﹣1）x﹣c的图象与横轴有唯一交点，求c的值．20．如图，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于B，CD∥AB，交x轴于C，交反比例函数图象于D，BC＝2，CD＝43．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是y轴上一动点，求PA+PB的最小值．21．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．22．如图所示，将矩形纸片OABC 放置在直角坐标系中，点A(3，0)，点C(0).(I).如图，经过点O 、B 折叠纸片，得折痕OB ，点A 的对应点为1A ,求1A OC ∠的度数；(Ⅱ)如图，点M 、N 分别为边OA 、BC 上的动点，经过点M 、N 折叠纸片，得折痕MN ，点B 的对应点为1B ①当点B 的坐标为(-1，0)时，请你判断四边形1MBNB 的形状，并求出它的周长；②若点N 与点C 重合，当点1B 落在坐标轴上时，直接写出点M 的坐标.23101|3|5( 3.14)2π-⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭24．如图，AB 为一斜坡，其坡角为19.5°，紧挨着斜坡AB 底部A 处有一高楼，一数学活动小组量得斜坡长AB ＝15m ，在坡顶B 处测得楼顶D 处的仰角为45°，其中测量员小刚的身高BC ＝1.7米，求楼高AD ．（参考数据：sin19.5°≈13，tan19.5°≈520，最终结果精确到0.1m ）．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y 轴于点C，且经过点d（﹣6，﹣6），连接AD，BD．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1 414．x＞-1 15．．16．x＝﹣3 17．618．3三、解答题19．（1）2(2)aa a-+；（2）c＝﹣1.【解析】【分析】(1)利用除法法则转化为分式乘法，然后再进行计算即可；(2)由二次函数图象与x 轴有唯一交点，可得出△＝(c+1)2＝0，解之即可得出c 的值．【详解】(1)原式＝()()22222a a a a a -+-=2(2)a a a -+；(2)∵二次函数y ＝x 2+(c ﹣1)x ﹣c 的图象与横轴有唯一交点，∴△＝(c ﹣1)2﹣4×1×(﹣c)＝(c+1)2＝0，解得：c ＝﹣1，∴c 的值为﹣1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及分式的乘除法，解题的关键是：(1)牢记分式运算的法则；(2)牢记“△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点”．20．（1）4y x =；（2）【解析】【分析】（1）可得点D 的坐标为：4m 2,3⎛⎫+ ⎪⎝⎭，点A （m ，4），即可得方程4m=43（m+2），继而求得答案； （2）作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BF 交y 轴于点P ，可求出BF 长即可．【详解】解：（1）∵CD ∥y 轴，CD ＝43， ∴点D 的坐标为：（m+2，43）， ∵A ，D 在反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象上， ∴4m ＝43（m+2）， 解得：m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4），∴k ＝4m ＝4，∴反比例函数的解析式为：y ＝4x； （2）过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，并延长AE 到F ，使AE ＝FE ＝1，连接BF 交y 轴于点P ，则PA+PB 的值最小．∴PA+PB ＝PF+PB ＝BF ==【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及轴对称的性质．注意准确表示出点D 的坐标和利用轴对称正确找到点P 的位置是关键．21．(1)见解析；（2）点A 1的坐标为：（﹣1，3），点A 2的坐标为：（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△OA 1B 1，△OA 2B 2，即为所求；（2）点A 1的坐标为：（﹣1，3），点A 2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．22．(Ⅰ)30°；(Ⅱ)①四边形1B MBN 为菱形，周长为192；②，0)或，0). 【解析】【分析】（Ⅰ）由点A 、C 的坐标可得出OA 、AB 的长，即可求出tan ∠BOA 的值，根据特殊角的三角函数值可得∠BOA 的度数，根据折叠的性质利用角的和差关系即可得答案；（Ⅱ）①连接1BB ，交MN 与点E ．点B ，1B 关于MN 对称可得MN 是BB 1的垂直平分线，即可得出1BE B E =，190BEN B EM ∠∠==，BN=B 1N ，BM=B 1M ，根据矩形的性质可得1BNE B ME ∠∠=．即可证明1BNE B ME ∆∆≌，进而可得1BN B M =，即可证明四边形B 1MBN 是菱形，过N 作NF OA ⊥，垂足为F ，设NB x =，在Rt △NFB 1中，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得出答案；②分别讨论B 1在y 轴和x 轴两种情况，根据折叠的性质即可得答案.【详解】（Ⅰ）∵矩形OABC ，∴90OAB ∠=．