2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.1.1、二次函数学案6

第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的形成过程,学会用类比思想学习二次函数知识.2.掌握二次函数的概念.3.认识到二次函数来源于实际生活,感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用. 教学重难点重点:二次函数的概念.难点:理解变量之间的对应关系.教学过程与方法知识点:二次函数的概念1.学生自主学习教材P28~P29问题1、问题2(约5分钟)2.观察思考与归纳(约5分钟)(1)观察y=6x2、d=n2-n、y=20(1+x)2这三个函数,它们有什么共同点?(2)你觉得这样的函数可以叫做什么函数?(3)在学生思考回答后,给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.(4)师生一起讨论二次函数有哪几种特殊形式.3.巩固强化与交流(约5分钟)(1)教材P29练习第1~2题.(2)出示例1:下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?①y=1-2x2②y=(x-2)(x+3)-x2③y=(a2+1)x2+bx④y=+-1⑤y=⑥y=()2+2-1解:①③是二次函数;其余都不是二次函数.4.合作与探究(约5分钟)(1)你对二次函数概念的理解有了哪些新的认识?(2)出示例2:已知函数y=(a+1)+(a-2)x.①当a为何值时,此函数为二次函数?②当a为何值时,此函数为一次函数?解:①a=1.②a=0或a=-1.5.课堂小结(约5分钟)(1)到目前为止,我们学习了哪些函数?这些函数之间有什么联系?(2)二次函数的一般表达式是怎样的?对a、b、c有什么条件限制?(3)谈谈你的收获和困惑.6.独立作业(10分钟)(1)必做题:习题22.1第1题.(2)选做题:习题22.1第2题.(3)备用题:当k为何值时,函数y=(k-1)+2kx-1①为二次函数;②为一次函数?22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教学目标1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,掌握二次函数y=ax2的性质.2.经历探索二次函数y=ax2的图象与性质的过程,能运用二次函数y=ax2的图象及性质解决简单的实际问题,掌握数形结合的数学思想方法.3.通过数学学习活动,体会数学与实际生活的联系,感受数学的实际意义,激发学习兴趣.教学重难点会画二次函数y=ax2的图象和理解相关概念是本节课的学习重点也是难点;对二次函数研究的途径和方法的体悟也是本节课的难点.教学过程与方法知识点一:函数y=ax2图象的画法1.情境导入(约3分钟)导语一:回忆一次函数的图象、反比例函数的图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?导语二:展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例图让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系,从而引入新课.导语三:用红色的乒乓球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.怎样用数学规律来描述呢?2.自主学习(约10分钟)(1)认真阅读教材P29~P30,并操作(填表与画图).(2)思考:利用描点法画函数图象有哪些步骤?在第一步“”时,自变量x的取值需要注意什么?你怎样体会关键词“列表”、“描点”、“连线”、“平滑”?3.交流体会(约5分钟)二次函数y=ax2的图象是什么?二次函数y=ax2+bx+c的图象叫什么?抛物线的对称轴、顶点坐标、最高点、最低点有什么含义?知识点二:y=ax2的图象与性质4.合作与探究(约10分钟)(1)画函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2.(2)归纳与总结一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是(0,0) .当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小,在对称轴的左侧,y随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大,在对称轴的左侧,y随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.5.课堂小结(约3分钟)谈谈收获与困惑或发现.6.独立作业(约9分钟)(1)必做题:习题22.1第3、4题(2)备用题:①二次函数y=x2,y=-x2,y=x2的图象在同一平面直角坐标系中的共同点是( D )A.开口方向向上B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共顶点②在同一平面直角坐标系中,同一水平线上开口最大的抛物线是( B )A.y=-x2B.y=-x2C.y=-x2D.y=-x222.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质教学目标1.能解释二次函数y=ax2+k和y=ax2的图象的位置关系.2.掌握y=ax2上、下平移规律.3.体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系,领悟y=ax2与y=ax2+k相互转化的过程.教学重难点重点:抛物线y=ax2+k的图象与性质.难点:理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.教学过程与方法知识点一:y=ax2+k的图象1.回顾与思考(5分钟)(1)回顾:抛物线y=x2和y=-x2的图象和性质及它们之间的关系.(2)思考:y=x2+1,y=x2-1的图象怎样?它们与y=x2之间又有怎样的关系呢?2.自主学习(15分)(1)参照教材P32例2的填表、描点.(2)讨论①抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?②抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么位置关系?(3)归纳与交流①把抛物线y=x2向上平移 1 个单位,就得到抛物线y=x2+1,把抛物线y=x2向下平移 1 个单位,就得到抛物线y=x2-1.②一般情况:当k>0,把抛物线y=ax2向上平移k 个单位,可得y=ax2+k;当k<0时,把抛物线y=ax2向下平移|k|或-k 个单位,可得y=ax2+k.③y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么?解:a>0时,开口向上,对称轴是y轴,顶点(0,k),最小值为k.a<0时,开口向下,对称轴是y轴,顶点(0,k),最大值为k.知识点二:y=ax2+k的性质3.合作与探究(5分钟)(1)抛物线y=ax2+k与y=ax2的图象的异同点是什么?(2)抛物线y=ax2+k与y=ax2的增减性又是怎样?4.课堂小结(5分钟)1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(包括开口方向、对称轴、顶点坐标).2.抛物线y=ax2+k与y=ax2之间的联系与区别(包括平移、开口、对称轴、顶点等).处理方法:可以让学生围绕这两个问题先小结,然后教师进行补充或强调.5.独立作业(15分钟)(1)必做题:P33练习.(2)选做题:习题22.1第5题(1).(3)备用题:①二次函数y=ax2+k的图象经过点A(1,-3),B(-2,-6),求这个二次函数的解析式.解:该二次函数的解析式为:y=-x2-2.②已知二次函数y=-2x2+3,当x取何值时,y随x的增大而增大;当x取何值时,y随x的增大而减小?解:当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.③二次函数y=ax2+k(a,k为常数),当x取值x1、x2时(x1≠x2),函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为0 .④函数y=ax2-a与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质教学目标1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.2.理解抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的位置关系.3.在图象的平移过程中,渗透变与不变的辩证思想.教学重难点重点:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.难点:把握抛物线y=ax2通过平移后得到y=a(x-h)2时平移的方向和距离.教学过程与方法1.师生互动,提出问题(3分钟)(1)抛物线y=-x2+3与y=-x2的位置有什么关系?(2)抛物线y=-x2+3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么?2.探究新知(10分钟)知识点一:y=a(x-h)2的图象和性质(1)在同一坐标系中画出二次函数y=-x2、y=-(x+1)2、y=-(x-1)2的图象.①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性?②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?③这三条抛物线能否经过相互的平移得到?怎样平移?3.交流探究:教材P34~P35(5分钟)4.归纳总结(5分钟)抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的形状相同,只是位置不同,它可以由抛物线y=ax2平移得到:当h>0时,向右平移h个单位,当h<0时,向左平移|h|个单位,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标为(h,0).知识点二:y=a(x-h)2的性质5.讨论(5分钟)(1)a>0,开口向上,当x= h 时,函数y有最小值= 0 ,在对称轴的左侧,y 随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.