2011高考数学一轮复习巩固与提升：【数列的极限与函数的导数(习题部分缺答案)、数列】

考点42数列的极限、函数的极限与连续性一、选择题1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-⎛⎫+=⎪-⎝⎭,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值.【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞⎡⎤-+--⎛⎫+=⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦22x ax (5a)x 1alim 2,3x 3x 3→∞⎡⎤+-+===⎢⎥-⎣⎦所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞ )上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且{}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞=（ ）.（A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2)f x f x =+可推得1()(2)3f x f x =-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求解.【精讲精析】选D ，[)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，，()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴=[)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则，2(2)22(2)f x x x -=--+-（）把2x -看做一个整体，则21x -=时，(2)=(1) 1.f x f -=最大值[)12,4=(2)3x f x f x ∴∈-时，（）211()=.33f x a ∴=最大值，即 同理，233411(),(), (3)3a a ==数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得11()3313()22313nn n s -==-⨯-， 故3lim .2n n S →∞= 故选D. 二、填空题3、（2011·上海高考理科·T14）已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足()()11||2||20OQ OR --<，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足()()22||2||20OQ OR --<.依次下去，得到12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= .【思路点拨】此题考查极限问题，紧紧围绕n P 各点的临界位置展开求解，是解决本题的精髓所在，能起到事半功倍的效果。

2011届高考数学压轴题能力提升之导数届高考数学压轴题能力提升之导数1．定义，（（1）令函数的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A （0，m ），过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B （n,t n,t）（）（）（n>0n>0n>0），设），设曲线C 1在点A 、B 之间的曲线段与线段OA OA、、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值。

（（2）当（（3）令函数的图象为曲线C 2，若存在实数b 使得曲线C 2在处有斜率为－处有斜率为－88的切线，求实数a 的取值范围。

的取值范围。

2.2.已知在函数已知在函数的图象上以N （1，n ）为切点的切线的倾斜角为（1）求m 、n 的值；的值；（2）是否存在最小的正整数k ，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；；如果不存在，请说明理由；（3）求证：3.3.已知函数已知函数（Ⅰ）设（Ⅰ）设m 为方程的根，求证：当时，；（Ⅱ）若方程（Ⅱ）若方程有4个不同的根，求a 的取值范围的取值范围. .4.4.已知奇函数已知奇函数的图像在（1，）处的切线的斜率为6.6.且且=2时，取得极值取得极值. .（1）求实数、的值；的值；（2）设函数的导函数为，函数的导函数的导函数，（0，1），求函数的单调区间；的单调区间；（3）在（2）的条件下，的条件下，当当时，恒成立，恒成立，试确定试确定的取值范围取值范围. .5.5.已知函数已知函数取得极小值．（Ⅰ）求a ，b 的值；的值； （Ⅱ）（Ⅱ）设直线设直线． 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：个条件：（1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有． 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．试证明：直线是曲线的“上夹线”．的“上夹线”．6.6.已知函数已知函数，且对于任意实数，恒有。

（1）求函数的解析式；的解析式；（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；范围；（3）函数有几个零点？有几个零点？7.7.已知函数已知函数．(1)(1)证明：存在证明：存在，使；(2)(2)设设=0=0，，，，，其中=1=1，，2，…，证明：；(3)(3)证明：证明：．8．已知：函数（1）证明：；（2）证明：在上为减函数，在上为增函数；上为增函数；（3）记，求证：，求证：9.9.如果函数如果函数在区间D 上有定义，且对任意，则称函数为区间D 上的“凹函数”，上的“凹函数”，（Ⅰ）已知（Ⅰ）已知是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；请给出证明；若不是，请说明理由；（Ⅱ）（Ⅱ）（Ⅱ）对于对于对于（Ⅰ）（Ⅰ）（Ⅰ）中的函数中的函数有下列性质：“若使得使得”成立，利用这个性质证明唯一唯一. .（Ⅲ）设（Ⅲ）设A 、B 、C 是函数图象上三个不同的点，求证：证：△ABC 是钝角三角形是钝角三角形. .10.10.已知函数已知函数f(x)f(x)（（x ∈R ）满足下列条件：满足下列条件：对任意的实数对任意的实数x 1、x 2都有≤[f(x 1)f(x 2)])]和和|f(x 1) f(x 2)|)|≤≤|x 1－x 2|，其中是大于0的常数，设实数a 0，a ，b 满足f(a 0)=0)=0，，b=af(a).