BA tan BOA OA ∠==， ∴30BOA ∠=．∵点A 的对应点为A 1，∴130A OB AOB ∠∠==．∴190303030A OC ∠=--=．（Ⅱ）①连接1BB ，交MN 与点E ．∵点B ，1B 关于MN 对称，∴MN 垂直平分1BB ，∴BN=B 1N ，BM=B 1M ，1BE B E =，190BEN B EM ∠∠==．∵//BC OA ，∴1BNE B ME ∠∠=．∴1BNE B ME ∆∆≌．∴1BN B M =．∴BN=B 1N=B 1M=BM ，∴四边形1B MBN 为菱形．过N 作NF OA ⊥，垂足为F ．设NB x =，则3OF CN x ==-，14B F x =-．在1Rt NFB ∆中，22211NF B F B N +=，∴()2224x x +-=，解得198x=．∴菱形1B MBN的周长为192．②如图，当B1在y轴上时，CM是BB1的垂直平分线，∴BC=B1C，∵∠BCB1=90°，∴∠B1CM=45°，∴∴点M0）.如图，当B1在x轴上时，CM是BB1的垂直平分线，∴B1C=BC=3，∴OB1，∵∠BCD=∠B1MD，∠B1DM=∠BDC=90°，BD=B1D，∴△BCD≌△B1MD，∴B1M=BC=3，∴OM=OB1+B1，∴点M的坐标为（，0）综上所述：点M的坐标为（，0，0）.本题考查折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定及全等三角形的判定与性质，折叠前后的两个图形对应边相等，对应角相等，熟练掌握相关定理及性质是解题关键.23．﹣15【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝3﹣2﹣3×5﹣1＝﹣15．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键24．楼高AD 为21.0米．【解析】【分析】作CF ⊥AD 于点F ，在直角△ABE 中求得BE ，和AE 的长，然后在直角△CDE 中利用三角函数求得DE 的长，根据AD ＝DF+AF ＝CF+BC+BE 求解．【详解】作CF ⊥AD 于点F ．在Rt △ABE 中，∵AB ＝15，∴BE ＝ABsin19.5°＝15sin19.5°，AE ＝ABcos19.5°＝15cos19.5°，在Rt △CDF 中，∵CF ＝AE ，∠DCF ＝45°，∴DF ＝CF ，∴AD ＝DF+AF ＝CF+BC+BE ＝15cos19.5°+1.7+15sin19.5°≈21.0（m ）．答：楼高AD 为21.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查的知识点有三角函数、直角三角形的性质以及勾股定理等．25．（1）2113442y x x =--+；（2）30,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，点(2N - 或(2 或（﹣3，0）或5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）125 .【分析】（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x ﹣2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB ＝∠BAD 、∠MAB ＝∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）QH ＝PHcos ∠PQH ＝22441133314125544242555PH x x x x x ++⎛⎫=---=-- ⎪⎝+⎭，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x ﹣2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：a ＝14-， 故函数的表达式为：y ＝2113442x x --+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB ＝5，AD ＝10，BD ＝ ，①当∠MAB ＝∠BAD 时，当∠NMA ＝∠ABD 时，△AMN ∽△ABD ，则tan ∠MAB ＝tan ∠BAD ＝34， 则直线MA 的表达式为：y ＝﹣34x+b ， 将点A 的坐标代入上式并解得：b ＝32， 则直线AM 的表达式为：y ＝﹣34x+32…②， 联立①②并解得：x ＝0或2（舍去2），即点M 与点C 重合，则点M （0，2），则AM ＝∵△AMN ∽△ABD ，∴AN AM AD AB=，解得：AN ＝，故点N （2﹣，0）；当∠MN′A＝∠ABD 时，△ANM ∽△ABD ，同理可得：点N′（2，0），即点M （0，32），点N （2﹣，0）或（2，0）； ②当∠MAB ＝∠BDA 时，同理可得：点M （﹣1，32），点N （﹣3，0）或（﹣54，0）；故：点M （0，32）或（﹣1，32）， 点N （2﹣，0）或（2，0）或（﹣3，0）或（﹣54，0）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH ＝34，则cos ∠PQH ＝45， 则直线BD 的表达式为：y ＝34x ﹣32， 设点P （x ，2113442x x --+），则点H （x ，3342x --）， 则QH ＝PHcos ∠PQH ＝45PH ＝2411333544242x x x ⎛--+-+ ⎝）＝21412555x x --+， ∵15-＜0，故QH 有最大值，当x ＝﹣2时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．。