(2)a<0,开口向下,当x= h 时,函数y有最大值= 0 ,在对称轴的左侧,y 随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.6.课堂练习(3分钟)(1)抛物线y=2(x+1)2可以由抛物线y=2x2向左平移1个单位得到.(2)抛物线y=-(x-4)2可以由抛物线y=-x2向右平移 4 个单位得到.(3)已知二次函数y=-(x-2)2,说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性.解:二次函数y=-(x-2)2的对称轴为x=2,顶点为(2,0),有最大值0.当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.7.课堂小结(3分钟)(1)抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的关系.(2)抛物线y=a(x-h)2的对称轴、顶点.(3)平移规律:“左加右减”.(4)你还有哪些困惑和收获?8.独立作业(11分钟)(1)必做题:习题22.1第5题(2).(2)备用题:①已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是(-3,0),它是由抛物线y=-4x2平移得到的,则a= -4 ,h= 3 .②把抛物线y=(x+1)2向右平移 4 个单位后得到抛物线y=(x-3)2.③把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位,得到抛物线y=(x-1)2,则m= -10 ,n=25 .第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质教学目标1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数,a≠0)的图象,掌握抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系,熟练掌握函数y=a(x-h)2+k的有关性质,并能用函数y=a(x-h)2+k的性质解决一些实际问题.2.经历探索y=a(x-h)2+k的图象及性质的过程,体验y=a(x-h)2+k与y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.3.通过观察函数的图象,归纳函数的性质等活动,感受学习数学的价值.教学重难点重点:二次函数y=a(x+h)2+k的性质.难点:教材P36例4的解答需要选取合适的坐标系,有一定的难度,是本节教学的难点.教学过程与方法1.回顾与思考(3分钟)我们已经学习了形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系?知识点一:y=a(x-h)2+k的图象和性质2.合作与探究:教材P35例3(15分钟)(1)在同一坐标系内,画出二次函数y=-x2,y=-x2-1,y=-(x+1)2-1的图象.处理方法:师生一起完成列表,再由学生画出图象,如图.(2)指出y=-(x+1)2-1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性.(3)y=-(x+1)2-1可以由y=-x2怎样平移而得到?(4)归纳:y=a(x-h)2+k的图象和性质及由y=ax2平移得到函数图象的规律.知识点二:y=a(x-h)2+k的实际运用3.解决问题,交流思想(16分钟)(1)读懂教材P36例4题意.(2)怎样建立平面直角坐标系?(3)怎样才能与二次函数联系起来?4.课堂练习:教材P37练习(3分钟)5.课堂小结(4分钟)(1)本节课我们学习了哪些内容?引导学生从以下几个方面去回顾:①二次函数y=a(x-h)2+k的性质;②抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系;③选取坐标系的方法.(2)谈一谈你的收获或困惑.6.独立作业(10分钟)(1)必做题:习题22.1第5题(3),第7题(1).(2)备用题:已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=-x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的抛物线.①求出a、h、k的值;②在同一坐标系中,画出y=a(x-h)2+k与y=-x2的图象;③观察y=a(x-h)2+k的图象,当x取何值时,y随x的增大而增大;当x取何值时,y随x 的增大而减小,并求出函数的最值;④观察y=a(x-h)2+k的图象,你能说出对于一切x的值,函数y的取值范围吗?解:①a=-,h=1,k=2 ②图略③当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x 的增大而减小;当x=1时,函数有最大值2 ④对于一切x的值y≤2.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质教学目标1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c 的解析式写成y=a(x-h)2+k的形式;通过图象能熟练地掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.2.经历探索y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质紧密联系的过程,能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.3.通过合作交流,激发学习数学的兴趣,感受数学的价值.教学重难点重点:用描点法画出二次函数的图象,并指出该图象的基本性质.难点:通过对二次函数y=ax2+bx+c上的一些点的分析得出关于a、b、c的不等式.教学过程与方法知识点:y=ax2+bx+c的图象和性质1.提出问题(3分钟)你能作出y=x2-6x+21的图象吗?2.自主学习:教材P37~P39(9分钟)3.交流方法(2分钟)4.归纳总结(4分钟)①一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.y=ax2+bx+c=a(x+)2+,因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).②开口方向、最值、增减性怎样?5.课堂练习:P39练习(3分钟)6.课堂小结(5分钟)(1)求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标通常有几种方法?配方时应注意什么?公式是怎样的?(2)指出y=ax2+bx+c的开口方向、顶点坐标.7.独立作业(15分钟)(1)必做题:习题22.1第6题(1)(3).(2)选做题:习题22.1第6题(2)(4).(3)备用题:①用配方法将二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式.解:y=(x-3)2+12②某学生推铅球,铅球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+x+,则铅球落地的水平距离为 5 m.第2课时用待定系数法求二次函数的解析式教学目标1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式.2.经历探索由已知条件的特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,明确正确选择二次函数设法能使计算简化和三种形式是可以互相转化的.3.通过亲自体验,感受学习数学的乐趣.教学重难点重点:用待定系数法求二次函数的解析式.难点:灵活选择合适的表达式设法,使求解达到简便、快捷的效果.教学过程与方法1.回顾与思考(3分钟)(1)二次函数有哪些形式?y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2) (2)要求二次函数的解析式,你打算怎么办?知识点:用待定系数法求二次函数的解析式2.出示例题,学会合作解决(20分钟)2x …--1-0 1 …y …--2--2-0 …则该二次函数的解析式为y=x2+x-2 .【例2】已知二次函数图象的顶点是(1,-3),且经过点M(2,0),这个函数的解析式为y=3x2-6x .【例3】已知二次函数的图象如图所示,此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 .【例4】已知一抛物线与x轴的交点是A(-1,0),B(m,0),且经过第四象限的点C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,此抛物线的解析式为y=x2-2x-3 .3.学生交流、归纳(5分钟)求解二次函数的解析式所设置的表达式:(1)一般式:y=ax2+bx+c.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k.(3)交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2).(4)y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2等特殊形式.4.课堂练习(5分钟)根据下列条件,求二次函数解析式.(1)抛物线经过(-1,11),(2,8)和(0,6)三点.(2)抛物线的顶点坐标为(3,-1),且经过点(2,3).(3)抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和(5,0).(4)抛物线经过(-1,0),(3,0)和(0,2)三点.解:(1)y=2x2-3x+6(2)y=4(x-3)2-1(3)y=-(x-2)2+4(4)y=-(x+1)(x-3)5.质疑视导(2分钟)师生一起分析有哪些收获或困惑.6.拓展性练习(15分钟)(1)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4,则抛物线的解析式为y=(x-3)2-2 .已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于(1,0),试添加一个条件,使它的对称轴为直线x=2.小华说:过点(3,0);小彬说:过点(4,3),小明说:a=1,小颖说:抛物线被x轴截得的线段长为2,你认为四个人的说法中,正确的有( D )A.1个B.2个C.3个D.4个。