（（1）证明≤1，并且不存在b 0≠a 0，使得f(b 0)=0（（2）证明（）证明（b b a 0）2≤(12)(a a 0)2（（3）证明）证明[f(b)][f(b)]2≤(1) [f(a)]211.11.已知函数已知函数(常数常数))是实数集R 上的奇函数上的奇函数, , , 函数函数是区间是区间[[―1, 1]1, 1]上的减函数上的减函数上的减函数. .（1）求a 的值的值; ; （2）若在上恒成立上恒成立, , , 求求t 的取值范围的取值范围; ;(3)(3)讨论关于讨论关于x 的方程的根的个数的根的个数. .1212．已知函数．已知函数f(x)=mx 33+nx 22(m (m、、n ∈R ,m R ,m≠≠0)0)的图像在（的图像在（的图像在（22，f(2)f(2)）处的切线与）处的切线与x 轴平行轴平行. .（1）求n,m 的关系式并求f(x)f(x)的单调减区间；的单调减区间；的单调减区间； （2）证明：对任意实数0<x 1<x 2<1, <1, 关于关于x 的方程：的方程：在（在（x x 1,x 2）恒有实数解）恒有实数解（3）结合（）结合（22）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)f(x)是在闭区是在闭区间[a,b][a,b]上连续不断的函数，且在区间上连续不断的函数，且在区间上连续不断的函数，且在区间(a,b)(a,b)(a,b)内导数都存在，则在内导数都存在，则在内导数都存在，则在(a,b)(a,b)(a,b)内至少存内至少存在一点x 0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件数等都符合拉格朗日中值定理条件..试用拉格朗日中值定理证明：试用拉格朗日中值定理证明：当0<a<b 时，（可不用证明函数的连续性和可导性）（可不用证明函数的连续性和可导性）1313．设函数．设函数，其中为常数．为常数．（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．都成立．1414．设函数．设函数，其中为常数．为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：．答案：答案：1．解：（．解：（11），故A （0，9）又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B （n ，t ）（）（n>0n>0n>0），），（（2）令，又令 ，单调递减单调递减..单调递减，单调递减，，（3）（处有斜率为－88的切线，的切线，设曲线处有斜率为－①②③①②③又由题设有解，∴存在实数b使得 有解，有解，由①得代入③得，有解，得，．解：（11）依题意，依题意，2．解：（得∴∴（2）令当在此区间为增函数在此区间为增函数在此区间为减函数当在此区间为减函数在此区间为增函数当在此区间为增函数处取得极大值处取得极大值又因此，当要使得不等式恒成立。

2011年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(四)导数及应用(选修·文/理)时间：90分钟 满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．(山东东营第一学期期末)函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间上的最大值、最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－19 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0得x ＝±1，则它们的极值点为f (1)，f (－1)，端点处f (－3)，f (0)，又f (1)＝－1，f (－1)＝3，f (－3)＝(－3)3－3×(－3)＋1＝－17，f (0)＝1，则最大值为3，最小值为－17. C2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，可得f ′(1)＝2＋2f ′(1)． 所以得f ′(1)＝－2. 又令x ＝0，可得f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. B3．(2008·安徽文)设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x ＜0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数 A 4．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722 B.922C.1122D.91010A5．(2008·海南、宁夏理)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积是( )A.154B.174C.12ln2 D ．2ln2 D6．(2009·全国卷Ⅰ理)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1∴x 0＋a ＝1 ∴y 0＝0，x 0＝－1 ∴a ＝2.故答案选B. B7．(2008·福建理)已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如右图，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )D8．(2008·广东理)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＞－3 B ．a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13B二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分) 9．(2009·广州一模)若⎠⎛0a xdx ＝1，则实数a 的值是________．210．(2009·福建，14)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．f ′(x )＝3ax 2＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即3ax 2＋1x＝0有解，∴3a ＝－1x3，而x ＞0，∴a ∈(－∞，0)．(－∞，0) 11．(2009·江苏，3)函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x 2－10x －11) ＝3(x ＋1)(x －11)＜0，解得－1＜x ＜11，故减区间为(－1,11)． (－1,11)12．函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是________．