高等数学(同济版)第三章ppt 3-5

所以， 处取得极大值．同理可证(2). 所以，函数 f ( x )在 x0 处取得极大值．同理可证
例2 求出函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20 的极值 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3( x + 4)( x − 2)
x 2 = 2.
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建立敌我相距函数关系 解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从 B处发起 追击至射击的时间 (分). 分 敌我相距函数 s(t)
0.5公 里
s(t)
⋅A
s(t) = (0.5+ t)2 + (4− 2t)2
B
⋅
4公 里
( 2) 求s = s( t )的最小值点. 5t − 7.5 . 令 s′ ( t ) = 0 , s′(t ) = 2 2 ( 0.5 + t ) + (4 − 2t )
得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B 故得我军从 处发起追击后 1.5 分钟射击最好 .
实际问题求最值应注意: 实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数 建立目标函数; 建立目标函数 (2)求最值 求最值; 求最值
若目标函数只有唯一驻 点，则该点的函数 值即为所求的最（ 值即为所求的最（或最 小）值．
y
y
+ − o
x0
−
x
+
x0
o
x
(是极值点情形 是极值点情形) 是极值点情形
y
+ +
y
− −
o
x0
x
o
x0
求极值的步骤: 求极值的步骤:
x (不是极值点情形 不是极值点情形) 不是极值点情形
(1) 求导数 f ′( x );
( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点;
第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数极值
1.函数极值的定义 函数极值的定义
y
y = f (x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设 数 (x)在 间a,b) 有 义 x0是 函 f 区 ( 内 定 , (a,b) 的 个 , 内 一 点 如 存 着 x0的 个 域对 这 域 的 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内
b x
o
a
b x
步骤: 步骤:
1.求驻点和不可导点 求驻点和不可导点; 求驻点和不可导点 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比 求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 较大小,那个大那个就是最大值 那个小那个就 较大小 那个大那个就是最大值,那个小那个就 那个大那个就是最大值 是最小值; 是最小值 注意:如果区间内只有一个极值 则这个极值就 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值 最大值或最小值) 是最值 最大值或最小值
令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = −4,
∵ f ′′( x ) = 6 x + 6,
∵ f ′′( −4) = − 18 < 0,
f ′′( 2) = 18 > 0,
故极大值 f (−4) = 60, − 故极小值 f ( 2) = −48.
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20 图形如下
+
(−1,3) −
−
3 0
极 小 值
( 3,+∞ )
+
f ′( x ) f ( x)
0
极 大 值
↑
↓
↑
极 值 f (−1) = 10, −
极 值 f ( 3) = −22.
f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 3(第二充分条件 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 (1)当 , 数 '' x 取 极 值 (2)当 (2)当f (x0 ) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数
R′( x ) = 0
⇒
唯一驻点） x = 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高 故每月每套租金为 元时收入最高. 元时收入最高
350 最大收入为 R( x ) = ( 350 − 20) 68 − 10 = 10890 (元 )
例7 由直线 y = 0，x = 8 及抛物线 y = x 2 围
成一个曲边三角形， 上求一点， 成一个曲边三角形，在 曲边 y = x 2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y=0及 x=8 所围成的三角 形面积最大． 形面积最大．
做函数 f ( x ) 的驻点.
注意: 注意 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点,
但函数的驻点却不一定 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件
' (1)如果 (1) 如果 x ∈ ( x0 − δ , x0 ), 有 f ( x ) > 0;而 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) , f ' ( x ) < 0 ，则 f ( x )在 x0处取得极大值 有 . x ∈ ( x0 − δ , x0 ), 有 f ' ( x ) < 0;而 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) (2)如果 (2) 如果 ' 处取得极小值. 有 f ( x ) > 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 及 x ∈ ( x0 , x0 + δ )时, f ' ( x ) (3)如果当 (3) 如果当 符号相同, 处无极值. 符号相同,则 f ( x )在 x0 处无极值.
f ′( x 0 + ∆ x ) − f ′( x 0 ) 证 (1) ∵ f ′′( x0 ) = lim < 0,
∆x → 0
∆x
异号， 故f ′( x0 + ∆x ) − f ′( x0 )与∆x异号，
当∆x < 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) > f ′( x0 ) = 0, 当∆x > 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) < f ′( x0 ) = 0,
M
m
注意: f ′′( x0 ) = 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 , 注意:
仍用定理 2.
注意:函数的不可导点 也可能是函数的极值点 也可能是函数的极值点. 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点 例3 解
求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
− 2 f ′( x ) = − ( x − 2 ) 3 3 1
函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值 极值的点称为极值点 极值点. 极值的点称为极值点
2.函数极值的求法 函数极值的求法
定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 设f (x)在 x0 处 有 数 且 点 具 导 , 在x0处 得 值 那 必 f '(x0 ) = 0. 取 极 , 末 定 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0 的实根 )叫
于是 x = 0为 f ( x ) 的极小值点
当 x ≠ 0时，
1 1 f ′( x ) = 2 x ( 2 + sin ) − cos x x 当 x → 0 时，
1 1 2 x ( 2 + sin ) → 0, cos 在–1和1之间振荡 和 之间振荡 x x
的两侧都不单调. 因而 f ( x ) 在 x = 0 的两侧都不单调
思考题
下命题正确吗？ 下命题正确吗？
的极小值点， 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点，那么必存在 的某邻域，在此邻域内， x 0 的某邻域，在此邻域内， f ( x ) 在 x 0 的左侧 下降， 的右侧上升. 下降，而在 x 0 的右侧上升
思考题解答
不正确． 不正确．
1 2 2 + x ( 2 + sin ), x ≠ 0 例 f ( x) = x 2, x=0 1 2 当 x ≠ 0时， f ( x ) − f ( 0) = x ( 2 + sin ) > 0 x
x − 180 套， 租出去的房子有 50 − 10
每月总收入为
x −180 R(x) = (x − 20) 50− 10
x R( x ) = ( x − 20) 68 − 10 x 1 = 70 − x R′( x ) = 68 − + ( x − 20) − 5 10 10
2 3
( x ≠ 2)
当x = 2时, f ′( x )不存在 . 但函数 f ( x )在该点连续 .