二次函数一、教课目的1 .联合详细情境领会二次函数的意义，理解二次函数的有关观点.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.二、课时安排课时三、教课要点领会二次函数的意义，理解二次函数的有关观点.四、教课难点能够表示简单变量之间的二次函数关系.五、教课过程〔一〕导入新课情形问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.明显，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的详细关系能够表示为y=6x 2.〔1〕〔二〕讲解新课问题1：n个球队参加竞赛，每两队之间进行一场竞赛.竞赛的场次数m与球队数n有什么关系？剖析：每个队要与其余〔n-1〕支球队各竞赛一场，甲队对乙队的竞赛与乙队对甲队的竞赛是同一场竞赛，因此竞赛的场次数是1n(n1)〔2〕2问题2：某种产品此刻的年常量是20t，方案此后两年增添产量的产量增添x倍，那么两年后这种产品的产量y将随方案所定的x的关系应如何表示？剖析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20(1+x)t是20(1+x)(1+x)t ，即两年后的产量.假如每年都比上一年的值而确立，y与x之间，再经过一年后的产量y 20(1x)220x240x20〔3〕活动2：研究概括函数〔1〕〔2〕〔3〕有什么共同点？明确：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数. 〔三〕重难点精讲例1用总长为60m的篱笆围成矩形场所，场所面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？Sa(602a)a230a.2例21〕m取什么值时，此函数是正比率函数？2〕m取什么值时，此函数是二次函数？m27 1,解：由〔1〕可知,m 3 0,解得：m= 2 2;m27 2,由〔2〕可知，m 3 0,解得m=3概括：本题考察正比率函数和二次函数的观点，这种题紧扣观点的特点进行解题.特别第2问要保证二次项系数m+3≠0.例3以下函数中，〔x是自变量〕，哪些是二次函数？为何？①y=ax2+bx+c②s=3-2t2③y=x2④y=12⑤y=x2+x3+25⑥y=(x+3)2-x2x明确：②③①不必定是，缺乏a≠0的条件；④不是，右侧是分式；⑤不是，x的最高次数是3；⑥能够化成y=6x+9。

人教版九年级数学上册22.1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.1.1《二次函数》是整个初中数学的重要内容，它不仅巩固了之前学习的函数知识，还为高中阶段的数学学习奠定了基础。

这一节主要介绍二次函数的定义、性质和图象。

教材通过实例引入二次函数，让学生从实际问题中感受到二次函数的存在，进而引导学生去探究、理解二次函数的性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念、性质有所了解。