π13．(广东惠州高二模拟)如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.F (5)＝f (5)＋5＝－5＋8＝3，所以f (5)＝－2.又F ′(x )＝f ′(x )＋25x ，所以F ′(5)＝f ′(5)＋25×5＝－1，解得f ′(5)＝－3，f (5)＋f ′(5)＝－5. －514．(2009·陕西卷文)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为________． 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝k (x n －1)＝(n ＋1)(x n －1)，不妨设y ＝0，x n ＝nn ＋1则x 1·x 2·…·x n＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1. 1n ＋1三、解答题(共4小题，满分52分)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m ＞0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程． 本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力．(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1， 依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13.又f (－1)＝6，f (－13)＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)，或y －6827＝－5(x ＋13)，即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.16．(天津卷21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围． (1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)．当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.所以f (x )在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，2)内是减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根． 为使f (x )仅在x ＝0处有极值，必须4x 2＋3ax ＋4≥0成立，即有Δ＝9a 2－64≤0.解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是．17．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3a 2x ＋1(a ，b ∈R )在x ＝x 1，x ＝x 2处取得极值，且|x 1－x 2|＝2.(1)若a ＝1，求b 的值，并求f (x )的单调区间； (2)若a ＞0，求b 的取值范围．本小题主要考查函数的导数、单调性、极值、最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3a 2.① (1)当a ＝1时， f ′(x )＝3x 2＋2bx －3；由题意知x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3＝0的两根，所以 |x 1－x 2|＝4b 2＋363. 由|x 1－x 2|＝2，得b ＝0. 从而f (x )＝x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－1,1)单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)单调递增． (2)由①式及题意知x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3a 2＝0的两根， 所以|x 1－x 2|＝4b 2＋36a 33a.从而|x 1－x 2|＝2⇔b 2＝9a 2(1－a )， 由上式及题设知0＜a ≤1.考虑g (a )＝9a 2－9a 3，g ′(a )＝18a －27a 2＝－27a (a －23)．故g (a )在(0，23)单调递增，在(23，1)单调递减，从而g (a )在(0,1]的极大值为g (23)＝43.又g (a )在(0,1]上只有一个极值，所以g (23)＝43为g (a )在(0,1]上的最大值，且最小值为g (1)＝0.所以b 2∈，即b 的取值范围为18．(本小题满分14分)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．(1)因为f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0因此a ＝16 (2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞) f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )＞0 当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0所以f (x )的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞) f (x )的单凋减区间是(1,3)(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21 因此f (16)＝162－10×16＞16ln2－9＝f (1) f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)所以在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)(3，＋∞)直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (3)＜b ＜f (1)因此，b 的取值范围为(32 ln2－21,16ln2－9)．。

高三第一轮复习课外基础训练题（二十三）1. 已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a, b ∈R 都满足：f(ab)=af(b)+bf(a)． （1）求f(0), f(1)的值； （2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（3）（理）若f(2)=2, u n =nf n )2(-(n ∈N +)求数列{u n }的前n 项的和S n ．（文）若f(2)=2, u n =f(2n )(n ∈N +)求证u n+1>u n ．2．设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t ) （Ⅱ）求g (a )（Ⅲ）试求满足)1()(a g a g =的所有实数a3．已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，（Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a ≥，函数()[]323201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围4．已知函数f (x )=x 2+2x +a l nx ．（Ⅰ）求函数f (x )在区间(0, 1)上恒为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当t≥1时，不等式f (2t-1)≥2f (t)-3恒成立，求实数a 的取值范围．5．已知函数f (x )=l n (e x +a )(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g (x )=λf (x )+sin x 是区间[-1，1]上的减函数．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若g (x )≤t 2+λt+1在x ∈[-1, 1]上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x 的方程m ex x x f x+-=2)(ln 2的根的个数．6．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点．如果函数f (x )=cbx ax -+2(b , c ∈N *)有且仅有两个不动点0和2，且f (-2)<-21．（Ⅰ）试求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）已知各项不为零的数列{a n }满足4S n ·f (na 1)=1，求证：n n a n a n a e a )11(1)11(1-<<-+；（Ⅲ）设b n =-na 1, T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T 2009-1<l n 2009<T 2008．7．设函数)(),(),1,0(),3(log )(x f y y x P a a a x x f a =≠>-=是函数当点图象上的点时，)(),2(x g y y a x Q =--是函数图象上的点。

提能拔高限时训练58 导数的概念及常见函数的导数一、选择题1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=,0,12,0,1)(22x x x x x f 则下列说法正确的是( )A.f(x)在x=0处连续B.f(x)在x=0处可导C.x ≠0时f ′(x)存在D.)0()(lim 0f x f x ='→解析：∵1)1(lim )(lim 20-=-=++→→x x f x x ,1)12(lim )(lim 2=+=--→→x x f x x , ∴f(x)在x=0处不连续，从而f ′(0)不存在.而⎩⎨⎧<>=',0,4,0,2)(x x x x x f因此0)(lim 0='→x f x .答案：C2.下列函数中,导数为x1〔x ∈(0,+∞),其中k 为大于零的常数〕的函数是( ) A.ln(x+k) B.lnkx C.x k ln D.2ln k kx +解析：x k kx kx 11)(ln =•=', 而kx k x +='+1)ln(,xx k k x x k k x x k 1)1()()(ln 2-=-••='•=',kx k k x k k k x +=•+='+11)(ln 222.答案：B3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)解析：∵f(x)=x 3+x-2,∴f ′(x)=3x 2+1.直线y=4x-1的斜率为4,令3x 2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,∴曲线f(x)=x 3+x-2在点(1,0)及点(-1,-4)处的切线与直线y=4x-1平行. 答案：A4.已知y=f(x 2),则y ′等于( )A.2xf ′(x 2)B.2xf ′(x)C.4x 2f(x) D.f ′(x 2)解析：y ′=f ′(x 2)·(x 2)′=2xf ′(x 2). 答案：A5.若f ′(x 0)=2,则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于( )A.-1B.-2C.1D.21 解析：∵2)()]([lim)(0000=---+='→kx f k x f x f k ,∴1)(21)()(lim 212)()(lim0000000-='-=----=--→→x f k x f k x f k x f k x f k k . 答案：A6.已知y=f(x)=ln|x|，则下列各命题中正确的命题是( )A.x ＞0时，x x f 1)(=',x ＜0时，x x f 1)(-=' B.x ＞0时，xx f 1)(=',x ＜0时，f ′(x)无意义C.x ≠0时，都有xx f 1)(='D.∵x=0时，f(x)无意义，∴对y=ln|x|不能求导解析：⎩⎨⎧<->=.0),ln(,0,ln )(x x x x x f(1)x ＞0时,xx x f x x f 1)(ln )(ln )(='='⇒=. (2)x ＜0时，xx x x f x x f 1)1(1])[ln()()ln()(=-•-='-='⇒-=(这里应用定义求导). 答案：C7.设曲线11-+=x x y 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.21 C.21- D.-2解析：由22)1(2)1()1(1)1(1--=-+⨯--⨯='x x x x y ,∴曲线在(3,2)处的切线斜率为1)()21(,2142|3-=-•--=-='==a y k x ,∴-a=2. ∴a=-2.答案：D8.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为]4,0[π,则点P横坐标的取值范围为( ) A.［-1,21-］ B.［-1,0］ C.［0,1］ D.［21,1］解析：由题意,设切点P 的横坐标为x 0,且y ′=2x 0+2=tan α(α为点P 处切线的倾斜角),又∵α∈［0,4π］,∴0≤2x 0+2≤1.∴x 0∈［-1,21-］. 答案：A9.