但是，二次函数相对于一次函数和反比例函数，其性质更为复杂，图象也更为抽象。

因此，学生在学习本节内容时可能会感到困惑。

另外，学生的数学思维能力和探究能力参差不齐，需要教师在教学中进行针对性的引导和帮助。

三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式。

2.了解二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等。

3.能够绘制二次函数的图象，从图象中观察和理解二次函数的性质。

4.能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式。

2.二次函数的性质，尤其是对称轴、顶点、开口方向等。

3.二次函数图象的绘制和分析。

4.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入二次函数，让学生从实际问题中感受到二次函数的存在。

2.探究教学法：引导学生通过小组合作、讨论的方式，探究二次函数的性质。

3.数形结合教学法：利用图象展示二次函数的性质，让学生从图象中观察和理解二次函数。

4.实践教学法：让学生通过解决实际问题，运用二次函数的知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质。

2.实例：准备一些实际问题，用于引入二次函数。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次函数的概念。

例如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。

让学生思考：这个二次函数是什么样子？它的图象是什么样的？2.呈现（10分钟）利用课件，呈现二次函数的一般形式和图象。

新人教版九年级数学上册22.1.1 二次函数学案设计学习目标1.结合具体情境分析确定函数表达式,体会二次函数的意义和相关概念.2.在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究得到发现的乐趣,同时进一步体会建立函数模型的思想.3.能利用二次函数解决简单的实际问题.学习过程一、设计问题,创设情境(一)学生观看图片雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线.问题1:这些曲线能否用函数关系式表示?问题2:如何画出这样的函数图象?(二)列出下列问题中两个变量之间的关系式:(1)圆的面积S与圆的半径r的关系;(2)多边形的对角线线数d与边数n的关系;(3)某公司的生产利润原来是100万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分数都是x,那么y与x的关系式是怎样的?二、信息交流,揭示规律问题1:回忆一次函数的定义:学生活动:以小组为单位,讨论交流一次函数的特征.问题2:判断在前面问题中写出的三个函数式是什么类型的函数.问题3:类比一次函数的特征,小组讨论得出二次函数的定义.问题4:类比一元二次方程的知识,得出各部分的名称和意义.三、运用规律,解决问题下列函数中哪些是二次函数,哪些不是?若是二次函数,指出相应的a,b,c.(1)y=-3x2+7;(2)y=x(x-5);(3)y=3x(2-x)+3x2;(4)y=(x+2)(2-x);(5)y=x4+2x2+1;(6)y=ax2+bx+c.四、变式训练,深化提高1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式,二次项为,一次项系数为,常数项为.2.关于x的函数y=(m+2)x2+(m-3)x+m,当m=0时,它是函数;当m=-2时,它是函数.3.已知函数y=,当m= 时,它是二次函数.变形:已知函数y=(m+1),当m= 时,它是二次函数.4.九年级(2)班有x名学生,每2名学生之间握手1次,总握手次数y与人数x有什么关系?判断它是什么类型的函数.5.举出二次函数的例子.6.编一个实际问题,使得列出的式子是二次函数.五、反思小结,观点提炼1.这节课你最大的收获是什么?2.这节课你最大的困难是什么?3.你还有什么疑问?参考答案一、设计问题,创设情境(二)(1)S=πr2(2)d=n2-n(3)y=100x2+200x+100二、信息交流,揭示规律问题1:一般地,形如y=kx+b(k,b都是常数,k≠0)的函数叫做一次函数.学生活动:一次函数的特征如下:(1)自变量的指数为1;(2)常数项可以为0;(3)一次项不能为0,其系数是不为0的任意实数;(4)解析式为整式.问题2:二次函数.问题3:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.问题4:a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.特别强调二次项系数a≠0.三、运用规律,解决问题(1)(2)(4)是二次函数.(1)a=-3,b=0,c=7;(2)a=1,b=-5,c=0;(4)a=-1,b=0,c=4.四、变式训练,深化提高1.-3x2-16122.二次一次3.1或-114.y=x(x-1)二次函数五、反思小结,观点提炼略。

22.1.1 二次函数（刘佳）一、教学目标（一）学习目标1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.2．会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围.（二）学习重点理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.（三）学习难点1．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系．2．重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务我们把形如y= ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中 ax 2 为二次项， a 为二次项系数； bx 为一次项， b 为一次项系数； c 为常数项.2．预习自测（1）下列函数中是二次函数的有（ ）（1）234y x =-+ （2）21y x x=+（3）(2)(3)y x x =-+ （4）2(2)(2)(1)y x x x =+---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】 （1）是二次函数；（2）不是整式，故不是二次函数；（3）展开后易知是二次函数；（4）化简后二次项消掉了，不是二次函数【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】B（2）在圆的面积计算公式S=πR 2中，S 与R 之间的关系是( )A.S 是R 的正比例函数B.S 是R 的一次函数C.S 是R 的二次函数D.以上答案都不对【知识点】二次函数的概念 【解题过程】 由二次函数概念易知【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C（3）某物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=4t 2+3t ，则当t=5时，该物体所经过的路程为( )A.115米B.75米C.55米D.35米【知识点】二次函数表达式【解题过程】 将t=5代入易求出S=115.【思路点拨】代数式求值【答案】A（4）某商场对原价为800元的某商品进行两次降价，若设平均每次降价的百分比为x ，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系为( )A.)1(080x y -=B.)21(080x y -= C.)1(0082x y -= D. 2)1(008x y -=【知识点】二次函数表达式【解题过程】由题意平均每次降价百分比为x ，则2)1(008x y -=【思路点拨】此题属增长率类应用问题【答案】D（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c =0 (a,b,c 是常数，a ≠0)（2）正比例函数的一般形式是：y=kx (k ≠0,k 为常数)（3）一次函数的一般形式是：y=kx+b (k ≠0,k 、b 为常数)2．问题探究探究一 二次函数的概念及其解析式●活动① 通过实例，引入概念师问：请用适当的函数解析式表示下列问题情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y(cm 2)与圆的半径x(cm )；（2）菱形的两条对角线长的和为26cm ，其中一条对角线长为xcm ，菱形面积为y cm 2；（3）王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为x ， 两年后王先生共得本息和y 元. 学生抢答：（1）2y x =π；（2）x x x x y 1321)26(212+-=-=； （3）2220000(1)200004000020000y x x x =+=++师问：上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?归纳：1.二次函数的概念：把形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中：ax 2为二次项，a 为二次项系数；bx 为一次项，b 为一次项系数；c 为常数项.2.二次函数的解析式：二次函数的一般式：y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0).特殊式：(1)y=ax 2 (a ≠0,b=0,c=0,)；(2)y=ax 2+c (a ≠0,b=0,c ≠0)；(3)y=ax 2+bx (a ≠0,b ≠0,c=0).【设计意图】鼓励学生在实际问题中发现数学，并利用已经学过的知识自主类比归纳、发现数学概念，体会从特殊到一般以及分类的思想方法.●活动② 例题讲解，应用概念例1：下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=2x-1； (2)223y x =； (3)y=4x 2-3x+1； (4)23y x=+4； (5)y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数)； (6)y=6x 2-3x(1+2x)-5； (7)y=-3x 2-25x. 【知识点】二次函数的概念【解题过程】解:（1）是一次函数；（2）是二次函数；(3)是二次函数；(4)右边不是整式，不是二次函数；(5)缺条件a ≠0，不是二次函数； (6)整理后为y=-3x-5，不是二次函数；(7)是二次函数.【思路点拨】解答这类问题的一般方法是:先把各关系式整理,然后再根据二次函数的定义进行判断. 判断时要注意:(1)化简后二次项系数不等于0；（2）所表示的函数的关系式为整式.【答案】（2）、（3）、（7）练习：下列函数中是二次函数的有（ ）（1）234y x =-+ （2）21y x x =+（3）(2)(3)y x x =-+ （4）2(2)(2)(1)y x x x =+---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】二次函数的概念【答案】B【解题过程】（1）是；（2）右边含分式，不是；（3）展开后为62-+=x x y ，是；（4）整理得y=2x-5，不是，故选B【思路点拨】（1）要看化简后的结果（2）二次函数必须为整式【设计意图】概念是数学的基础，必须牢记，通过对二次函数的判断，让学生准确熟练掌握二次函数的基本概念以及表达式，同时学会注意数学概念需要满足的条件，为后续准确列出二次函数表达式以及研究二次函数的性质打好基础. 例2：m 取何值时，函数2(1)(1)32m m y m x x -=--+是二次函数？【知识点】二次函数的表达式2(1)(1)32m m y m x x -=--+【解题过程】解:∵函数2(1)(1)32m m y m x x -=--+是二次函数，∴m 2-m=2, 解得m 1=2, m 2=-1.但当m=-1时, m 2-1=0； 而m=2时, m 2-1≠0.综上所述,m=2.【思路点拨】解答这类问题,主要是根据二次函数的定义,二次函数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零列方程(方程组或不等式)求解.【答案】m=2练习：已知()22132a a y a x --=--是二次函数,则a=_______.【知识点】二次函数的表达式【思路点拨】由题意得a 2-2a-1=2, 解得a 1=3,a 2=-1;且a-3≠0,即a ≠3.综上所述,a=-1.【答案】a=-1【设计意图】在概念的学习中，要让学生重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．探究二 ●活动① 通过实例，探究归纳例1 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树）,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有橙子树______________棵,这时平均每棵树结橙子_______________个.