若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是( ) A.［-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1］ D.(-∞,-1) 解析：由题意可知02)(<++-='x bx x f 在x ∈(-1,+∞)上恒成立，即b<x(x+2)在x ∈(-1,+∞)上恒成立.由于x ≠-1,所以b ≤［x(x+2)］min ,即b ≤-1,故C 为正确答案. 答案：C10.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 2233123+-=,那么速度为零的时刻是( )A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末解析：根据导数的物理意义,知s ′=t 2-3t+2,令s ′=0,得t=1或t=2.故选D. 答案：D 二、填空题 11.设x ey x 3cos 2-=,则y ′=________________________.解析：)3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x xe x e x e y xx x x)3(3213sin 3cos 2122'•--=--x x x e x e xxx e xx e xx3sin 3233cos 2122----=).3sin 33(cos 212x x x e x+-=-答案：)3sin 33(cos 212x xx e x+--12.设3)2)(1(ln+-+=x x x y ,则y ′=_________________________.解析：∵)]3ln()2ln()1[ln(213)2)(1(ln +--++=+-+=x x x x x x y ,∴)312111(21+--++='x x x y .答案：)312111(21+--++x x x 13.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=014.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________________________.解析：y ′=ae ax ,∴切线的斜率k=y ′|x=0=e a ·0·a=a. 又x+2y+1=0的斜率为21-, ∴1)21(-=-•a ,即a=2.答案：2 三、解答题15.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d.又f(2x+1)=4g(x),且f ′(x)=g ′(x),f(5)=30,求g(4). 分析：题设中有四个参数a 、b 、c 、d ，为确定它们的值需要四个方程.解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d. 于是有a+2=2c,① a+b+1=4d,②由f ′(x)=g ′(x),得2x+a=2x+c,于是a=c.③ 由①③得a=c=2.此时f(x)=x 2+2x+b,由f(5)=30,得25+10+b=30.④ 于是b=-5,再由②得21-=d . 从而212)(2-+=x x x g , 故24721816)4(=-+=g .16.已知曲线C ：y=3x 4-2x 3-9x 2+4.(1)求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？ 解：(1)把x=1代入曲线C 的方程，求得y=-4. ∴切点为(1,-4).∵y ′=12x 3-6x 2-18x,∴切线斜率为k=y ′|x=1=12-6-18=-12. ∴切线方程为y+4=-12(x-1), 即y=-12x+8.(2)由⎩⎨⎧+-=+--=,812,4923234x y x x x y得3x 4-2x 3-9x 2+12x-4=0,(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,x=1,-2,32, 代入y=3x 4-2x 3-9x 2+4,求得y=-4,32,0，即公共点还有(-2,32),(32,0). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,且方程f(x)=0有三个实数根,它们分别为α,2,β. (1)求c 的值;(2)求证：f(1)≥2;(3)求|α-β|的取值范围.(1)解：f ′(x)=3x 2+2bx+c,∵f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数, ∴当x=0时,f(x)取极大值.∴f ′(0)=0. ∴c=0.(2)证明：∵f(2)=0,∴d=-4(b+2).∵f ′(x)=3x 2+2bx, 令f ′(x)=0,∴x=0或32b x -=. ∵f(x)在区间(0,2)上是减函数, ∴232≥-b.∴b ≤-3. ∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b ≥2.(3)解：∵f(x)=0的三个实数根为α,2,β, 故设f(x)=(x-α)(x-2)(x-β),∴f(x)=x 3-(2+α+β)x 2+(2α+2β+αβ)x-2αβ.∴⎩⎨⎧-=---=.2,2αββαd b∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=-=--=+.42)]2(4[2121,2b b d b αββα 而16)2()2(8)2(4)(||222--=+-+=-+=-b b b αββαβα,∵b ≤-3,∴(b-2)2≥25.∴(b-2)2-16≥9. ∴|α-β|≥3.∴|α-β|的取值范围为［3,+∞).【例2】已知函数x xx f y ln )(==. (1)求函数y=f(x)的图象在ex 1=处的切线方程;(2)设实数a ＞0,求函数F(x)=af(x)在［a,2a ］上的最小值.解：(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)，2ln 1)(x xx f -='， 又e e f -=)1(,22)1(e ef k ='=， ∴函数y=f(x)在ex 1=处的切线方程为 )1(22ex e e y -=+,即y=2e 2x-3e.(2)∵a ＞0,由0ln 1)(2=-='xxa x F ，得x=e, 当x ∈(0,e)，F ′(x) ＞0;当x ∈(e,+∞)时,F ′(x)<0， ∴F(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减. ∴F(x)在［a,2a ］上的最小值F(x)min =min{F(a),F(2a)}. ∵2ln 21)2()(a a F a F =-, ∴当0＜a ≤2时，F(a)-F(2a)≤0,F(x)min =F(a)=lna; 当a ＞2时，F(a)-F(2a)＞0,a a F x F 2ln 21)2()(min ==.。