(2)若果园橙子的总产量为y 个,请你写出y 与x 之间的关系式，并注明x 的取值范围.【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】解：（1）100+x ；600-5x ；（2）2(6005)(100)510060000y x x x x =-+=-++（0<x ≤50）【思路点拨】认真审题，会用含未知量的式子表示其它的未知量.自变量的取值范围要符合题意.【答案】（1）100+x ；600-5x ； （2）2510060000y x x =-++（0<x ≤50） 想一想：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是什么?归纳：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：（1）审清题意，找出实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量），并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言.（2）建立二次函数表达式，注意要将表达式化简为y=ax ²+bx+c(a ≠0)的形式.注意自变量x 的取值范围，在一般情况下，二次函数的自变量可以取任意实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义.练习： 某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x 元,每天售出服装的利润为y 元,则y 与x 的函数关系式为( ) A.y= 221x -+10x+1200(0<x<60) B.y=221x --10x+1200(0<x<60) C.y= 221x -+10x+1250(0<x<60) D.y= 221x -+10x+1250(x ≤60) 【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】 解：由题意有:21(210150)(201)10120022x y x x x =--+⨯=-++(0<x<60) ，故选A. 【思路点拨】解答这类问题,根据问题的实际,先把其中包含的数量表示出来,再结合题目所给的基本数量关系(如:路程=速度×时间、总价=单价×数量、面积公式、体积公式等),把相等关系表示出来,最后整理即可.【答案】A【设计意图】构造二次函数来表示实际问题，让学生体会到二次函数与生活紧密相连，数学来源于生活又能应用于生活，同时注意用二次函数模型解决实际问题时，自变量的取值范围要符合实际.●活动② 变式练习，学会应用例2如图所示，一个窗户的上面是半圆，下面是矩形，矩形的一边长1.2m ．(1)窗户透光的面积S （2m ）关于上面半圆半径r （m ）的函数关系式； ⑵求当上面半圆直径为1m 时，窗户的面积.（3π≈）【知识点】用二次函数表示实际问题，并代入求值． 【解题过程】解：⑴22111.22 2.422S r r r r =⨯+=+ππ ⑵当r=1时，2212.4131 2.4 1.5 3.9()2S m ≈⨯+⨯⨯=+= 【思路点拨】由窗户透光的面积等于半圆面积+矩形面积求 【答案】212.42S r r π=+，3.92m 练习：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地,其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道,请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽之间的函数关系式.【知识点】用二次函数表示实际问题【解题过程】解:设蔬菜种植区域的面积为y m2，矩形温室的宽为x m,则矩形温室的长为2x m.根据题意得y=(2x-4)(x-2)，即y=2x2-8x+8.【思路点拨】解答这类问题,根据问题先把因变量用含自变量的数量关系表示出来,再整理即可.【答案】y=2x2-8x+8【设计意图】渗透函数思想，建立函数模型.让学生感受到当遇到实际问题时，可以设未知数构造二次函数来解决问题.3. 课堂总结【知识梳理】（1）二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.（2）确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：①审清题意，分析已知量和未知量之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言；②结合题中的基本数量关系，建立二次函数表达式；③写出自变量x的取值范围.【重难点突破】（1）学习二次函数的定义，注意：①等号左边是变量y，右边是关于自变量x 的整式；②a,b,c为常数，且a≠0；③等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；④x的取值范围是任意实数.（2）判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的关系式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件：①所表示的函数的关系式为整式；②函数的关系式有唯一自变量；③关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0. （3）当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件．（三）课后作业基础型自主突破1.下列函数中，是二次函数的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】 ①符合二次函数定义，是；②不是整式，故不是；③展开以后是二次函数；④展开以后是二次函数.【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.若2221()1m m y m m x x --=+--是关于x 的二次函数,则( )A.m=-1或m=3B.m ≠-1且m ≠0C.m=-1D.m=3 【知识点】二次函数的概念【解题过程】① 由2212m m --=得m=-1或m=3；②又由20m m +≠得m ≠-1且m ≠0，故m=3【思路点拨】由二次函数的概念，根据自变量的最高次数为2，二次项的系数不能为0，列式求解.【答案】D3.已知Rt ABC ∆中，︒=∠90ACB ，直角边长的和为20，设AC =x ，则=∆ABC S （ ）A.y=-21x 2+10xB.y=-x 2+20xC.y=21x 2+20xD.y=x 2+20x【知识点】二次函数的表达式 【解题过程】 211(20)1022y x x x x =-=- 【思路点拨】根据三角形面积公式列出函数式【答案】A4.二次函数y=x 2+3x-9的函数值是19，那么对应的x 的值是（ ）A.-7B.4C.4或-7D.-4或7【知识点】二次函数的表达式，函数值的概念【解题过程】 由题意有23919x x +-=，解得4,7x =-【思路点拨】由函数值的概念，利用一元二次方程求解【答案】C5.已知二次函数322+--=mx x y ，当x ＝-2时，y ＝-15，则这个二次函数解析式为 ．【知识点】二次函数的表达式【解题过程】将x ＝-2，y ＝-15代入322+--=mx x y 得5m =-【思路点拨】代数式求值【答案】3522++-=x x y6.如图，用长36米的竹篱笆围成一个一边靠墙（墙长15米）的矩形养鸡场ABCD ，设AB 边长为x 米，则养鸡场的面积y（m 2）与x （m ）的函数关系式为______________________（写出自变量x 的取值范围）.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 236118(015)22x y x x x x -=•=-+<< 【思路点拨】根据矩形面积公式列出二次函数关系式，并注意隐含条件是解题的关键【答案】2118(015)2y x x x =-+<< 能力型 师生共研7.判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出其中a 、b 、c 的值.【知识点】二次函数的概念【解题过程】答：①是，a=-3，b=0，c=1；②是，a=1，b=-5，c=0；③不是，因为不是整式；④不是，因为化简后没有二次项；⑤不是，因为不是整式；⑥不是，因为二次项系数可能为0.【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】①②是，③④⑤⑥不是8.已知函数x m x m y m m )3()2(832+++=--（m 是常数）.①m 为何值时，它是二次函数？②m 为何值时，它是一次函数？【知识点】二次函数、一次函数的概念【解题过程】 ①由2382m m --=得5,2m =-又20m +≠，所以5m =； ②情况一：20m +=，即2m =-；情况况二：2381m m --=，解得335m ±=【思路点拨】牢记二次函数、一次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】①m=5 ；②m=-2或3352m ±= 探究型 多维突破9.某商场销售一批名牌运动服，平均每天可售出18件，每件赢利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件运动服每降价2元，那么商场每天可多售出4件．设每件运动服降价x 元，则降价后每件运动服赢利________元，商场平均每天可售出运动服________件；如果设商场每天赢利y 元，则y 与x 的函数关系是________，y 是x 的________次函数．【知识点】二次函数的应用【解题过程】 降价后每件运动服赢利(30)x -元，每天售出(182)x +件，故2(182)(30)242540y x x x x =+-=-++，是二次函数【思路点拨】根据总利润=每件利润×件数列出函数式.【答案】30x -，182x +，2242540y x x =-++，二10.如图，在△ABC 中，∠B =90°，AC =512cm ，BC =2AB ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 cm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 cm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s,四边形APQC 的面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 cm 2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.【知识点】二次函数的综合应用【解题过程】 （1）在△ABC 中，∠B =90°，AC =512，BC =2AB ，∴AB =12 ，BC =24 .由运动可知，AP =2x ，BQ =4x ，则y=12BC ·AB -12BQ ·BP =12×24×12-12·4x ·(12-2x)， 即y=4x 2-24x+144. (2)∵0＜AP ＜AB ，0＜BQ ＜BC ， ∴0<x<6.(3)解：当y=172时，4x 2-24x+144=172. 解得x 1=7，x 2=-1.又∵0<x<6， ∴四边形APQC 的面积不能等于172 cm 2.【思路点拨】根据实际问题分析题意、找出数量关系是列出二次函数的关键；此外，应该注意自变量的取值范围一定要使问题有意义.【答案】(1)y=4x 2-24x+144. (2) 0<x<6 (3)不能自助餐1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）A.y ＝3x －1B.y ＝ax 2+bx +cC.s ＝2t 2－2t +1D.y ＝x 2+x 1 【知识点】二次函数的概念 【解题过程】1、整式；2、二次；3、二次项系数不为0 ，故用排除法选C【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.已知函数y ＝(m 2+m )x 2+mx +4为二次函数，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠0B.m ≠－1C.m ≠0，且m ≠－1D.m ＝－1【知识点】二次函数的概念【解题过程】 由题20m m +≠得m ≠0，且m ≠－1【思路点拨】由二次函数的概念，二次系数不能为0，建立不等式求解【答案】C3. 某初级中学有m 个班举行篮球比赛，每班派一个队参赛，采用单循环赛（即每两个球队间都要进行一场比赛）,则比赛的场次数s 与 m 之间的关系式是_____________.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 2(1)11222m m S m m -==- 【思路点拨】由比赛的场次数=参赛队数×（参赛队数-1）÷2列式【答案】21122S m m =- 4.如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，∠ADC =90°，AB =12，AD =8，CD =6，点E 、G 分别在线段AD 、DC 上，BF =AE =DG =x ，则四边形CGEF 的面积x y 与之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 .【知识点】二次函数的表达式【解题过程】1111(612)8(6)(8)(12)83482222y x x x x x x =+⋅------⋅=-+；0<x<6 【思路点拨】用梯形面积减去三个空白三角形面积即为阴影部分面积【答案】1111(612)8(6)(8)(12)83482222y x x x x x x =+⋅------⋅=-+；0<x<6 5.如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB 的长为多少米?【知识点】二次函数的实际应用【解题过程】(1)S=x(30-3x)，即S=-3x 2+30x.(2)当S=63时，-3x 2+30x=63.解得x 1=3，x 2=7.又∵当x=3时，BC ＞10(舍去)，∴x=7.答：AB 的长为7米.【思路点拨】先列出花圃的长的表达式，再根据矩形面积公式列出函数式；此外，此题方程的解一定要检验是否符合题意.【答案】(1) S =-3x 2+30x. (2) AB 的长为7米6.如图，等腰RtΔABC 以2cm/s 的速度沿直线MN 向正方形CDEF 移动，当直线AB 与EF 重合时停止，设x s 时正三角形与正方形重叠部分的面积为yc 2m .（1）写出y 与x 的关系表达式；（2）当x=4、14时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的41时，三角形移动了多长时间？ 【知识点】二次函数的综合应用【数学思想】分类讨论【解题过程】 （1）2211222y x x ==（）（0<x ≤10） x x x y 042)202(2120212222+-=--⨯=（10<x<20） （2）当x=4时，32422=⨯=y ；当x=14时，y=16814041422=⨯+⨯-=y .（3）当重叠部分的面积是正方形面积的41时， 或412004222⨯=+-x x ，25102510-=+=x x 或（舍去）. ∴25=x 或2501+=x 时，重叠部分的面积是正方形面积的41. 【思路点拨】此题是运动型问题，需分类讨论，根据运动后重叠部分的不同情况列出其表达式.求出时间t 后，要检验是否符合题意.【答案】（1）212x y =（0<x ≤10）22240y x x =-+（10<x<20）（4）当x=4时，32=y ；当x=14时，y=168=y .（3）当移动了25s 或（2501+）s 时，重叠部分的面积是正方形面积的14.。