选修 第2章 第2节知能训练·提升考点一：常列数列的极限1．(2010·某某四市联考)若f (n )＝13－232＋133－234＋…＋132n －1－232n (其中n ∈N *)，则f (n )＝( )A.18B.16 C.12D.58解析：f (n )＝13－232＋133－234＋…＋132n －1－232n ＝13(1－132n )1－132－2x 132(1－132n )1－132＝18(1－132n )，f (n )＝18，故选A. 答案：A 2．求下列极限： (1) (1－122)(1－132)…(1－1n 2)；(2)n (n 2＋1－n )．解：(1)∵(1－122)(1－132)…(1－1n 2)＝(1＋12)(1－12)(1＋13)(1－13)…(1＋1n )(1－1n )＝(32·43·…·n ＋1n )(12·23·…·n －1n )＝n ＋12n . ∴原式＝n ＋12n ＝12. (2)原式＝n n 2＋1＋n ＝12.考点二：已知极限求字母参数3.(1＋a )n ＋1n ＋a＝2，则a ＝________.解析：(1＋a )n ＋1n ＋a＝a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：1 4．已知(n 2＋1n ＋1－an －b )＝0 求a 和b 的值． 解：∵n 2＋1n ＋1－an －b＝n 2＋1－an 2－an －bn －b n ＋1＝(1－a )n 2－(a ＋b )n ＋(1－b )n ＋1由已知(n 2＋1n ＋1－an －b )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝0，a ＋b ＝0，即a ＝1，b ＝－1. 考点三：数列极根的应用5．若(3a n ＋4b n )＝8，(6a n －b n )＝1，则(3a n ＋b n )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设3a n ＋b n ＝x (3a n ＋4b n )＋y (6a n －b n )，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ＝3.4x －y ＝1.可解得⎩⎨⎧x ＝13y ＝13.∴ (3a n ＋b n )＝13[(3a n ＋4b n )＋(6a n －b n )] ＝13[ (3a n ＋4b n )＋(6a n －b n )]＝3.答案：C6．已知S n ＝2＋ka n 为数列{a n }的前n 项和，其中k ≠1且k ≠0. (1)求a n ； (2)若S n ＝2，求k 的取值X 围．解：对于(1)可利用关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2求解；对于(2)关键是将条件转化为a n＝0.(1)当n ＝1时，a n ＝S 1＝2＋ka 1，解得a 1＝21－k ，当n ≥2时，∵a n ＝S n －S n －1＝ka n －ka n －1， ∴a n a n －1＝k k －1(k ≠1)， 又∵k ≠0，∴数列{a n }是以kk －1为公比的等比数列， 故a n ＝21－k (k k －1)n －1.(2)∵S n ＝2，∴ (2＋ka n )＝2，∴a n ＝0，即[21－k (k k －1)n －1]＝0，∴|k k －1|＜1，即k 2＜k 2－2k ＋1. 解得k ＜12且k ≠0.7．(2010·某某五月调研)动点P 从原点出发沿x 轴正方向移动距离a 到达点P 1，再沿y 轴正向移动距离a 2到达点P 2，再沿x 轴正向移动距离a22到达点P 3，…，依次类推，无限进行，每次移动距离缩小一半．(1)求动点P 行进路线长的极限． (2)求动点P 与坐标平面哪一点无限接近． 解：(1)动点P 行进路线长为：a ＋a 2＋a22＋…，∴S ＝a1－12＝2a .(2)设动点P 与平面上的点P (x ′，y ′)无限接近，则： x ′＝a ＋a 22＋a 24＋…＝a 1－14＝43a .y ′＝a 2＋a 23＋a 25＋…＝a 21－14＝23a .∴动点P 与平面上点Q (43a ，23a )无限接近．8．如图所示，在边长为a 1的正方形A 1B 1C 1D 1中，依次作无限个内接正方形A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3，…，使∠B 1A 2B 2＝∠B 2A 3B 3＝…＝θ，令其边长依次为a 2，a 3，…(1)用θ，a 1表示a 2及a n ； (2)求(a 1＋a 2＋…＋a n )．解：(1)如题图所示，a 1＝a 2sin θ＋a 2cos θ＝2a 2·sin(θ＋π4)，∴a 2＝a 12sin(θ＋π4)，在第n 个正方形(边长为a n )A n B n D n 的内接正方形A n ＋1B n ＋1＋1D n ＋1(边长为a n ＋1)内有：a n ＝a n ＋1·sin θ＋a n ＋1·cos θ＝2a n ＋1sin(θ＋π4)，∴a n ＋1a n＝12sin(θ＋π4)，∴a n ＝a 1[12sin(θ＋π4)]n －1(n ∈N *)．(2)∵π4＜θ＋π4＜3π4，∴1＜2sin(θ＋π4)≤2，∴12≤12sin(θ＋π4)＜1，即公比|q |＜1.∴lim n →∞ (a 1＋a 2＋…＋a n )＝2a 1sin(θ＋π4)2sin(θ＋π4)－1.1.(2009·某某)设(22＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则[a 0＋a 2＋a 4＋…a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2]等于( )A ．－1B ．0C ．1 D.22解析：令x ＝1，则(22＋1)2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，令x ＝－1，则(22－1)2n ＝a 0－a 1＋a 2＋…－a 2n －1＋a 2n ，两式分别相加减可得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝(22＋1)2n ＋(22－1)2n 2，a 1＋a 3＋a 5＋…a 2n －1＝(22＋1)2n －(22－1)2n 2，∴(a 0＋a 2＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)2＝(－12)2n ＝(14)n ，故原式＝0.2．(2009·某某)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则S nn 2＝________. 