人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习。

二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考中的热点之一。

本章内容主要包括二次函数的定义、图象与性质，以及二次函数的应用。

在学习本章之前，学生已经掌握了函数、方程等基础知识，为本章的学习打下了基础。

二. 学情分析九年级的学生已具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于二次函数这一复杂的概念，仍需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。

在学习过程中，学生可能对二次函数的图象与性质产生困惑，需要教师进行引导和解释。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义和一般形式；2.掌握二次函数的图象与性质，并能运用其解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式；2.二次函数的图象与性质；3.二次函数的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的知识；2.使用多媒体辅助教学，展示二次函数的图象与性质；3.学生进行小组讨论和合作交流，提高学生的动手能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.教学PPT；3.练习题和测试题；4.教学课件。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的概念，如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。

引导学生思考：这个二次函数是什么样子？它的图象是什么样的？呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的一般形式和图象，解释二次函数的定义和性质。

同时，教师可以通过举例来说明二次函数的应用，如：抛物线、顶点坐标的计算等。

操练（10分钟）教师布置一些练习题，让学生动手计算和绘制二次函数的图象。

教师可以学生进行小组讨论，共同解决问题。

巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用二次函数的知识来解决问题。

教师可以引导学生进行思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。

拓展（10分钟）教师可以引导学生思考：二次函数的图象和性质与其他函数有什么不同？如何判断一个函数是否为二次函数？教师可以学生进行小组讨论，引导学生进行拓展思考。

二次函数课题： 22.1.1 二次函数． 1 课时教学设计课标要求1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．教材及学情分析1、教材分析：二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。

2、学情分析九年级的学生，在讲本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图像和性质，从知识结构上看他们已经具备了继续探究二次函数的图像和性质的基础。

学生自主探究和合作交流的能力较强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有较大提高。

但也有一些问题，求函数的解析式、由函数图象得出有用的信息的能力有待提高。

课时教学目标1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 3．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力．4．通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点．重点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c）是常数，且a≠0的概念．难点教材中涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力．教法学法指导启发法发现法练习法教具准备课件教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图教学过程二、二次函数的概念1、根据实际问题列函数关系式教师引导学生思考问题，列出方程．导入新课的教学．二、新课教学显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为y＝6x2．问题 1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n有什么关系？每个队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数m＝21n (n－1)，即m＝21n2－21n．这个函数解析式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数．问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1＋x) t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x) t，即两年后的产量y＝20(1＋x)2，即y＝20 x＋40x＋40．这个函数解析式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，有实际生活入手，建立函数关系式，函数来源于生活。

二次函数教学目标：知识与技能能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

过程与方法结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式.情感态度与价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC2(2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。

形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数教学目标1．理解二次函数及有关概念．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学重点二次函数的概念．教学难点由生活中的实际问题建立二次函数模型．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标学生观察图片，教师引出课题：河上架起的拱桥，花园的喷水池喷出的水，投篮球或掷铅球时球在空中经过的路线都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？这些都将在新的一章——二次函数中学习．二、自主学习指向目标自学教材第28至29页，完成下列填空：1．教材引言中正方体的表面积问题，问题1及问题2中的函数关系式分别表示为：①__y ＝6x2__、②__m＝1,2n2－1,2n__、③__y＝20x2＋40x＋20__.2．我们把形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的__二次__函数．其中__x__是自变量，__a__叫做二次项系数，__b__叫做一次项系数，__c__叫做常数项．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当a__≠0__时，是二次函数，当a__＝0__且b__≠0__时，是一次函数；当a__＝0__，b__≠0__，c__＝0__时，是正比例函数．三、合作探究达成目标探究点一二次函数的概念活动一：上面第1题中的函数①②③有什么共同点？什么样的函数是二次函数？其一般形式是什么样的？【展示点评】二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)．【小组讨论】能否抛开“a≠0”理解二次函数的概念？为什么？对于b，c，它们可否等于0?【反思小结】判断一个函数是否为二次函数，关键是看它是否符合二次函数的特征，若形式比较复杂，则要先化简，再作出判断．具体可从如下几点进行：(1)自变量的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)右边是整式；(4)判断时首先将右边化成一般式，不要看表面形式．在a≠0的条件下b，c可以等于0.【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二列出实际问题中的二次函数解析式活动二：[教学建模]某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x m，宽为y m，面积为S m2，(x＞y)．(1)如果用18 m的建筑材料来修建绿地的边框(即周长)，求S与x的函数关系，并求出x的取值范围．(2)根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18 m2，在满足(1)的条件下，矩形的长和宽各为多少米？思考：题目中蕴涵的公式是什么？第(2)问就是已知__S(函数值)__，求__x(自变量)__的问题．【展示点评】(1)S＝－x2＋9x(4.5<x<9)(2)－x2＋9x＝18，解得x1＝3(不合题意，舍去)，x2＝6【小组讨论】根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识类似？【反思小结】一般地，列实际问题中的二次函数关系式可以按如下步骤进行：(1)审清题意，找出实际问题中的已知量，并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化成数学符号语言；(2)根据实际问题中存在的等量关系或客观存在的某种数量关系(如学过的公式等)，建立二次函数关系式，并将之整理成一般形式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)联系实际，写出需要标明的自变量的取值范围．已知二次函数值求自变量的值可以转化为解一元二次方程，而已知自变量的值求二次函数值实际上就是求代数式的值．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标1．我们学过的函数有__一次__函数和__二次__函数．2．一次函数的关系式是y＝__kx＋b__(k≠0)；当__b＝0__时，一次函数就是正比例函数y＝__kx__．3．二次函数的一般形式是：__y＝ax2＋bx＋c__(__a≠0__)，其中__ax2__是二次项，__bx__是一次项，__c__是常数项，__b__是一次项系数，__a__是二次项系数．五、达标检测反思目标1．圆面积公式s＝πr2，s与r之间的关系是( C )A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对2．二次函数y＝3x2＋2x＋1中，二次项系数是__3__，一次项系数是__2__，常数项是__1__．3．某农机厂第一个月水泵的产量为50台，若每个月的平均增长率为x，则第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数解析式为__y＝50(1＋x)2__．4．若y＋2与x2成正比例，当x＝－3时，y＝1，则y与x的函数关系式为__y＝1,3x2－2__．5．若y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数，求m的值．解：m的值为3.六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第41页1、2、8题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思__。