解析：由a 6＝S 3＝12⇒a 1＝2，d ＝2，a n ＝2n ， 则S n ＝n 2＋n ，故S n n 2＝ (1＋1n)＝1.答案：13．(2008·某某)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝13n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝13n ＋13n －1＋…＋132＋1＝19(1－13n －1)1－13＋1，∴a n ＝191－13＋1＝76.答案：764．(2008·某某)在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则lim n →∞a n －b na n ＋b n的值为________．解析：∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32.∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝2n 2－12n .∴a ＝2，b ＝－12.∴a n－bna n ＋b n＝2n －(－12)n2n＋(－12)n ＝1－(－14)n1＋(－14)n＝1. 答案：1C 02n ＋C 22n ＋C 42n …＋C 2n2n1－4n等于( )A ．－1B ．－12C ．－14D ．0解析：∵C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n＝12×22n ＝12×4n ， ∴C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n1－4n＝12×4n1－4n＝12(14)n －1＝－12.答案：B。

巩固1．(原创题)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.从f ′(x )的图象可知f (x )在(a ，b )内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，∴在(a ，b )内只有一个极小值点．2．(2010年佛山高中质检)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(13，＋∞)B ．(－∞，13] C ．[13，＋∞) D ．(－∞，13) 解析：选C.若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，只需y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.故选C. 3．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152sa 解析：选B.由f (x )在[－1,2]上是减函数，知f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0，x ∈[－1,2]，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2b ＋c ≤0f ′(2)＝12＋4b ＋c ≤0 ⇒15＋2b ＋2c ≤0⇒b ＋c ≤－152. 4．函数y ＝3x 2－6ln x 的单调增区间为________，单调减区间为________．解析：y ′＝6x －6x ＝6x 2－6x. ∵定义域为(0，＋∞)，由y ′>0得x >1，∴增区间为(1，＋∞)；由y ′<0得0<x <1.∴减区间为(0,1)．答案：(1，＋∞) (0,1)5．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝a ln x ＋x ，∴f ′(x )＝a x＋1.又∵f (x )在[2,3]上单调递增， ∴ax＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立，∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)． 答案：[－2，＋∞)6．(2009年高考北京卷)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)． 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．练习1．已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数解析：选C.由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．2．函数f (x )＝x 3－6b 2x ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．b ＞0 B ．b ＜12C ．0＜b ＜22D ．b ＜1 解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6b 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±2b .∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴0＜2b ＜1.∴0＜b ＜22. 3．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选B.可以求出f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数．由于f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f ′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时，f (x )＝－5.故x 的值为0.4.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为( ) A ．[12，12e π2] B ．(12，12e π2) C ．[1，e π2] D ．(1，e π2)解析：选A.f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ， 当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， ∴f (x )是[0，π2]上的增函数． ∴f (x )的最大值为f (π2)＝12e π2， f (x )的最小值为f (0)＝12. 5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( )A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞) 解析：选B.由f (x )图象单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)． 6．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )解析：选C.令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )，由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，所以y 在R 上单调递减，又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )．7．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6，若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2， 故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，所以c ＝6.答案：68．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．答案：(－2,2)9．将长为52 cm 的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．解析：设剪成2段中其中一段为x cm ，另一段为(52－x ) cm ，依题意知：S ＝x 6·2x 6＋3(52－x )10·2(52－x )10＝118x 2＋350(52－x )2， S ′＝19x －325(52－x )， 令S ′＝0，则x ＝27.另一段为52－27＝25.此时S min ＝78.答案：7810．(2010年合肥质检)设函数f (x )＝ln x －2ax .(1)若函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线为直线l ，且直线l 与圆(x ＋1)2＋y2＝1相切，求a 的值；(2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．解：(1)依题意有，f ′(x )＝1x－2a . 因此过(1，f (1))点的直线的斜率为1－2a ，又f (1)＝－2a ，所以，过(1，f (1))点的直线方程为y ＋2a ＝(1－2a )(x －1)．即(2a －1)x ＋y ＋1＝0又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1，依题意，|1－2a ＋1|(2a －1)2＋1＝1， 解得a ＝12. (2)依题知f (x )＝ln x －2ax 的定义域为(0，＋∞)，又知f ′(x )＝1x－2a 因为a >0，x >0，令1x－2a >0，则1－2ax >0 所以在x ∈(0，12a)时，f (x )＝ln x －2ax 是增函数； 在x ∈(12a，＋∞)时，f (x )＝ln x －2ax 是减函数． 11．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a >1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 在区间[－2,2]上为减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3ax ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝a ，∵a >1，∴f (x )在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．∴f (0)＝b ＝1，∵f (－1)＝－32a ，f (1)＝2－32a ，∴f (－1)<f (1)， ∴f (－1)＝－32a ＝－2，a ＝43. ∴f (x )＝x 3－2x 2＋1.(2)g (x )＝x 3－2x 2－mx ＋1，g ′(x )＝3x 2－4x －m .由g (x )在[－2,2]上为减函数，知g ′(x )≤0在x ∈[－2,2]上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(－2)≤0g ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 20－m ≤04－m ≤0∴m ≥20. ∴实数m 的取值范围是m ≥20.12．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax .(1)当x ＝0时，函数f (x )取得极大值，求实数a 的值；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f ′(x )≥2x 成立，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求实数a 的取值范围；(3)求函数f (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1＋a 由f ′(0)＝0，得a ＝－1，此时f ′(x )＝1x ＋1－1. 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(－1,0)上单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减；∴函数f (x )在x ＝0处取得极大值，故a ＝－1.(2)∵f ′(x )≥2x ，∴1x ＋1＋a ≥2x ，∴a ≥2x －1x ＋1. 令g (x )＝2x －1x ＋1(1≤x ≤2)， ∴g ′(x )＝2＋1(x ＋1)2>0，∴g (x )在[1,2]上是增函数， ∴a ≥g (1)＝32. (3)f ′(x )＝1x ＋1＋a . ∵1x ＋1>0， ∴当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．当a <0时，令f ′(x )＝0，x ＝－1a－1； 若x ∈(－1，－1a－1)时，f ′(x )>0， 若x ∈(－1a－1，＋∞)时，f ′(x )<0； 综上，当a ≥0时，函数f (x )递增区间是(－1，＋∞)；当a <0时，函数f (x )递增区间是(－1，－1a －1)，递减区间是(－1a－1，＋∞)．。

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（ ）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（ ）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样 的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。